基于分層貝葉斯模型的損失準備金估計

章溢 劉志強 鄒思思 溫利民

摘要：傳統的準備金模型主要是通過加總個體數據得到聚合損失三角形數據建立的，然而，這種數據的加總對原始個體數據產生不可避免的信息浪費.雖然這種方法簡單，但可導致準備金估計的較大偏差.近年來提出的個體數據準備金模型中大都沒有考慮保單合同之間的相依性.本文假設相同事故年的保單產生的索賠具有某種共同效應導致的相依情形，通過建立個體數據準備金的分層貝葉斯模型，利用信度理論的思想，得到每個事故年的準備金估計，從而得到總準備金的估計.進而，討論了發展因子和結構參數的估計及其相應的統計性質.最后，給出數值例子表明本文給出的準備金估計的計算方法，并且比較了個體數據和聚合數據下準備金估計的均方誤差.

關鍵詞：損失準備金;共同效應;個體損失數據;信度估計

中圖分類號：0157.5 文獻標志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.002

0引言

損失準備金是指保險人為未來可能的索賠導致的損失所提取出來的金額.充足的準備金是保證保險公司業務穩定的前提.準備金的估計和提取是保險公司中最為重要的一項工作.

準備金估計最常用的方法是所謂的鏈梯法，或B-F法等.這些方法估計未來準備金的基礎是損失三角形數據.注意到損失三角形數據是精算師為了準備金估計的方便對以往所有保單的索賠數據進行加工整理而得到的.由于鏈梯法有現成的計算規則，計算簡單且操作方便，更加易于理解，因此在保險公司中得到廣泛運用，理論上也進行了大量的研究.然而，在損失三角形數據的形成過程中，數據的加總容易損失保單個體索賠的信息，從而導致準備金估計出現較大的偏差.另外，加總后的損失三角形也無法再恢復原始的索賠信息.因此，有研究者提出利用個體索賠數據的原始信息直接估計準備金，最后對準備金進行加總得到總準備金.為了和鏈梯法相區分，我們常常把鏈梯法中運用的損失三角形稱為聚合數據模型，而后者稱為個體數據模型.近年來，個體數據的責任準備金模型得到充分的發展，也積累了大量的文獻，例如俞雪梨和溫利民利用個體數據模型研究了已報未決賠款準備金的線性估計，Zhao等人建立了個體數據的半參數預測模型，Zhao和Zhou建立了個體索賠的Copula模型等.

由于個體保單的原始數據較為復雜，特別是保單之間常常呈現相依性.以往的個體數據責任準備金模型中常常假設個體保單之間的索賠是相互獨立的.然而，這種獨立性假設與實際的復雜風險模型是不相符的.在非壽險精算中，已有許多文獻建立了風險相依模型，相關的研究可參考文獻[9-11]等.本文將考慮風險相依中責任準備金的估計問題.

由于風險的非齊次性，每個保單的索賠都依賴于保單本身的風險特征.在非壽險精算中，常常用隨機變量θ來刻畫該保單的風險特征，稱之為風險參數.因而責任準備金模型的統計推斷就落入了貝葉斯框架.假設各個保單之間由于某種共同效應的影響和呈現相依結構，且這種共同效應因子本身也是隨機變量，則具有共同效應相依的風險模型恰好是貝葉斯統計中的分層貝葉斯模型，可參考文獻[12-13].為了使得準備金的估計不依賴于風險參數和共同效應的先驗分布，本文將利用信度理論的思想，將責任準備金的估計限定在所有個體損失的線性函數中.在平方損失函數下，最小化期望損失得到最小求解責任準備金的最優估計.

本文主要研究分層相依風險模型中責任準備金的估計.為了充分使用樣本信息，我們對個體風險的索賠進行模型假設，利用信度理論的方法避開先驗分布的選取，從而得到的準備金估計只需要先驗分布的前兩階矩，最后利用經驗貝葉斯方法提出了結構參數的估計方法，最終的責任準備金估計僅僅依賴于樣本數據，可以在實際中直接使用.后面的章節安排如下：第1節給出分層貝葉斯模型的假設和符號;第2節給出準備金的信度估計，并討論估計的統計性質;第3節研究信度估計中的結構參數和索賠方式的估計問題;最后一節給出數值模擬，比較本文的估計與鏈梯法估計的均方誤差.

顯然，在均方誤差的意義下，信度估計比鏈梯估計更優.更重要的是，利用個體數據能構造結構參數的估計，而聚合數據的加總過程已經損失了個體保單的方差信息，因而個體數據模型比聚合模型更具有優勢.