一種改進的GPS/BDS雙模系統整周模糊度求解算法

胡朝陽 張思遠 裴炳南

1. 大連大學 遼寧省北斗高精度位置服務技術工程實驗室，大連116622 2. 泉州信息工程學院 通信與導航技術研究所，泉州 362000

中國“北斗”導航系統的組建完成和美國GPS的技術升級換代為利用多星座組合提高導航系統的定位精度和可靠性提供了條件[1]。模糊度參數的正確固定是利用導航載波相位數據實現高精度定位的關鍵技術。相對于其他模糊度固定算法，LAMBDA(最小二乘降相關平差)算法是目前公認的最好的模糊度固定算法[2]，特別適用于高維模糊度的固定。LAMBDA算法的核心思想是去相關和整數最小二乘搜索[3-4]。另一種模糊度參數固定技術是Bootstrapping(序貫最小二乘平差法)算法，較整數最小二乘搜索簡單，但有一定的失敗率[5-6]；其基本思想是在前面模糊度取整固定條件下，對余下的其他浮點解進行序貫最小二乘平差改正，然后對改正后的值取整。

利用LAMBDA算法漏檢率低和Bootstrapping算法計算復雜度低的優點，同時又克服了LAMBDA算法中整數最小二乘搜索計算復雜度高和Bootstrapping算法漏檢率高的缺點，本文提出一種新的算法。該算法針對短基線情況下基線向量和整周模糊度的相關性的病態問題，加入數學上的正則化方法調整基線和模糊度參數，改善了協方差矩陣的病態問題，提高了模糊度的搜索效率和成功率。實測導航數據的計算機仿真表明，該方法可以節省時間和提高定位性能。

1 提出算法的依據和問題分析

1.1 雙差觀測模型

GPS/BDS組合相對定位載波雙差方程的數學模型為：

y=Bb+Aa+e

(1)

對方程(1)中的未知向量參數a和b的求解一般可通過3步進行[7]：

1)通過經典的最小二乘法或者卡爾曼濾波方法[8-9]獲得模糊度和未知的基線向量坐標的浮點解以及相應的協方差矩陣

(2)

(3)

(4)

1.2 LAMBDA算法

在模糊度的解法中，LAMBDA算法是目前最為熟知和使用的一種方法。LAMBDA算法解決了整數最小二乘問題，并且能夠獲得載波相位整周模糊度的估計值。

對式(3)進行模糊度搜索求解時，搜索空間可表示為[8]:

(5)

在LAMBDA算法中為加快模糊度固定解的搜索，需要對原始數據進行去相關。Teunissen[4-5]對原始模糊度浮點解做Z變換，以降低其相關性，使搜索橢球更接近球體。其基本算法如下：

1)尋找一個Z矩陣滿足[11]：Z中所有元素為整數，det(Z)=±1。

2)對原始模糊度進行如下變換：

(6)

(7)

4)反變換得到原始模糊度的固定解。

1.3 Bootstrapping算法

(8)

1.4 病態問題和正則化估計

1.4.1 病態性分析

在式(1)中，令H=[B,A]，Y=[b,a]，則式(1)可以寫成式(9)所示：

L=HY+ε

(9)

式中：L為kn×1維雙差觀測向量，H為kn×(n+3)維系數矩陣，Y為(n+3)×1維未知向量(包括基線向量和整周模糊度)。

通過加權最小二乘法可得Y的最小二乘解為：

(10)

1.4.2 正則化估計

GPS/BDS組合快速定位是一個典型的不適定問題[13]。事實上，在觀測歷元較少的情況下，由于觀測信息不足或者衛星幾何形狀變化較小將導致法方程的嚴重病態，正則化方法是求解不適定問題的有效方法，本文對不適定方程加上一個正則條件約束，將問題轉化為適定方程，從而獲得準確穩定的解。

根據Tikhonov正則化原理，求解觀測方程(9)即是尋求滿足如下估計準則的解[14-15]：

(11)

(12)

由式(11)和(12)可以看出，正則化的關鍵是要確定正則化參數α和正則化矩陣Rα。本文重點是針對LAMBDA快速搜索算法進行討論，所以正則化參數α和正則化矩陣Rα直接引用文獻[15]的討論結果。

2 改進的快速模糊度搜索算法

利用BDS/GPS組合導航系統的數據實現高精度定位將導致整周模糊度的搜索維數顯著增大，從而產生大得多的計算負擔；使用LAMBDA算法解決這類問題將可能導致不能快速定位[16]。Bootstrapping算法是直接取整法和序貫條件最小二乘平差算法的結合，考慮了部分模糊度之間的相關性，但是Bootstrapping只是一種近似的估計算法，且只有一定的成功率[8]，其正確估計的概率為：

(13)

對式(3)進行順序的序貫條件最小二乘模糊度求解來實現各分量去相關，進行逆序處理之后的表達式如式(14)[10]：

(14)

該算法并不是所有情形下都能正確估計整周模糊度，其估計正確的概率的上限是一個與模糊度維數n有關的函數，但是該方法比整數最小二乘搜索簡單得多，因此確定高精度浮點解和較低精度浮點解的界限是該方法解算的關鍵。對于滿足某種判別條件，采用Bootstrapping進行估計，不滿足判別條件，則采用正則化限定后的整數最小二乘進行搜索。這樣既提高了搜索效率，又保證了模糊度的求解準確。本文提出的適合BDS/GPS導航數據的解算整周模糊度參數的方法如圖1所示。

圖1 改進模糊度解算流程圖

文獻[11]給出了判別式如式(15)：

(15)

由于實際的觀測數據時間很短，初始的雙差整周模糊度的序貫存在不連續情況，對于n≥10的高維模糊度搜索來說，一般式(15)很難滿足，此時采用Bootstrapping估計模糊度固定解的成功率比較低。LAMBDA算法對初始模糊度進行了整數Z變換，經過變換之后，以及考慮加入改進的正則化條件，目標函數式(3)轉化為：

(16)

與此對應的式(14)變為：

(17)

則與式(15)對應的判別式變為：

(18)

3 數據采集與仿真結果分析

為了驗證提出方法的有效性，在2018年7月12日上午10時，利用大連大學日新樓樓頂的兩塊上海司南導航公司生產的板卡(K528)進行實驗數據測量，以雙差模型對其進行處理，求得雙差模型的浮點解和相應的方差-協方差矩陣，其中，GPS和BDS觀測數據的采樣間隔設置為10s，觀測時間持續分別為10min和20min，獲得衛星鐘差文件和導航電文文件，其中鐘差文件大小為16KB，導航電文大小為4.4MB。在實際的觀測情況中，BDS/GPS雙模導航系統可視衛星一般保持在13-18顆左右，模糊度維數隨歷元變化情況如圖2所示。

圖2 模糊度維數隨歷元變化

考慮到去相關搜索策略會影響搜索效率，因此，采用Bootstrapping方法、LAMBDA方法和本文提出的新算法(即Modify-search簡稱M-S算法)對數據進行處理。實驗結果分別如表1和2所示。M-S方法中預設的Ratio測試成功率為0.965，由于整數最小二乘解在高維空間中很難直接算出，但是其成功率是最高的，因此設置整數最小二乘的成功率為1。

其中，Ratio值即是整數解中次小與最小驗后方差比的檢驗量，單系統和組合系統的閾值均設為3，則固定率=滿足閾值的固定數/總歷元數。

表1 不同模糊度搜索時間、成功率比較

表2 不同模糊度搜索時間、成功率比較

由表1和2可以看出，在組合定位模式中，針對高維模糊度結算來說，模糊度估計效率最高的是Bootstrapping方法，但是其固定成功率最低；LAMBDA算法雖然能夠保證解算出整周模糊度，但是其由于方法過于保守，備選模糊度比較多而導致解算效率降低；M-S算法首先通過正則化比例因子改善整周模糊度浮點解，然后通過判別式綜合利用Bootstrapping方法和LAMBDA算法，在滿足解算模糊度成功率的基礎上，一定程度上提高了解算效率，保證了高維模糊度對高精度定位的快速性。

4 結束語

針對BDS/GPS雙差觀測模型的整周模糊度的解算問題，比較研究了LAMBDA算法和Bootstrapping方法的優點和不足，研究了加權最小二乘方法解算整周模糊度中出現的病態問題，通過引入正則化比例因子改善整周模糊度浮點解，提出了新的整周模糊度求解算法。實驗驗證和仿真分析表明，改進后的整周模糊度求解算法有效改善了高維情況下的病態性，提高了整周模糊度解算的速度，在雙模系統的高精度定位中具有一定的參考價值。