基于阻力加速度倒數走廊的待飛航程解析預測方法

黃漢斌 楊 業 梁祿揚

1.北京航天自動控制研究所，北京100854 2.宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京100854

升力式再入飛行器，相對于傳統再入飛行器，升阻比大，機動能力強，可以快速執行天地往返運輸和洲際航行任務等[1]，標準軌跡跟蹤制導是升力式飛行器再入過程采用最多的制導方法，其中在線軌跡規劃技術，可以大大提高標準軌跡跟蹤制導的靈活性以及精度，而在線軌跡規劃技術最主要的依據是對待飛航程的預測[1-3]。針對待飛航程的在線預測，眾多學者進行了廣泛而深入的研究，做出了杰出的成果。其中，Ishizuka[4]定義了能量高度，推導出能量高度與航程的微分方程，進而利用龍格庫塔積分得到待飛航程；文獻[5-7]建立阻力加速度-能量走廊，首先將阻力加速度剖面假定為分段線性函數，進而利用線性函數的特性求出積分計算公式;施健峰等[8]建立忽略地球自轉的簡化的縱向運動模型，利用數值積分的方法求出待飛航程；曾憲法等[9]將升阻比假定為常數，推導出待飛航程計算的解析公式；而崔乃剛等[10]利用匹配漸進展開的方法推導出縱向運動方程近似解析解，得到縱向運動參數進行待飛航程計算；Yang等[11]選取了阻力加速度-能量走廊的一些離散點，利用離散點三次樣條插值獲得走廊的解析描述形式，在推導航程解析預測公式時，采用卡爾丹分解的方法對公式進行分解，推導出待飛航程的解析積分公式，由于卡爾丹分解過程較復雜，本文對此進行了省略使得算法進一步簡化。

首先分析飛行器無量綱運動模型，將飛行器過程約束和平衡滑翔約束轉換成阻力加速度走廊約束，選取一系列節點，將其轉換成阻力加速度倒數節點信息，利用三次樣條插值建立阻力加速度倒數平滑走廊，進一步推導解析積分公式，實現對待飛航程的解析預測，省去卡爾丹分解過程，并利用該公式計算走廊上下界對應的航程，依據計算結果，推導出與航程相對應的阻力加速度剖面。仿真結果表明，此方法與龍格庫塔積分精度誤差在10-4m量級，具有較高的近似程度，同時解析設計阻力加速度剖面更簡單、可靠。

1 運動模型建立

由于飛行終點時間不固定，需要引入能量的概念，包含高度和速度信息，建立以能量為自變量的無量綱再入飛行器運動模型。這里能量的定義為

e=1/R-V2/2

(1)

建立運動模型之前需要做出一定的假設：

1)不考慮地球自轉影響；

2)地球為勻質圓球，不考慮地球扁率；

3)飛行器為無動力質點；

4)再入飛行過程中，彈道傾角為小量，γ≈0。

以能量為自變量的飛行器無量綱運動模型為：

(2)

其中：λ和φ分別為經度和緯度，γ和ψ分別為當地彈道傾角和航向角，σ表示傾側角。

2 基于三次樣條函數描述的阻力加速度倒數走廊

2.1 建立阻力加速度-能量剖面

飛行器滑翔飛行過程中需要滿足動壓、熱流和過載約束，同時為了保證滑翔過程中高度不發生跳躍，需要滿足擬平衡滑翔條件。

利用這些約束，以及運動模型，將其轉化成阻力加速度-能量走廊約束，其中，動壓、過載和熱流約束對應阻力加速度走廊上界，擬平衡滑翔約束對應阻力加速度走廊下界。選取n個節點，作為走廊的描述點(如圖1)。

圖1 阻力加速度走廊

2.2 三次樣條函數描述阻力加速度倒數走廊

利用2.1節得到的阻力加速度-能量節點信息，建立阻力加速度倒數走廊節點信息(圖2)，然后利用三次樣條函數擬合，計算倒數兩點間的函數值，得到2個節點之間的三次函數(式(3))以及阻力加速度倒數走廊(圖3)。

(3)

圖2 阻力加速度節點倒數

圖3 三次樣條插值描述阻力加速度倒數走廊

3 待飛航程解析預測

待飛航程定義為當前點地心矢徑r和目標點地心矢徑rf所形成的大地張角對應的圓弧，式(4)為航程對時間的導數。

(4)

由于假定彈道傾角為小量，同時忽略航向角偏差，引入能量概念，得到航程對能量的導數公式為：

(5)

由于阻力加速度倒數剖面可以描述成三次樣條函數，利用式(3)和式(5)，得到待飛航程解析積分公式為：

(6)

(7)

其中，Smax和Smin分別表示待飛航程的上下邊界。

4 基于航程計算公式的阻力加速度剖面解析設計

根據以上推導的航程解析公式，可知，在對阻力加速度倒數走廊進行三次樣條插值后，其所對應的航程與三次樣條擬合出的系數成線性關系，由此可以根據任一在航程邊界內的待飛航程S，推導出相應的阻力加速度剖面。

首先，利用式(8)計算與航程上下界之間的關系：

(8)

由式(8)中的ξ計算阻力加速度倒數剖面對應的系數，如式(9)。

(9)

式(9)得到了阻力加速度倒數各段的三次函數系數，即得到了滿足航程要求的完整且解析的阻力加速度剖面。

5 仿真驗證

利用第3節推導出的公式進行待飛航程解析計算，采用文獻[11]中的飛行器參數：

質量m=1000kg，參考面積Sref=3.5m2。升力系數和阻力系數采用簡化形式，其中升力系數:

阻力系數：

攻角α采用與速度相關的固定剖面：

(10)

走廊邊界所對應的約束：

1)駐點熱流約束：

2)動壓約束：Q<15000Pa；

3)過載約束：Nmax<5g。

再入過程初始和終端信息如表1。

表1 再入初始和終端約束

仿真結果如圖4～7。

圖4 解析計算與龍格庫塔方法對比

圖5 解析積分與數值積分偏差

圖6 阻力加速度剖面

圖7 航程-能量剖面

其中,圖4的方形節點所表示的曲線是本文方法解析積分得到的待飛航程，圓形的是數值積分得到的待飛航程，兩者基本重合。為了進一步比較兩者偏差，在圖5中給出了上下界數值積分和解析積分的偏差，同時列出了文獻[11]中的偏差，2種方法與龍格庫塔積分的誤差在同一水平上，為10-4m級別，本文采用的方法省去了卡爾丹分解過程，形式上更加簡單。

利用本文的解析預測航程的方法可以設計滿足航程要求的阻力加速度剖面。分別選定待飛航程S=1500km，2000km，3000km及4500km，利用式(8)和(9)進行仿真計算。圖6給出了相應的阻力加速度剖面，圖7給出了其所對應的航程，仿真結果與航程要求一致且滿足阻力加速度走廊約束。

6 結論

將飛行過程約束和平衡滑翔約束轉換成阻力加速度倒數-能量的約束，利用三次樣條函數對阻力加速度倒數-能量走廊進行擬合，并推導出待飛航程的解析計算公式，利用解析航程預測公式進行仿真，與龍格庫塔積分精度一致，同時根據預測結果可以解析設計阻力加速度剖面，形式更加簡單，計算效率較高，有工程應用的潛力。