一類四階偏微分方程的李對(duì)稱分析、Backlund變換及其精確解

代慧菊 李連忠 王琪 沙安

摘要：利用齊次平衡法獲得了一類四階偏微分方程的B/icklllnd變換，進(jìn)而得到方程的幾組精確解;然后運(yùn)用李對(duì)稱分析方法，獲得該方程的向量場(chǎng)，利用相似變換，把難于求解的非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的常微分方程，并通過(guò)求解所得到的約化方程，結(jié)合冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法，得到原方程的一系列精確解.

關(guān)鍵詞：B/icklund變換法;

四階偏微分方程;

李對(duì)稱分析;

冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法;

精確解

中圖分類號(hào)：0175.29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.003

0引言

由于非線性偏微分方程在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，因此，尋找非線性偏微分方程的精確解成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的一個(gè)重要研究課題.近年來(lái)，有許多方法已用于尋求這類方程的精確確解，其中，李對(duì)稱分析和Backlllnd變換法也都是研究非線性偏微分方程的常用有效方法.四階偏微分方程在自然科學(xué)領(lǐng)域和工程技術(shù)領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用背景，它起源于物理學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，特別是在彈性梁和穩(wěn)定性理論中具有極其廣泛的應(yīng)用.本文研究如下這類四階偏微分方程：

4基于冪級(jí)數(shù)法的方程的冪級(jí)數(shù)解

在這一節(jié)中，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法對(duì)約化后的方程分別求其精確解，進(jìn)而求得方程（1）的精確解.通過(guò)第3節(jié)的分析注意到，方程（33）和（36）具有相似的結(jié)構(gòu)，均為四階非線性非自治常微分方程，除特殊形式外，一般不能直接求得該類方程的解析解.但是該類方程的解在非線性理論及物理應(yīng)用中十分重要.所以，這一節(jié)主要運(yùn)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法來(lái)求解方程（36）.由于冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)均為最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，因此在工程及近似計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用.

假設(shè)方程（36）有如下的冪級(jí)數(shù)解

5結(jié)論

齊次平衡法與李對(duì)稱分析都是求解非線性偏微分方程精確解的有效可行方法，具有廣泛的應(yīng)用.本文分別利用齊次平衡法和李對(duì)稱分析研究了一類四階偏微分方程，不但得到方程的Backlund變換，并求得方程的部分精確解，而且得到方程的對(duì)稱性，然后運(yùn)用相似約化的思想，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，結(jié)合冪級(jí)數(shù)法求解約化方程，進(jìn)而得到原偏微分方程具有很強(qiáng)收斂性的冪級(jí)數(shù)解.