基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法*

韓學(xué)兵，姜照君

（解放軍95795部隊(duì)，廣西 桂林 541003）

0 引言

傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法（如MUSIC方法、ESPRIT方法等），在信源不相干的前提下利用空間分解后的正交性構(gòu)造出“針狀”空間譜，若信源相干則會(huì)嚴(yán)重影響分辨和測(cè)向精度[1]?？臻g中信源個(gè)數(shù)有限且一般小于陣列傳感器數(shù)量，符合空間“稀疏”定義，因此，稀疏重構(gòu)算法可應(yīng)用于DOA估計(jì)。由于稀疏空間中只有“0”或“1”的區(qū)別，而無需區(qū)分相干源或非相干源，也不會(huì)用到噪聲空間和信號(hào)空間的正交特性，因此，在處理DOA估計(jì)問題時(shí)具有極強(qiáng)的穩(wěn)健性；同時(shí)，稀疏重構(gòu)方法只是在它認(rèn)為信號(hào)可能存在的精確位置不斷地聚集能量同時(shí)抑制無信號(hào)區(qū)域的能量，從而達(dá)到高分辨效果。

目前，可用于DOA估計(jì)的稀疏重構(gòu)算法有很多，包括利用每步迭代中殘差與采樣矩陣的匹配運(yùn)算后剪枝逼近最優(yōu)解的貪婪算法（如OMP、CoSaMP[2]等）；用SVD方法將觀測(cè)矩陣分解，在保持信號(hào)子空間維度的前提下對(duì)噪聲子空間降維以降低運(yùn)算量的-SVD方法[3]；以及在每步迭代中令加權(quán)范數(shù)最小的FOCUSS方法及其衍生算法[4-6]。貪婪算法雖然運(yùn)算量低、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是對(duì)信號(hào)模型傳感矩陣的 RIP（Restricted Isometry Property）[7]性要求高，而且在稀疏項(xiàng)數(shù)量較少情況下才能保證較高的恢復(fù)成功率；采用最小范數(shù)原理的-SVD等方法，基于凸優(yōu)化方法進(jìn)行運(yùn)算和重構(gòu)，算法復(fù)雜、運(yùn)算速度慢、運(yùn)算硬件成本高等特性使之不適用于大規(guī)模計(jì)算；FOCUSS及其衍生算法類中，原始FOCUSS 方法[4]重構(gòu)精度不高，TLS-FOCUSS 方法[5]不能用于MMV模型的DOA估計(jì)，SD-FOCUSS方法[6]不能對(duì)DOA模型中模型噪聲進(jìn)行有效建模而降低了估計(jì)性能。

本文研究了一種基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法。該方法將傳統(tǒng)的DOA估計(jì)模型構(gòu)建為具有稀疏性的信號(hào)處理模型，對(duì)壓縮傳感/感知技術(shù)應(yīng)用于DOA估計(jì)的方法進(jìn)行拓展和改進(jìn)，在信號(hào)處理的每次迭代運(yùn)算中，利用FOCUSS方法求解出最小范數(shù)加權(quán)矩陣，并對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行初步重構(gòu)；再利用初步重構(gòu)數(shù)據(jù)進(jìn)行改善性能的加權(quán)矩陣二次賦值并對(duì)輸入信號(hào)再次重構(gòu)，得到更加精確的信號(hào)重構(gòu)結(jié)果，最后利用重構(gòu)信號(hào)的行稀疏性與傳感矩陣列向量之間的映射關(guān)系進(jìn)行DOA估計(jì)。

1 DOA估計(jì)信號(hào)模型

為將DOA估計(jì)表述為一個(gè)稀疏重構(gòu)問題，還需對(duì)式（1）等價(jià)變換，構(gòu)建出滿足稀疏表示的信號(hào)模型。為此，構(gòu)建為一個(gè)包含所有位置信息的冗余字典矩陣，其中為全域方位角的采樣向量，且；并構(gòu)建稀疏向量，其中 x（n，l）的值為：

則式（1）可等價(jià)為

多快拍DOA估計(jì)的稀疏信號(hào)模型可表達(dá)為

2 基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)

在貝葉斯理論觀點(diǎn)中，X可認(rèn)為是獨(dú)立于噪聲N的隨機(jī)、具有行稀疏性的未知矩陣。在此假設(shè)下，可得到X的最大后驗(yàn)估計(jì)

其中，P（X|Y）表示在Y發(fā)生的條件下X發(fā)生的概率，P（Y|X）表示在X發(fā)生的條件下Y發(fā)生的概率，P（X）表示X發(fā)生的概率。假設(shè)噪聲N中各元素是服從方差為σ2的高斯白噪聲，則可知

綜上可得X的最大后驗(yàn)估計(jì)為：

利用迭代松弛算法，可得到

利用矩陣求逆公式，可得到本次迭代的初步估計(jì)

根據(jù)上述加權(quán)原理，本文提出了一種具有顯性表達(dá)式的加權(quán)方法，即在第k次迭代中，通過的值求取能改善估計(jì)性能的二次加權(quán)矩陣Wk。將按行取范數(shù)得到的，對(duì) FOCUSS方法的加權(quán)矩陣賦值方式進(jìn)行改進(jìn)，按照各元素的幅值比重對(duì)加權(quán)矩陣Wk的對(duì)角元素進(jìn)行賦值，即：

首先令Wk為N×N對(duì)角矩陣，然后令對(duì)角元素的值滿足

得到二次加權(quán)矩陣后，在第k次迭代中對(duì)X進(jìn)行二次估計(jì)，將步驟4）中的加權(quán)矩陣替換為新加權(quán)矩陣Wk，其估計(jì)公式為：

其中，Ak=AWk。

基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法步驟如下：

基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法初始化：Y，X0，A，σ，p，ε（預(yù)設(shè)收斂參數(shù)）1）計(jì)算，其中，；2）令，計(jì)算?；3）計(jì)算中前2K個(gè)幅度最大值對(duì)應(yīng)的基坐標(biāo)集；4）令Wk為N×N的對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素滿足：，令U為5）令，計(jì)算?；6）如果，算法結(jié)束；否則，迭代次數(shù)加 1，即 k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟 1）。

3 仿真算例

本節(jié)將用仿真實(shí)驗(yàn)證明基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法，對(duì)比其他可用于DOA估計(jì)算法時(shí)的優(yōu)越性。在每次仿真實(shí)驗(yàn)中，陣列是40陣元的標(biāo)準(zhǔn)線性陣列，觀測(cè)快拍數(shù)為100；觀測(cè)矩陣A中空間角度的網(wǎng)格劃分方式為-90°∶0.1°∶90°；信源為2個(gè)相干信源，入射角分別為6.05°和-6.31°；信號(hào)源幅度都設(shè)置為 1；信噪比（SNR）為 1/σ2；獨(dú)立蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500次。

圖1 各DOA估計(jì)方法分辨力比較

圖2 各DOA估計(jì)方法RMSE比較

圖1給出的是本文方法（RewFOCUSS）、RM-FOCUSS算法、-SVD方法應(yīng)用于DOA估計(jì)，以及傳統(tǒng)DOA估計(jì)的MUSIC方法，在進(jìn)行角度估計(jì)時(shí)所得結(jié)果的分辨力對(duì)比。圖1中對(duì)各估計(jì)結(jié)果的最強(qiáng)信號(hào)幅度都進(jìn)行了歸一化處理。可以看出，傳統(tǒng)DOA估計(jì)的MUSIC方法分辨力是最差的，而稀疏重構(gòu)算法應(yīng)用于DOA估計(jì)時(shí)都可以達(dá)到超分辨的效果。

圖2給出的是RewFOCUSS方法、RM-FOCUSS方法、-SVD方法、SD-FOCUSS方法應(yīng)用于DOA估計(jì)時(shí)，得到的估計(jì)角與真實(shí)角之間的統(tǒng)計(jì)均方根誤差（RMSE）曲線圖。通過RMSE曲線對(duì)比可看出，RewFOCUSS方法和-SVD方法所得結(jié)果的RMSE較小，即估計(jì)精度更高；在不同信噪比條件下，-SVD方法的曲線更平穩(wěn)，穩(wěn)健性最好，RewFOCUSS方法次之。

表1 各類算法運(yùn)行時(shí)間（ms）

表1給出了各算法在同等環(huán)境中的運(yùn)行時(shí)間，仿真環(huán)境為：仿真軟件為Matlab R2012a，計(jì)算機(jī)處理器為Intel Core i3-4170 3.70GHz，內(nèi)存為4 GB。通過對(duì)比可看出，RM-FOCUSS方法速度最快；Rew-FOCUSS方法次之；由于-SVD方法的運(yùn)算過程是基于凸優(yōu)化算法完成的，運(yùn)算量較大，運(yùn)算過程最慢，所用時(shí)間約是RewFOCUSS方法的20倍。

通過本節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)，可得出RewFOCUSS算法無論是在恢復(fù)精度、穩(wěn)健性，還是運(yùn)算速度方面，其性能都是較優(yōu)的，其綜合性能在同類算法中是最好的。

4 結(jié)論

為有效解決稀疏重構(gòu)框架下的DOA估計(jì)問題，本文提出了基于FOCUSS二次加權(quán)的DOA估計(jì)方法，給出了該方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程和改進(jìn)思路。該方法能通過對(duì)稀疏信號(hào)精確重構(gòu)，能夠高分辨估計(jì)出信源的入射角度，與其他稀疏重構(gòu)方法相比，該方法的估計(jì)精度更高、更穩(wěn)健，硬件運(yùn)算成本更低，綜合性能更好，因而在處理實(shí)際問題時(shí)更易實(shí)現(xiàn)、應(yīng)用更廣。