初中數(shù)學(xué)相似基本模型解題法

江菊珠

[摘? ?要]相似三角形是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常出現(xiàn)在壓軸題中，難度較大 .解題突破口是從復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造相似的基本模型.

[關(guān)鍵詞]相似三角形;基本模型;構(gòu)造

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）14-0023-03

相似三角形是中考的熱點(diǎn)，它作為工具，應(yīng)用廣泛，是幾何綜合題中主要的運(yùn)算和證明手段 .絕大部分與幾何相關(guān)的綜合題、壓軸題，往往都可以用相似三角形知識(shí)去解決.相似三角形在壓軸題中常與四邊形、方程、函數(shù)、圓緊密聯(lián)系，難度系數(shù)較大 .教師在平時(shí)的教學(xué)過程中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)常見的相似基本模型，教會(huì)學(xué)生用模型解題的方法.

一、常見常考的相似基本模型的歸納

應(yīng)用相似三角形解決問題的幾何綜合題，題型千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，即離不開相似的基本結(jié)構(gòu) .因此，模型的認(rèn)識(shí)、歸納和理解掌握，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀的圖感，為較綜合的問題的解決及在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造相似三角形做好充分的準(zhǔn)備.

經(jīng)典的相似基本模型有以下幾種.

二、模型是顯性的，要善于發(fā)現(xiàn)

有些幾何綜合題中，相似的基本模型是顯性的，關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中把它分離出來.抓住了解題關(guān)鍵，可以化繁為簡(jiǎn);套用模型，然后圍繞該模型的結(jié)構(gòu)整合信息，可以化難為易.

[例1]如圖1，在Rt[△ABC]，[∠C=90°]，翻折[∠C]，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）.

（1）若以C， E， F為頂點(diǎn)的三角形與以A， B， C為頂點(diǎn)的三角形相似，當(dāng)AC = 3，BC = 4時(shí)，AD的 長(zhǎng)為________;

（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，[△CEF與△CBA]相似嗎？請(qǐng)說明理由.

分析：（1）解決問題的關(guān)鍵是抓住“A字型”相似的基本模型和軸對(duì)稱的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分）.觀察圖形可知，折痕EF是[△ABC]的截線，所截得的[△CEF]與[△ABC]相似，是屬于“A”字型相似.因?yàn)榭梢云叫薪兀部梢孕苯兀砸紤]“正A”和“斜A”兩種情況，要注意分類討論.但是不管哪種情況，不變的是點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于EF對(duì)稱，所以EF垂直平分CD，則CD[⊥]EF.解題時(shí)需要根據(jù)不同情況畫出相應(yīng)圖形.

①當(dāng) [△CEF]∽[△CAB]時(shí)，如圖2，因?yàn)閇∠CEF=∠A]，所以[EF//AB]，又[CD⊥EF]，故[CD⊥AB]，從而用等積法求出CD的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出AD的長(zhǎng).

②當(dāng)[△CEF] ∽[△CBA]時(shí)，如圖3，因?yàn)閇∠CEF=∠B]，又[CD⊥EF]，故[∠CEF+∠ACD=90°]，而[∠A+∠B=90°]，易得[∠A=∠ACD]，因此AD=CD .同理可證得BD=CD，所以[AD=12AB ].

[例2]操作與探究：綜合實(shí)踐課，教師把一個(gè)足夠大的等腰直角三角尺AMN靠在一個(gè)正方形紙片ABCD的一側(cè)，使邊AM與AD在同一直線上（如圖4），其中[∠AMN=90°]，AM=MN.教師將三角尺AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)[α] . 若[45°<α<90°]，如圖5，邊AM，AN分別與BC、CD交于點(diǎn)E、F，連接BD，分別交AM、AN于點(diǎn)G，H，連接EF、EH，試證明：[EH⊥AN ].

分析：此題圖形較為復(fù)雜，采用逆向思維和熟悉的“8字型”相似的基本模型是解題的關(guān)鍵.由題目要證的結(jié)論逆向分析，若EH[⊥]AN，而已知[∠EAH=45°]，則[∠AEH]一定等于45°，由題意可知[∠ABG=45°]，所以要證[∠AEH=45°]，只要證[△ABG]與[△HEG]這兩個(gè)“8字型”三角形相似，即有對(duì)應(yīng)角[∠ABG=∠AEH]，而要證這兩個(gè)三角形相似，已經(jīng)具備對(duì)頂角相等了，所以只要兩夾邊成比例即可，這時(shí)從復(fù)雜的圖形（圖5）中分離出“雙8字型”（圖6），我們知道在這個(gè)模型中，由上下兩三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，交換內(nèi)項(xiàng)的位置即可得左右兩個(gè)三角形的兩邊成比例，那么分析到此，此題的證明思路就已經(jīng)明了，解決問題的出發(fā)點(diǎn)是證[△BGE] ∽[△AGH].

[例3]如圖7，在矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC邊的三等分點(diǎn)，連接AE、AF、AC.請(qǐng)問圖中是否存在非全等的相似三角形？若存在，請(qǐng)寫出并證明.

分析：此題三角形的個(gè)數(shù)較多，從中找出相似三角形，對(duì)很多學(xué)生來說是有難度的，學(xué)生常不知如何下手.而題干給的顯性條件是唯一的，只有線段之間的數(shù)量關(guān)系，即“BC=3AB”是解題的突破口，所以設(shè)AB=[x]，則BE=EF=CF=[x]，易得AE=[2x]，并在圖形上標(biāo)注出來，到這里有一部分學(xué)生就不知道如何進(jìn)一步解答，此時(shí)，熟悉“母子型”相似的基本模型及其邊的數(shù)量關(guān)系（即公共邊是共線邊的比例中項(xiàng)）是解決問題的關(guān)鍵.從復(fù)雜的圖形中分離出圖8，易發(fā)現(xiàn)[AE2=EF·EC]，即[AEEF=ECAE]，又[∠E=∠E]，可得[△AEF] ∽[△CEA] .

啟示：復(fù)雜的圖形基本上都可以看成由基本圖形組成的，所以如果能夠熟悉一些基本模型，并對(duì)重點(diǎn)典型模型邊的數(shù)量關(guān)系熟練掌握，加深對(duì)相似基本模型的理解，可以培養(yǎng)學(xué)生的圖感和全面思考問題的習(xí)慣，使學(xué)生解題時(shí)往往目的明確，縮短思考、解題的時(shí)間，事半功倍.

三、 模型是隱性的，要學(xué)會(huì)構(gòu)造

在很多幾何壓軸題中，模型結(jié)構(gòu)是殘缺的，需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出完整的幾何模型.而作輔助線是學(xué)生最大的難點(diǎn)，熟悉常見的相似基本模型對(duì)作輔助線有指引作用，是突破難點(diǎn)的有效方法.

[例4]如圖9，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點(diǎn)，將[△ADM]沿直線AM對(duì)折，得到[△ANM].連接BN，當(dāng)DM=1時(shí)，求[△ABN的面積].

分析：如圖10，學(xué)生一般都能過點(diǎn)N作[NE⊥AB]，也知道要求[△ABN]的面積，必須求出高NE的長(zhǎng)，但是很多學(xué)生到此就不知道如何進(jìn)行下去.此時(shí)的突破口之一是在NE這條線上已經(jīng)有兩個(gè)直角了，常用的方法是構(gòu)造“三垂直”模型;突破口之二是[∠ANM=90°]，延長(zhǎng)MN，可發(fā)現(xiàn)NE是從直角引出的高，于是就想到了構(gòu)造“雙垂直”模型;突破口之三是觀察圖形分析題意，圖中存在“角平分線+平行線”模型，那么就要找等腰，于是就能作出延長(zhǎng)MN這條輔助線構(gòu)造等腰三角形.因此，解決此題就有以下兩種方法.

方法一：如圖10，易證[△MFN] ∽[△NEA]，則[MFNE=FNAE=MNAN].設(shè)NE=[x]，則NF=[3-x]，可得[MFx=3-xAE=13]，再根據(jù)DF=AE，列出方程，即可求出[x]的值.

方法二：如圖11，由折疊可知[∠AMD=∠AMN]，易證[∠AMD=∠MAB]，所以[∠AMN=∠BAM]，故AP=MP，設(shè)AP=[x]，則PN=[x-1]，在[Rt△APN中]，根據(jù)勾股定理得[32+（x-1）2=x2]，從而求NE的長(zhǎng)就能迎刃而解了.

[例5]如圖12，矩形[ABCD]中，[AB=6]，[AD=8]，P、E分別是線段[AC]、[BC]上的點(diǎn)，且四邊形[PEFD]為矩形.（Ⅰ）若[△PCD]是等腰三角形，求[AP]的長(zhǎng);（Ⅱ）若[AP=2]，求[CF]的長(zhǎng).

分析：（Ⅰ）略;（Ⅱ）很顯然，要求CF的長(zhǎng)，需證[△ADP] ∽[△CDF]，而題干中的條件很簡(jiǎn)單，兩個(gè)矩形有一個(gè)公共頂點(diǎn)D，“共點(diǎn)等角”是一個(gè)突破口，易得[∠ADP=∠CDF]，那么證三角形相似一般有兩種思路，要么找另一對(duì)角相等，要么證這組角的兩夾邊成比例.而[ADCD=43]，因此若能求得[DPDF=43]，那么問題就解決了.而DF=PE，所以把問題轉(zhuǎn)化為求[DPPE]的值.

方法一：觀察圖形發(fā)現(xiàn)這里存在“平行線間夾一個(gè)90°角”模型，常做的輔助線是過直角的頂點(diǎn)作平行線的垂線，構(gòu)造“三垂直模型”，如圖13，由[△DHP]∽[△PGE]，得[DPPE=DHPG=CGPG=tan∠CPG=tan∠CAB=BCAB=43]，問題得以解決.

方法二：仔細(xì)觀察圖形，從中分離出四邊形DCEP，這是一個(gè)“90°的對(duì)角互補(bǔ)”模型，作兩條高，構(gòu)造出“共點(diǎn)等角”.如圖14，作[PM⊥CD，PN⊥BC ]，易證[△PDM]∽[△PEN]，所以[DPPE=PMPN=PMCM=tan∠ACD=ADCD=43] .

方法三：逆向分析，若能證[∠DAP=∠DCF]，問題也可以得以解決.而[∠DAP=∠ECP]，所以把問題轉(zhuǎn)化為證[∠ECP=∠DCF]，這時(shí)發(fā)現(xiàn)這里又存在“共點(diǎn)等角”，因?yàn)閇∠ECD=90°]，因此只要證[∠PCF=90°]即可，如圖15，連接PF、DE、OC，由[OC=12DE=12PF=OP=OF]，可得[∠PCF=90°]，那么接下來的問題就能輕松解決.

啟示：以上這兩題都是中考?jí)狠S題，簡(jiǎn)單的條件，不簡(jiǎn)單的思維，每一題都可一題多解 .不管哪種解法，都涉及模型思想.尋找突破口，準(zhǔn)確作出輔助線，使模型由隱性變顯性是解題的關(guān)鍵.常見相似模型的熟悉掌握是迅速作出輔助線的依據(jù).

綜上，模型的重要性不言而喻，模型解題法以不變應(yīng)萬變 .培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用模型解題的思維方法，能讓學(xué)生舉一反三、觸類旁通，使他們解難題更簡(jiǎn)潔、更高效.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）