皮亞杰認知發展理論對小學數學教學的啟示

李友莉

[摘要]《義務教育數學課程標準（2011年版）》中強調，要面向全體學生，適應學生的個性發展，讓不同的學生在數學方面得到不同的發展。然而，數學學習困難、厭倦數學是很多小學生普遍存在的現象。本文基于皮亞杰認知發展理論，將課程目標與認知能力作比較后得出，兩者的差距集中在“最近發展區”，個體需要通過外來參與者的幫助消除這個差距。鑒于此，得到了鼓勵兒童自發性學習;以游戲活動為載體，創造情景化的課程;開展小組合作學習方式;增強同一性訓練和變式訓練等啟示，旨在對小學數學教學提供一些可行性的建議，從而提高教學效率。

[關鍵詞]認知發展理論;最近發展區;小學數學;數學教學

[中圖分類號] G420[文獻標識碼] A[文章編號]1005-5843（2019）02-0141-06

[DOI]10.13980/j.cnki.xdjykx.2019.02.027

教與學不僅是一門科學，而且是一門藝術。在科學的基礎上，眾多心理學家對此提供了重要的學習理論。其中，瑞士心理學家皮亞杰的認知發展理論對我國教學領域產生了重大的影響。他認為，影響人的認知結構的發展，重要的影響因素之一就是物理經驗和邏輯數學經驗，強調一切知識起源于主體實際動作（物理經驗）和動作圖式 （邏輯數學經驗）。邏輯數學經驗的形成發展依賴于數學知識學習和數學能力發展;反之，亦會促進學生認知結構的發展[1]。因此，數學學習不僅增長學生的知識，更促進學生思維的形成和認知結構的發展。通過查找文獻發現，皮亞杰認知發展理論對小學數學教學研究的理論審視較少。鑒于此，本文將在認知理論的基礎上，提出針對小學數學教學的有效策略。

一、皮亞杰認知發展理論的主要觀點

皮亞杰是當代杰出的兒童心理學家，是建構主義認知理論的先驅。他認為，兒童的認知發展是一種內部結構的變化，他的認知發展說為教育原理提供了心理論證。“圖式”是認知發展說的核心概念，是活動的結構和組織。首先，兒童在出生時具有某些遺傳性圖式，是先天具有的動作。其次，在原有圖式的基礎上，兒童通過活動與外界接觸，有機體不斷發生變化，更加豐富了原有的圖式。這些變化包括同化和順應兩個方面：同化即將客體納入主體已有的圖式之中，引起圖式的量變;順應即當主體的圖式與客體發生沖突時，就調節原有的圖式，創立新的圖式，從而引起質變。最后，個體在與外界環境的不斷接觸中，通過同化和順應兩種變化來達到某種相對穩定的狀態，即平衡狀態。

皮亞杰將兒童的認知發展水平分為4個階段：第1階段為前語言的感知運動階段（0～2歲）。這個階段兒童的心理發展處于感覺運動水平之上，依靠感知覺和動作的逐漸協調，形成一些低級的行為。這種純實踐的智力不能進行再現，也不能從事思維。第2階段為前運算階段（2～7歲）。這個階段的兒童開始用符號或語言描述事物，心理范圍有所擴大。符號的機能使得感知運動有可能借助思維而擴展自己，但是他們使用的語言或符號還不能代表抽象概念，思維仍受直覺表象的束縛。如，還不能掌握“可逆性”思維等。第3階段為具體運算階段（7～12歲）。這個階段兒童的思維性質與學前兒童經驗性思維的區別在于，它是內化的和可逆的。也就是說，兒童具有了能應用于具體問題的邏輯運算能力。如，能初步掌握系統的方法、處理分類和序列等問題。第4階段為形式運算階段（12～15歲）。這個階段兒童的思維發展很迅速，發生了一次根本性的改革，其主要特征是兒童從具體事物中解放出來。兒童的思維接近成人的思維水平，即可在頭腦中將形式和內容分開，憑借假設和推論進行邏輯推演的思維。形式運算使兒童不受時間和空間的限制去認識和把握事物的發展規律，去探討研究命題的各種關系。本文主要研究小學的具體運算階段 [2] 。

二、課程目標與認知發展能力的比較

數學是研究數量關系和空間關系的一門科學，與我們的生活息息相關，既來源于生活，又高于生活。著名學者維果茨基曾提出“最近發展區”這個概念，即一個學習者能獨立達到的水平與在技能更為嫻熟地參與的指導下和鼓勵能達到的水平之間的差距[3]。與此同時，皮亞杰認知發展理論對各個年齡階段兒童的認知發展能力做了一個階段性的劃分，得出不同年齡階段兒童的認知發展水平現狀，在這里可以將其看作是一個學習者能獨立達到的水平。而《義務教育數學課程標準（2011年版）》中對小學階段提出兩個學段課程目標，即通過外來參與者幫助個體達到的水平目標。中間這個差距主要通過學生在學校接受教師的指導以及同伴間的互助學習來消除。新課標中的兩個學段目標對于學生能力發展提出了不同的要求：第1學段的學生正處在認知發展的前運算過渡階段和具體運算階段的初始階段。在這個階段，兒童的思維發展特征既有前運算階段發展的特征，又有具體運算階段的特征，表現出教學活動中的復雜性，而教師如何有智慧地教學起了關鍵性作用。第2學段學生的認知能力發展處于一般具體運算階段，相對于前1個階段的學生，教師更能夠根據認知發展規律進行教學。因此，一個技術嫻熟并有經驗的教師指導學生學習顯得尤為重要。筆者通過對課程目標與認知發展階段能力特征的比較，找出它們之間的統一性和差異性，旨在提出一些提高教學效率的有效措施。

表 1課程目標與認知發展能力的比較

第1學段第2學段

課程目標知識技能：經歷從日常生活中抽象出數的過程、體會四則運算的意義及掌握必要的運算技能，感受平移、旋轉、軸對稱現象及認識物體的相對位置，掌握初步的測量、識圖和畫圖技能

數學思考：發展數感以及空間概念，能對調查過程中獲得的簡單數據進行分類，能提出一些簡單的猜想，能獨立思考及表達自己的想法

問題解決：能提出簡單的數學問題并嘗試解答，了解解決問題可以有不同的解決方法，體驗與他人合作交流的過程

情感態度：對身邊與數學有關的事物充滿好奇心，能傾聽別人的意見并知道應該尊重客觀事實，感受數學與生活的密切聯系等

知識技能：體驗從具體情境中抽象出數的過程，掌握必要的運算技能，能用方程表示簡單的數量關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征，能畫簡單圖形運動后的圖形

數學思考：初步形成數感和空間概念，認識數據中蘊藏的信息，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中發展合情推理能力

問題解決：能提出簡單的數學問題，并運用知識加以解答，了解解決問題的多樣性，經歷與他人合作交流解決問題的過程并嘗試解決

情感態度：主動參與數學學習活動，養成樂于思考、言必有據的好習慣

認知能力前運算階段的特征：符號功能、表征知識、泛靈論、自我中心

具體運算階段：守恒、去中心化、掌握關系推理、能分類、空間運算

如表1所示，課程目標與認知能力水平發展是相互統一的[4]，主要表現在：一是兒童發展表現出的符號功能、分類及推理能力與數的認識及運算相統一。在前運算階段，兒童已經表現出具有符號功能的能力，即用一個事物表征來代表另一個事物的能力[5]。如，在人教版1年級上冊的準備課中，將1面國旗表征為數字1、2個跨欄表征為數字2等，以此來發展學生對數的認識。當學生的認知能力發展到形式運算階段，具有了分類和推理能力，他們就能夠進行分類整理及對數的大小進行比較。二是兒童發展的去中心化與多角度思考關系密切。所謂去中心化，就是忽略錯誤表象，并在解決問題時考慮問題情境的多個方面（發展心理學）[6]。如，在學生進行簡便運算時，他們可能不會從左到右依次進行計算，而是通過觀察數字規律去尋求一種簡便的運算方法。三是表征知識與兒童創新能力的培養相統一。所謂表征知識，即某一實體代表其他事物而不是該實體本身的知識。在這個階段，象征性游戲大量涌現，對兒童的想象力、社會性及情緒發展尤為重要。因此，通過課程目標與認知發展能力的比較，它們是相互統一的，而差異性主要表現在學生縮小差距的不同。

三、認知發展理論對小學數學教學的啟示

學生需要通過同伴互助和教師指導的方式來幫助個體達到潛在發展水平，從而跨越“最近發展區”。但由于個體自身能力發展水平與潛在發展水平之間差距消除的不同，學生得到的發展也不同。筆者通過兩者差距之間的統一性和差異性，針對其特點，結合認知發展理論，提出有利于小學數學教學的幾點啟示。

（一）鼓勵兒童自發性學習

兒童認知的自發性是同認知活動相互關聯的，它意味著學習不是環境刺激的被動反應，而是自身將其納入已有認知結構中的行為。兒童的主體活動和運算方式位于學習的中心。皮亞杰提出“理解即發明”，學習材料經由兒童自我發現，才能產生深刻的理解[7]。因此，教師作為指導者，要鼓勵學生自主發現知識，不能一味地向學生灌輸知識。以人教版6年級下冊圓柱的表面積一課為例，課程目標是要求學生掌握圓柱表面積的計算公式。在學生已經掌握長方形、圓形面積公式的前提下，如何計算圓柱形的表面積這一問題就可以讓學生自主探討。教師可以讓每個學生準備1個圓柱形的物體，然后讓他們自己探討以下幾個問題：一是圓柱的側面積是多少？二是2個底面的面積是多少？圓柱的表面積用公式如何表示？當學生發現圓柱體的側面展開是長方形時，圓柱表面積的計算就迎刃而解了。學生自主發現圓柱體表面積的計算公式，有利于加強他們對知識本身的理解，增強其學習數學的興趣。

一直以來，數學學科因為本身邏輯性比較強，學起來枯燥，很難激起學生的興趣。除了一直強調的通過強化學生的內部動機來激發學習興趣，也可以適當地通過物質獎勵、口頭鼓勵等方式來促進學生的自發性學習。另外，大多數小學生都處于具體運算階段，邏輯思維仍然離不開直觀、具體的事物。因此，教師可以運用一定的模型教具、形象的動畫展示去幫助學生思考、分析、總結問題，從而培養他們提出問題、解決問題的能力。

（二）以游戲活動為載體，創造情境化課程

皮亞杰認為，兒童是在活動中進行知識自我建構的，而游戲是一種很有價值的教學活動，通過游戲可以看出兒童在活動中形成的認知圖式，并且使兒童有機會鍛煉和增強已經具備的能力[8]。在前運算階段，象征性的游戲是兒童發展表征知識能力的重要標志;在具體運算階段，兒童仍可以通過這種游戲鞏固認知能力的發展。如，在學習人教版1年級下冊認識人民幣這一課時，就可以讓學生在課堂中扮演買賣雙方，教師先教學生認識各種人民幣及換算關系，然后讓他們在買賣的游戲中加深對知識的理解。在游戲過程中，學生不僅掌握了所學的知識，還鍛煉了人際交往能力，促進了社會性發展。此外，講故事、競賽、動手操作等方式都是很有價值的游戲活動。對于1～3年級學生，他們的具體思維占主導，教師可以采取講故事、動手操作等方式指導他們學習。如，在人教版2年級上冊認識時間一章中，可以讓學生自己看圖講故事，在講述故事的過程中學會看時鐘，一方面鍛煉學生認時鐘的能力，另一方面培養他們的語言表達能力。對于4～6年級學生，他們的邏輯思維逐漸占主導地位，可以適當地設置思維較強的游戲，如“24點”“數獨”和“達芬奇密碼”，培養學生的推理能力、運算能力和數感[9]。

此外，教師的職責并不是傳授功課，而是組織情境，以引起兒童的好奇心而尋求解答，依靠恰當的安排激勵兒童的行為。創造情境化課程，可以吸引學生的注意力，特別是小學生。這是因為低齡兒童注意力的集中時間短，不能靠意志力堅持教學活動，而且他們處于前運算和具體運算階段，尚不具有抽象思維能力。特別是對于數學學科的學習，一定要借助具體的實物來幫助兒童進行理解。如，在學習圖形這節課時，教師采取探究式教學方式，學生課外搜集和剪切各種圖形帶到學校，或者觀察教室里各種事物的形狀，師生一起探討圖形的概念、性質、意義等。通過探究式學習，有利于在兒童大腦中構建各種圖形的圖式，為學習立體幾何打下堅實的基礎。到了高中階段，普遍學生反映學習立體幾何比較困難，這是因為大多數學生大腦中積累的只是隱性知識，沒有各種圖形的圖式，很難對學習立體幾何知識進行有意義的建構。所以，學生應通過活動對外界的知識進行建構。新課標中增加了“綜合與實踐”一類課程，這一領域內容的學習目的并不是知識的習得，而是能力的養成，是教會學生在活動中進行合作交流，培養他們綜合運用有關知識與方法解決實際問題的能力[10]。因此，通過教師合理的精心設計，學生全身心地投入，利用校內外資源，充分發揮出數學綜合實踐活動的巨大效能。