一類截尾穩(wěn)定過程驅(qū)動的SIS傳染病模型

張振中 張權(quán) 楊紅倩 張恩華

摘要：考慮一類由譜正α-穩(wěn)定過程驅(qū)動的SIS（易感一感染一易感）模型.首先證明了全局正解的存在唯一性;其次，利用Khasminskii引理和Lyapunov方法，得到了平穩(wěn)分布存在唯一性的條件，并證明了模型的指數(shù)遍歷性;最后，給出了模型滅絕的條件.

關(guān)鍵詞：譜正α穩(wěn)定過程; 平穩(wěn)分布;

指數(shù)遍歷性;

滅絕性

中圖分類號：0211.63

文獻標志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.001

0引言

傳染病是一種可以從一個人或其他物種，經(jīng)過各種途徑傳染給另一個人或物種的感染病.每年有大量人口死于傳染性疾病.據(jù)世界衛(wèi)生組織報告顯示，每年大約有100萬人死于艾滋病.140萬人死于肺結(jié)核.在傳染病的研究中，數(shù)學(xué)模型一直發(fā)揮著重要作用.近年來，許多研究人員建立了一些數(shù)學(xué)模型來研究傳染病的傳播.1927年，Kermack等首次提出了SIR（易感一感染一康復(fù)）模型來研究傳染病的傳播.該模型將人群分為易感人群（s），感染人群（I）以及康復(fù)人群（R）.模型中的個體在最初屬于易感人群，在某個時間點感染疾病變?yōu)楦腥救巳海?jīng)過一段時間之后變?yōu)榭祻?fù)人群并免疫疾病.然而由于大多數(shù)疾病并不能完全免疫，所以不同于SIR模型，傳染病模型中另一個典型的模型為SIS模型.此時疾病的傳播方式為：易感者在某個時期感染疾病，經(jīng)過治療后康復(fù)重新成為易感者.為研究此類疾病，1984年，Hethcote和Yorke[提出了如下SIS模型.

對于研究sIs傳染病模型，一個很重要的內(nèi)容是基于感染者的歷史觀測值，預(yù)測感染者的未來人數(shù)的區(qū)間估計.由于歷史數(shù)據(jù)為時間序列的數(shù)據(jù)，一般不相互獨立.一個自然的問題是，在什么條件下這些時間數(shù)據(jù)近似同分布？精確地說，這些數(shù)據(jù)的對應(yīng)過程是否具有平穩(wěn)性？進一步，對應(yīng)從不同初始值出發(fā)，過程（x（t））在什么條件下遍歷？注意到，如果過程（z（t））遍歷，則我們可以利用遍歷定理來估計過程的參數(shù).此外，如果過程不是遍歷的，過程是否幾乎處處收斂到0？這在傳染病模型中，稱之為幾乎處處滅絕.

綜上所述，本文的主要目的是研究以下3個問題.

（1）在什么條件下，模型（6）有唯一全局正解？

（2）在什么條件下，模型（6）有唯一的平穩(wěn)分布且指數(shù)遍歷？

（3）在什么條件下，當(dāng)t趨近無窮時，t時刻的感染者x（t）以概率1趨近于滅絕？

本文將部分回答以上3個問題.