基于優勢關系的程度粗糙直覺模糊集模型研究*

薛占熬，呂敏杰，韓丹杰，張 敏

1.河南師范大學 計算機與信息工程學院，河南 新鄉 453007

2.“智慧商務與物聯網技術”河南省工程實驗室，河南 新鄉 453007

1 引言

粗糙集由Pawlak[1]提出，主要用于處理不完備、不確定、不精確性信息。近年來，粗糙集發展非常迅速，被廣泛應用到其他領域，且得到很多粗糙集擴展模型。比如，程度粗糙集[2]、粗糙直覺模糊集[3-5]和雙論域粗糙集[6-7]等。Xue等[4]將覆蓋、多粒度理論引入到粗糙直覺模糊集模型中，提出了多粒度覆蓋粗糙直覺模糊集模型。薛占熬等[5]進一步研究和討論了粗糙直覺模糊集截集理論，將其應用于評估小麥生長趨勢。另外，劉慧等[7]用矩陣研究了雙論域粗糙集，并通過實驗驗證該方法可簡化下、上近似的表達方式。Lu等[8]討論了二型模糊粗糙集的粒度結構，構造了雙論域二型模糊粗糙集模型。Luo等[9]提出了雙論域粗糙直覺模糊集模型，研究了相關的不確定性度量。雙論域粗糙集[10]理論被應用于處理實際問題。Sun等[10]結合了多粒度模糊粗糙集與雙論域理論，構造了基于雙論域的多粒度模糊粗糙集模型，應用其處理衣服排序多標準群體決策問題。

Yao等[2]于1996年提出了粗糙集的擴展模型——程度粗糙集。很多學者對程度粗糙集[11-15]進行了研究，取得了豐碩的成果。張賢勇等[11]從廣義程度粗糙集出發，定義了程度粗糙集，且對程度粗糙集的內部構造、算子進行了研究，同時討論了知識約簡的內容。Huang等[12]將直覺模糊β鄰域理論與直覺模糊β覆蓋粗糙集結合，提出了直覺模糊程度覆蓋粗糙集理論。沈家蘭等[13]和汪小燕等[14]分別構造了可變程度多粒度粗糙集和不完備加權程度多粒度粗糙集。另外，以程度粗糙集和雙論域為基礎，閻瑞霞等[15]研究了雙論域粗糙集的不確定性度量。Huang等[16]以直覺模糊信息系統為基礎，研究了優勢關系，分別提出了優勢直覺模糊信息系統的概念和優勢直覺模糊信息系統的廣義優勢粗糙集模型。

在直覺模糊序信息系統上，本文將程度粗糙集與粗糙直覺模糊集結合，引入優勢關系，構造出基于優勢關系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型。在此基礎上，結合雙論域理論，構造了基于優勢關系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型。并進一步研究了基于優勢關系的雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵。最后，通過實例分析驗證了所提模型的有效性。

2 基礎知識

為更好地處理不確定性問題，Yao等[2]提出了程度粗糙集模型。Rizvi等[17]于2002年提出了粗糙直覺模糊集模型及直覺模糊信息系統。具體定義如下：

定義1[2](U,R)為近似空間，設k是非負整數，R是論域U上的等價關系，X?U，在論域U上定義X關于k的下近似和上近似分別為：

定義2[17]設(U,R)為一個近似空間，R是U上的一個等價關系，設B是一個直覺模糊集，則B關于(U,R)的一對下近似和上近似分別為：

定義3[17]直覺模糊信息系統是一個四元組(U,A,V,f)，其中U是一個非空有限論域，A是一個非空有限屬性集，V是所有直覺模糊值組成的集合，信息函數f是一個從U×A到V的映射，使得對任意的x∈U和a∈A，有fa(x)=(μa(x),νa(x))∈V，其中，ua(x):U→[0,1],νa(x):U→[0,1]分別稱為論域U中元素x關于屬性a的隸屬度和非隸屬度。顯然A(x)= {＜x,μa(x),νa(x)＞|x∈U}，是論域U上的一個直覺模糊集。

定義4[18]設(U,A,V,f)是一個直覺模糊信息系統，若在某個屬性值域上建立偏序關系，則稱這個屬性為一個準則。當直覺模糊信息系統中所有的屬性都為準則時，則稱該系統為直覺模糊序信息系統，記作I≥=(U,A,V,f)。

3 基于優勢關系的程度粗糙直覺模糊集模型

若記

3.1 基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集

定義6設(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統，設X?U，a∈A，R是論域U上的等價關系，集合X關于知識R形成程度粗糙集。設μB(x)、νB(x)為論域U上元素x關于屬性a形成的一個直覺模糊集B的隸屬度和非隸屬度，則關于k（k為非負整數）的基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集的下、上近似定義為：

當k≥1時：

其中：

當k=0時，程度粗糙集退化為經典粗糙集，則μB′(y)和νB′(y)退化成由經典粗糙集計算的閾值，此時模型仍具有有效性。

3.2 基于優勢關系的II型程度粗糙直覺模糊集

定義7設(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統，其中X?U，a∈A，R是論域U上的等價關系，集合X關于知識R形成程度粗糙集。B為論域U上元素x關于屬性a形成的直覺模糊集，則關于k（k為非負整數）的基于優勢關系的II型程度粗糙直覺模糊集定義為：

當k≥1時：

其中：

當k=0時，程度粗糙集退化為經典粗糙集，則μB′(y)和νB′(y)就退化成由經典粗糙集構造的閾值，此時模型仍具有有效性。

例1設(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統，其中a∈A,?B∈IF(U),X?U，其中論域U上的劃分C={{x1,x2,x5},{x3,x4},{x8,x9},{x6,x7,x10}},X={x3,x6,x8,x10}。設論域U上的直覺模糊集B為：

計算B的基于優勢關系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集。

步驟1設k=1，則可以計算出μB′(y)和νB′(y)為：

根據

得μB′(y)=0.3 ，νB′(y)=0.3 。

步驟2根據定義6，計算基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集模型的隸屬度如下：

根據以上計算可以選出滿足條件的隸屬度：

同理，可以計算出非隸屬度，過程略。

步驟3對基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集模型，根據定義5，可以得其優勢類，如下所示：

步驟4根據定義6，則可得基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集中滿足μB(y)≥μB′(y),νB(y)≤νB′(y)的優勢類如下：

步驟5計算B的基于優勢關系的I型程度粗糙直覺模糊集模型：

步驟6重復步驟2～4，根據定義7，可以計算出B的基于優勢關系的II型程度粗糙直覺模糊集。

定理1設(U,A,V,f)是一個直覺模糊序信息系統，設a,b∈A，A,B∈IF(U)，則基于優勢關系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集的下、上近似具有以下性質：

證明

（1）根據定義6、定義7易證，過程略。

因μA?B′(y)、μA′(y)、μB′(y)的值是根據R-程度粗糙集得出，故μA?B′(y)=μA′(y)=μB′(y)，于是

這里僅證明第一個性質，同理可證余下的性質，過程略。

4 基于優勢關系的雙論域程度粗糙直覺模糊集模型

在第3章中，提出了基于優勢關系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型。在本章中，將基于優勢關系的I型、II型程度粗糙直覺模糊集模型與雙論域粗糙直覺模糊集模型融合，構造出基于優勢關系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型。

定義8[20]設(U,V,R)為一般近似空間，分別定義映射Rs:U→P(V)和Rp:V→P(U)如下：

其中，Rs(x)、Rp(y)分別表示論域U中的元素x關于R的后繼鄰域，論域V中的元素y關于R的前繼鄰域。

定義9[21]設(U,V,R)為一般近似空間，對于任意的X?U和Y?V，則X和Y的下、上近似分別為：

定義10[22-23]設R是U到V上的一般二元關系，則有：

（1）對于任意的x∈U，存在一個y∈V，R(x,y)=1，則R是串行的。

（2）對于任意的y∈V，存在一個x∈U，滿足R(x,y)=1，則R是逆串行的。

定義11[10]設(U,V,R)是雙論域一般近似空間，對任意的A∈IF(U)，B∈IF(V)，則直覺模糊集A、B的下、上近似為：

其中：

4.1 基于優勢關系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集

定義12設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統，其中U、V為兩個論域，其中AU、AV為U、V上的非空屬性集。信息函數fU、fV分別為U×AU和V×AV到VAU和VAV的映射，對a∈AU,x∈U和b∈AV,y∈V，有fa(x)=(μa(x),νa(x))∈VAU和fb(y)=(μb(y),νb(y))∈VAV。A、B關 于 屬 性a、b在U、V上是直覺模糊集。基于雙論域的直覺模糊序信息系統的優勢關系可以定義如下：

若記：

定義13設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關系，集合X、Y關于知識RU、RV構成程度粗糙集。對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則基于優勢關系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集的下、上近似分別為：

當k≥1時：

其中：

當k=0時，程度粗糙集退化為經典粗糙集，則μRU(A)′(x)、νRU(A)′(x)和μRV(B)′(y)、νRV(B)′(y)就退化為由經典粗糙集構造的閾值，此時模型仍具有有效性。

4.2 基于優勢關系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集

定義14設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關系，集合X、Y關于知識RU、RV構成程度粗糙集。對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則基于優勢關系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的下、上近似定義為：

當k≥1時：

其中：

當k=0，程度粗糙集退化為經典粗糙集，則μRU(A)′(x)和νRU(A)′(x)、μRV(B)′(y)和νRV(B)′(y)就退化為由經典粗糙集模型計算的閾值，此時模型仍具有有效性。

定理2設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關系，集合X、Y關于知識RU、RV構成程度粗糙集。對于任意的A1,A2∈IF(U),B1,B2∈IF(V),則基于優勢關系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集具有如下性質：

證明

因μRU(A1?A2)′(x)、μRU(A1)′(x)、μRU(A2)′(x)的值是根據RU-程度粗糙集得出，故μRU(A1?A2)′(x)=μRU(A1)′(x)=μRU(A2)′(x)，于是

同理，可知非隸屬度有如下關系：

同理可證（1）中余下性質及（2）～（4）的性質。

定理3設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊信息系統，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關系，集合X、Y相對知識RU、RV構成程度粗糙集。對于任意的A1,A2∈IF(U),B1,B2∈IF(V),A1?A2,B1?B2，則基于優勢關系的I型、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集具有如下性質：

證明根據定義13、定義14，易知定理3成立。

4.3 基于優勢關系的雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵

定理 4[24]設論域U={x1,x2,…,xn},A={＜x,μA(xi),νA(xi)＞|xi∈X}是定義在U上的一個直覺模糊集，A的模糊熵E(A)為：

其中，fA(xi)=1-|μA(xi)-νA(xi)|,πA(xi)=1-μA(xi)-νA(xi)。

定義15設(U,V,AU,AV,VAU,VAV,fU,fV)是基于雙論域的直覺模糊序信息系統，且X?U,Y?V。RU、RV分別是論域U、V上的等價關系，集合X、Y關于知識RU、RV構成程度粗糙集。則對于任意的A∈IF(U),B∈IF(V)，則直覺模糊集A的模糊熵可定義為：

另外，可類似定義直覺模糊集B的模糊熵及基于優勢關系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵。

5 實例分析

設U和V分別表示癥狀和疾病的集合。A1、A2、A3分別由1、2、3號患者的癥狀構成3個直覺模糊集。μ′(x)、ν′(x)通過程度粗糙集計算得出。

設U={x1,x2,x3,x4,x5,x6},V={y1,y2,y3,y4,y5,y6}分別為6種癥狀與疾病的集合，其中，癥狀與疾病的關系可見表1。R是U×V上的一般二元關系，假設對于任意的xi∈U，存在一個yi∈V，滿足R(xi,yj)=1，按定義，理解為如表現癥狀xi，則患有疾病yj。根據編號1、2、3患者的癥狀，可以分別得到每位患者的癥狀的3個劃分如下：C1={{x1,x2},{x4},{x3,x5,x6}},C2={{x1},{x2,x3,x4},{x5,x6}},C3={{x1,x2},{x3,x5},{x4,x6}}。設X={x4,x5,x6}。

Table1 Relation of symptoms and diseases表1 癥狀與疾病的關系

步驟1首先設k為1，由C1、C2、C3的劃分，分別可得如下所示的程度粗糙集：

由定義13、定義14，可得μ′(x)、ν′(x)如下：

步驟2由表1，可以得到yi的前繼鄰域：

步驟3根據基于雙論域的直覺模糊序信息系統的優勢關系的定義可得A1、A2、A3的優勢類為：

步驟4根據步驟1～步驟3，計算每位患者的基于優勢關系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集，結果如下所示：

步驟5根據步驟1～步驟3，計算基于優勢關系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集如下：

步驟6根據1～3號患者的基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的結果，分析3位患者的病情，可得以下的結論：

（1）根據I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：1號患者患y1、y2、y3、y4、y6疾病確定為 (y1,0.8,0),(y2,0.6,0),(y3,0.8,0),(y4,0.9,0),(y6,0.8,0)，患有y1、y2、y3、y4、y6疾病可能為(y1,0.8,0),(y2,0.8,0),(y3,0.8,0),(y4,0.9,0),(y6,0.8,0)。然后，根據II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患有y5疾病確定為(y5,0.2,0.7)，患y5疾病可能為(y5,0.2,0.7)。通過分析以上兩個模型的結果，確定1號患者沒有患y5疾病。

（2）根據I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：2號患者患y1、y3、y4、y5、y6疾病確定為 (y1,0.4,0.5),(y3,0.4,0.5),(y4,0.8,0.2),(y5,0.6,0.4),(y6,0.4,0.5)，患y1、y3、y4、y5、y6疾病可能為 (y1,0.7,0.2),(y3,0.7,0.2),(y4,0.8,0.2),(y5,0.6,0.4),(y6,0.4,0.5)。然后，根據II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患y2、y6疾病確定為(y2,0.2,0.6),(y6,0.2,0.5)，患y2、y6疾病可能為(y2,0.2,0.5),(y6,0.2,0.5)。通過分析以上兩個模型的結果，確定2號患者沒有患y2疾病。

（3）根據I型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：3號患者患y1、y3、y4、y6疾病確定為(y1,0.5,0.2),(y3,0.5,0.2),(y4,0.7,0.2),(y6,0.5,0.2),患有y1、y3、y4、y6疾病可能為(y1,0.6,0.2),(y3,0.6,0.2),(y4,0.7,0.2),(y6,0.5,0.2)。然后，根據II型雙論域程度粗糙直覺模糊集可知：患有y1、y2、y5、y6疾病確定為 (y1,0.3,0.6),(y2,0.3,0.6),(y5,0.1,0.6),(y6,0.3,0.6) ，患y1、y2、y5、y6疾病可能為(y1,0.3,0.6),(y2,0.3,0),(y5,0.1,0.6),(y6,0.3,0.6)。通過分析以上兩個模型的結果，確定3號患者沒有患y2、y5疾病，由于y1、y6種疾病在I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型中都有出現，故還需進一步確認。

步驟7由定義15，可計算基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵，這里僅計算基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集A1的模糊熵，并將其與原模型的模糊熵作比較。

此為計算的原模型A1的模糊熵：

故，可得基于優勢關系的I型雙論域程度粗糙直覺模糊集A1的模糊熵為：

由以上的計算可得：E′(A1)≤E(A1)。

同理，可以計算基于優勢關系的II型雙論域程度粗糙直覺模糊集的模糊熵值。

由以上分析可知，當k=1時，根據基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙直覺模糊集模型，確定1號患者沒有患y5疾病；確定2號患者沒有患y2疾病；確定3號患者沒有患y2、y5疾病，y1、y6種疾病還需進一步確認。通過以上的模型分析，可以排除患者患某種疾病，這樣可以減少患者進行不必要的檢查，也有利于醫生合理地安排其他疾病的診斷治療，因此基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙集模型具有一定的現實意義。且實例證明了模型的模糊熵比原模型的小。另外，可以根據實際需要設置μ′(y)和ν′(y)的大小，來滿足現實需求。

6 結束語

經典粗糙直覺模糊集模型中只取與x相關的集合中的最小/最大隸屬度，而介于最小/最大之間的隸屬度與非隸屬度并沒有起作用，通過與兩個閾值比較，讓介于最小/最大之間的隸屬度與非隸屬度發揮作用。本文基于粗糙直覺模糊集、雙論域粗糙直覺模糊集理論，提出了基于優勢關系的I、II型程度粗糙直覺模糊集和基于優勢關系的I、II型雙論域程度粗糙集直覺模糊集模型。同時，分析討論了各個模型的性質。最后通過實例對模型進行分析驗證。下一步的工作是對區間模糊集與程度粗糙集的相關內容進行研究與討論。