一類非線性反饋系統(tǒng)的自適應輸出調(diào)節(jié)*

崔 雷，李其申，，儲 珺

（1.南昌航空大學信息工程學院，南昌 330063；2.江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，南昌 330063）

0 引言

為了維持閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，設(shè)計一個有效的反饋控制器尤為重要，要求閉環(huán)系統(tǒng)的輸出可以漸近地跟蹤由外部系統(tǒng)產(chǎn)生的參考輸入，且對于外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾，它也能漸近地抑制，當產(chǎn)生參考輸入和干擾的外部系統(tǒng)模型滿足自治微分方程時，這就變成了輸出調(diào)節(jié)問題。關(guān)于線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題，在20世紀七八十年代得到了充分細致的研究[1-2]。從20世紀90年代開始，研究者開始把焦點投向非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)領(lǐng)域，并取得了一些重要的研究成果[3-12]。其中，文獻[3]研究了一類非最小相位分線系統(tǒng)的魯棒輸出調(diào)節(jié)。文獻[4]把模糊自適應控制引用到一類非線性不確定系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)。

文獻[5]研究了一類不確定非線性系統(tǒng)的動態(tài)面輸出調(diào)節(jié)。文獻[6]把神經(jīng)網(wǎng)絡引用到非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題。文獻[7]研究了外部系統(tǒng)為非線性的輸出調(diào)節(jié)問題。文獻[8]研究了一類非線性輸出反饋系統(tǒng)的自適應輸出調(diào)節(jié)問題。

由于在上述文獻中，外部系統(tǒng)的假設(shè)條件大多數(shù)都是線性的，非常不利于輸出調(diào)節(jié)理論的發(fā)展和應用，文獻[7-11]研究了具有非線性外部系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)。文獻[13]研究了兩類MIMO非線性系統(tǒng)的自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制算法。而文獻[14]研究了一類純反饋非線性系統(tǒng)問題。關(guān)于嚴格反饋非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題，在文獻[15]中作了詳細介紹。然而，上述文獻均要求系統(tǒng)具有穩(wěn)定的零動態(tài)，也就是必須考慮非線性系統(tǒng)是最小相位的情況。

本文研究一類非線性外部系統(tǒng)，且相對階數(shù)等于2的不確定非線性的最小相位系統(tǒng)[16]的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問題。由于非線性外部系統(tǒng)和非最小相位的假設(shè)條件同時在以下系統(tǒng)模型中出現(xiàn)，使得這一問題更為棘手，從而也更具有挑戰(zhàn)性。本文將采用非線性內(nèi)模的方法來設(shè)計、反饋控制、自適應理論和Lyapunov函數(shù)設(shè)計方法[17]等設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器。

1 系統(tǒng)和問題描述

考慮式（1）描述的不確定非線性系統(tǒng)：

且滿足a（0）=0的光滑函數(shù)。

系統(tǒng)式（1）中 f，g，q 是充分光滑的函數(shù)，且

問題描述：考慮非線性系統(tǒng)式（1）和非線性外部系統(tǒng)式（2），設(shè)計一個反饋控制器，使得對任意的初始狀態(tài)和w，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡在時間t＞0是有界的，且使。

為了將式（1）的輸出調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)化為增廣系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，需要作如下假設(shè)：

由于解u（v，w）依賴于外部信號 v和w，所以u（v，w）是不能直接用于反饋控制的。那么需要設(shè)計一個不依賴v和w的非線性內(nèi)模系統(tǒng)，漸進地提供一些關(guān)于u（v，w）的信息，來達到控制的目標。

2 非線性內(nèi)模設(shè)計

假設(shè)2對非線性系統(tǒng)式（1）和式（2），存在一個式（4）所示的非線性系統(tǒng)：

且存在任意的矩陣A，B使得：

綜上所述，可以設(shè)計一個如下形式的內(nèi)模系統(tǒng)：

3 狀態(tài)和輸入變換

要使非線性系統(tǒng)式（1）和非線性外部系統(tǒng)式（2）的全局魯棒輸出調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)換為全局魯棒穩(wěn)定性問題，要對式（1）、式（2）和內(nèi)模式（8）作式（9）所示的變換：

那么，根據(jù)式（1）的狀態(tài)x和式（9）的x得到：

其中：

再根據(jù)式（1）的跟蹤誤差e可得：

那么可得：

其中：

由此可知，關(guān)于非線性系統(tǒng)式（1）和非線性外部系統(tǒng)式（2）的全局魯棒輸出問題轉(zhuǎn)化為式（10）、式（12）、式（13）的全局魯棒穩(wěn)定性問題。

假設(shè) 4 存在一個在 z（0）=0 的光滑函數(shù) z（e）和下列式子：

能夠使得式子：

滿足對任意取定的光滑函數(shù)c（e）＞0都有：

1）存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)Ve和兩個K∞類的函數(shù)，使得：

由此可知：

其中：

這樣，就將非線性系統(tǒng)式（1）和非線性外部系統(tǒng)式（2）的全局魯棒問題轉(zhuǎn)化為非線性系統(tǒng)式（16）、式（19）的全局穩(wěn)定性問題。

4 反饋控制器設(shè)計

定理1對非線性系統(tǒng)式（1）和外部擾動系統(tǒng)式（2），通過設(shè)計非線性內(nèi)模來估計外部未知擾動系統(tǒng)，利用Lyapunov函數(shù)和自適應理論推導出控制器式（22），使得系統(tǒng)全局穩(wěn)定有界，且使得。

其中，Ve（e）是連續(xù)可微的，矩陣P是正定對稱。

根據(jù)Lyapunov函數(shù)，可知V是一個無界且正定的函數(shù)。那么，對時間t求導得：

由式（18）可得：

由式（5）不等式可知：

可知：

對任意的實數(shù)t1，t2，選取適當?shù)某崝?shù)ε，使得存在下列不等式：

則由式（27）得：

再把式（21）代入不等式（28）可得：

設(shè)：

則得到：

根據(jù)控制器式（22），可得：

令：

則由式（33）得到：

綜上所述可知：V的導數(shù)是負定的，根據(jù)Lyapunov從而知道都是有界穩(wěn)定的，再利用Barbalat引理，可知道。

證畢。

5 仿真實例

本部分內(nèi)容用一個數(shù)值仿真例子來驗證前面理論的有效性。

考慮式（35）所示的非線性系統(tǒng)：

其中，w為不確定參數(shù)。x，y為系統(tǒng)狀態(tài)，u為控制輸入，e為跟蹤誤差。v1，v2為干擾，由非線性外部系統(tǒng)生成。

根據(jù)式（3）可得：

那么，可以得到非線性內(nèi)模：

可知滿足假設(shè)2和假設(shè)3。

圖1 跟蹤誤差e

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x，y

圖3 控制輸入u

圖4 ζ的仿真圖形

圖5 內(nèi)模η1估計外部系統(tǒng)v1

6 結(jié)論

針對一類不確定相對階數(shù)為2的非線性系統(tǒng)式（1），在外部未知非線性擾動系統(tǒng)式（2）下，結(jié)合輸出調(diào)節(jié)理論，提出了一種非線性內(nèi)模，利用Lyapunov函數(shù)和自適應理論設(shè)計出反饋控制器，使得非線性系統(tǒng)式（1）全局狀態(tài)漸近的有界穩(wěn)定，且跟蹤誤差最終穩(wěn)定。通過數(shù)值仿真可知，設(shè)計的控制器是有效的。