基于動態理解的汽車租賃問題

重慶郵電大學 電子信息工程(中美) 重慶 400065

就此類問題我們采用了線性規劃與層次分析法，首先通過未來四周的需求量與實際提供的汽車數379對比，分析供求狀態，得到公司在代理點處需要購買新車；接著，根據附件4提供的10款同類汽車的價格、使用壽命、壽命期內的年維修費用，以八年為一周期，計算出每款汽車的總費用，確定公司應該購買第8款車型使得最終效益最高；最后，利用最小二乘法擬合需求量與擁有量的關系，結合前三問求出的總收入及總支出，建立回歸函數，借助函數極值點求解及matlab圖像分析，得到購進41輛第8款型號的汽車可使年利潤最高，利潤最高為4.2×104萬元。

對于線性規劃這種方法，常常在動態理解的一些實際問題中大放異彩，作者在此篇文章中利用matlab對線性規劃有著深入的理解。

1 問題重述

國內汽車租賃市場興于1990年北京亞運會興起，起初只在國際化程度較高的城市率先發展，隨著城市國際化程度和經濟的飛速發展，汽車租賃也在其他城市慢慢出現。某城市有一家汽車租賃公司，此公司年初在全市范圍內有379輛可供租賃的汽車，分布于20個代理點中。每個代理點的位置都以地理坐標X和Y的形式給出，單位為千米。假定兩代理點之間的距離約為兩者直線距離的1.2倍。通過分析附件1—附件6給出的數據，解決下列問題：

1.結合附件給出未來四周內每天的汽車調度方案，在盡量滿足每個代理點汽車數量需求的前提下，使總的轉運費用最低。

2.為了使年度總獲利最大，從長期考慮是否需要購買新車?如果購買的話，確定購買計劃(考慮到購買數量與價格優惠幅度之間的關系，在此假設如果購買新車，只購買一款車型)。

2 問題分析

我們考慮用線性規劃解決問題，該問題解決核心是：針對不同問題，通過改變目標函數和約束條件并通過編程軟件來得到最優解，并且通過對未來一周的求得的最優解，將結果拓展到未來四周，并得出各種滿足題目要求的調度方案。

問題一的分析

問題一要求僅考慮轉運費用最低的汽車調度方案，根據附件一、附件三、附件六的數據可得各點車輛初始量、以后四天各點的需求量以及各代理點間轉運費用。該問題可用基于當天轉運費用最低的線性規劃模型求解連續兩天之間的關系，通過使用matlab軟件可得出當天轉運費最低的最優解，進而以所得第二天數據作為原始數據與第三天需求建立線性規劃，依次算出未來七天的調度方案，并且以這一周的調度方案拓展到未來四周的調度方案。

問題二的分析

問題四要求使得年度獲利最大是否需要購買車，若購買需要哪款車，依據去年每天的需求總量進行分析，得出了需要購置新汽車的需求，根據購買數量以及優惠幅度對各款汽車進行分析得出車型選擇。根據假設，購買相同數量的各型號汽車，優惠幅度相同。在車輛壽命周期中，各車輛維修費用不盡相同，根據對車輛價格與維修費用的分析發現，8號車型購買價格與維修價格均為最低，故選擇8號車型，然后通過分析需求量與現有車輛的對比，并且列出總利潤與車輛數量的關系，通過matlab以圖表的形式展示出來并得到總利潤最大值時的車輛數，最終進一步確認具體購買車輛數。

3 模型建立與求解

3.1 問題一模型建立 對于問題一，我們根據附件三中未來四周每個代理點每天的汽車需求量的相關數據，我們決定對每天進行分析，并依次得出未來四周每天的租賃計劃。對于此問題，我們決定用線性規劃模型，目標函數則為該天的汽車轉運成本數的最小值。通過該天與下一天的需求量的對比，得出哪些代理點需要出車，哪些代理點需要進車，并且在此過程中，汽車總數保持不變，各個代理點進車總和與出車總和為零，并加以約束條件。如果下一天的總需求量大于現有車輛數，則保證需要出車的代理點達到出車數量要求，需要進車的代理點保證進車數量小于等于該點需求量；如果下一天的總需求量小于現有車輛數，則保證需要進車的代理點達到進車數量要求，需要出車的代理點保證出車數量小于等于該點需求量。同理，得到未來四周的租賃計劃。

3.2 問題一模型求解 首先根據各個代理點的位置，利用matlab找到他們相應的位置。如下圖所示：

表1 各代理點位置

得到各代理點位置后，通過matlab計算得到各個代理點間的直線距離后，分別乘1.2，后利用數學方程整理：

可列出目標函數，如下所示：

對于約束條件如果下一天的總需求量大于現有車輛數，則保證需要出車的代理點達到出車數量要求，需要進車的代理點保證進車數量小于等于該點需求量；如果下一天的總需求量小于現有車輛數，則保證需要進車的代理點達到進車數量要求，需要出車的代理點保證出車數量小于等于該點需求量，基于這一想法，針對第一天到第二天的調度需求，我們要求需要出車的代理點全部達到要求，而需要進車的代理點進車數小于等于需要進車的數量，故我們列出如下約束條件，約束條件如下所示：

利用matlab，求解可得：

各個代理點需要出車或進車的具體數量，經過進一步計算可得第二天實際調度情況如下圖所示，已經基本滿足第二天需求量的要求。

表2 第二天實際調度情況與理論調度情況對比

3.3 問題四模型建立與求解 根據我們前面求解的最佳調度方案，可得出未來四周每天所得的汽車需求量數。又已知現有車輛數為379，然后將調度方案中的需求車輛數與379相比對，得到對比圖如下圖所示：

表3 需求量與379對比

經過對比，我們對需求量多于379和需求量小于379的天數一目了然。然后我們對附件4中十款車的八年的維修費用進行excel加和，再分別與各自的購買費用進行加和，由于我們假設各車輛購買時有相同的優惠力度，故綜上分析，我們得知選擇種類8車輛。因為他的八年維修費用總和與購買費用均為最低，總體成本最少，能帶來更多的收益，故選擇這一款車型。

對于每一輛車每天的收入求解

每個代理點的每天的盈利不會有太大的變動，而且每輛車的每天的租賃收入波動也不會太大，因此對每天利潤(其中已經除去轉運費用及短缺損失費用)對每輛車的收入。問題三已經算出28天的公司綜合獲利、調度方案的結果，由此可以算出每輛車的平均利潤，這樣可以具體求出收入平均值為：0.36049495萬元/輛。

對于年利潤的模型建立與求解

設汽車年度總利潤為p，則由簡單經濟學公式知：總利潤=總收入-總支出，即

p=[365*(379+a)-b]*0.3605-41.21*a

其中，a表示新購買的汽車數量，b表示當需求量小于擁有量時閑置的車輛，即

b=|bik-b0ik|(i=1，2，3...28且k=1，2，3...20)

bik表示第i個代理點第k天的實際車輛數，b0ik表示當天理想狀態下需求的車輛數(附件中表格每行標注“實際”二字的就是當天車輛數，用需求量減去實際數量取絕對值就是閑置車輛數)

根據附件二計算上一年內每天每個代理點汽車需求量的均值，和問題二中求出的四周汽車擁有量的均值，近似替代需求量xtotal和擁有量ptotal，通過最小二乘法進行擬合：

其中A是需求車輛數據矩陣，B是實際車輛數據矩陣。

利用數學的條件極值解決方法：

利用拉格朗日乘數法就可以模擬xtotal和ptotal的具體關系，如下：

ptotal=-0.34xtotal2+0.1xtotal+21.858

從而可以求得汽車購買數量與年利潤的關系式：

p=-1.1744a2+95.77a+40419.8

利用matlab軟件，可得年利潤與車輛數的關系圖如下圖所示：

表4 車輛數量與年利潤的關系

由于只能取整數，故二次函數利用極點存在定理找到最優解a=41，即購買第8種型號的車輛41輛，可獲得最高的利潤4.2×104萬元。