由反向過年話學習數學的逆運算的教學探討

陶印修 陳超

【摘要】今年反向過年是熱話題，反向過年好理解，而逆運算就不好理解。教師把書教明白那是必須的基本功。教師若能由淺入深地教會學生理解所學知識，往往能引起學生的學習興趣。本文試圖從小學數學的加法與減法來理解互逆運算的概念，函數的概念，反函數的概念。所謂的逆運算是相對于正運算而言，加法是正運算，減法就是加法的逆運算。把函數理解為正運算有助于理解反函數概念，反函數就是函數的逆運算。顯見正運算簡單，而逆運算復雜，正逆運算的結果是還原。

【關鍵詞】還原 互逆運算 正運算 逆運算

一、簡單的加法與減法

我們都知道等式2+3=5是一種加法運算，由該等式可得另一等式5-3=2是一種減法運算。

二、減法是加法的逆運算

把上面的加法運算與減法運算中的2換成x，5換成y，可以抽象地把上面兩個等式寫成x+3=y與y-3=x。

1.還原與互逆運算

以上兩個等式不僅可以相互推導，而且其關鍵問題是，原來的x經過加法運算“+”與減法運算“-”兩種運算后x又還原回來啦，這樣的兩種運算就是互逆運算。

2.正運算與逆運算

我們把加法運算理解為正運算，那減法運算就是加法運算的逆運算。

三、函數是帶未知量的運算

函數概念比較抽象，若把函數理解為帶未知量的運算就簡單了。

在x+3=y中，y=x+3就是帶未知量x的加法運算，故y=x+3就是函數。

容易理解x叫自變量，y叫因變量。自變量的允許取值范圍的全體叫函數的定義域。因變量的取值范圍叫函數的值域。

自變量是一個的函數叫一元函數，本文把一元函數作為研究對象。

y是函數，運算通常用，來表示，函數y通常記作y=f（x）。本例中的運算f的含義是f（）=（）+3。

函數y=f（x）的實質，即運算f是作用在函數y=f（x）定義域上的函數。

四、反函數

雖然函數概念比較抽象，那反函數概念更抽象。

1.本義反函數

在函數y=f（x）中，是用x表示y。所謂函數y=f（x）的反函數就是反過來表示的函數，即用y表示x。函數y=（x）反函數的專用記號為x=f^-1（y），把函數x=f^-1（y）稱為函數y=f（x）的本義反函數。

由前面的兩個等式知x=y-3就是y=x+3的本義反函數。即

案例1y=x+3的本義反函數為x=f^-1（y）=y-3。

需要強調指出，實際中用的就是本義反函數。

2.矯形反函數

習慣上自變量用字母x表示，因變量用字母y表示，但本義反函數x=f^-1（y）中的自變量與因變量的記法與習慣表示不一致，為了與習慣表示保持一致，需要把本義反函數x=f^-1（y）中的自變量與因變量互換位置，得y=f^-3（x），把函數y=f^-3（x）稱為函數y=f（x）的矯形反函數（矯形反函數只是好看而已）。

案例2y=x+3的矯形反函數為y=f^-1（x）=x-3。

3.本義反函數與矯形反函數是同一函數

因運算f^-1是作用在函數y=f（x）值域上的反函數，故本義反函數x=f^-1（y）與矯形反函數y=f^-1（x）實質上是同一函數，正如趙本山與宋丹丹演的小品中說的，你脫了馬甲我也認識你是一樣一樣的。

案例3案例1與案例2是同一函數。其實質為f^-1（）=（）-3。

五、反函數就是函數的逆運算

我們把函數理解為正運算，那反函數就是函數的逆運算。事實上f^-1[f（x）]=f^-1（y）=x，x經過正運算“f”與逆運算“f^-1”兩種運算后x又還原回來啦，這樣的兩種運算就是互逆運算。