一個推廣的對流方程5維截斷模型的吸引集

易奇志 陳玲

摘 ? 要：本文用定性理論的方法對一個推廣的對流方程的5維截斷模型進行了動力學分析，主要是探究其整體吸引集的存在性。從模型可見，由于該模型包含了著名的動力學方程——Lorenz方程，它有奇怪吸引子。在的條件下，我們運用兩種不同的證明方法，并通過計算散度，得到了該系統在a=1時有測度為0的整體吸引集。由證明過程可見，第二種方法比較簡潔方便。

關鍵詞：對流方程 ?定性理論 ?吸引集

中圖分類號：O41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）02（c）-0247-02

對流擴散方程是一類基本的運動方程，在眾多領域中有著廣泛的運用，比如應用于環境科學、流體力學、能源開發等領域。關于對流擴散方程的理論研究和數值計算也吸引了眾多學者的關注[1-3]。在文獻[3]中，周煥文、胡開堅通過一個截斷公式并做適當的變換，得到一個推廣的對流方程的5維模型，如下：

（1）

取定其參數和初始條件進行值實驗，得到相圖在x1-x5平面上的投影是一個Lorenz奇怪吸引子，直觀地看到了該模型的一些復雜性態，但未見對此模型的理論分析，考慮到該模型參數的實際意義：σ為Prandtl常數，σ>0，s為無切變因素，b是常參數，b>0，r是Rayleigh數，r>0，a是常參數，a>0。本文將在此條件下用定性理論的方法對該模型進行動力學分析，用兩種方法可以得到：當a=1時，系統有測度為0的整體吸引集。

1 ?a=1時的吸引集

該模型必有奇怪吸引子存在，因為令，該模型成為Lorenz方程，有奇怪吸引子.那么，我們要問：在其他情況下，是否有吸引子[4-5]。

2 ?結語

對于比較復雜的動力系統，要揭示其動力學性質，一般可以從理論分析和數值計算兩個方面來進行。通過定性理論的分析方法，我們對于系統（1）的全局性態有了更進一步的了解，證得在一定條件下，系統有Lebesgue測度為0的整體吸引集。但是該系統還有很多復雜的性態尚未揭示出來，為了更深入的了解它，可以進一步進行平衡點分析，分叉分析，中心流形分析，這些工作將有助于我們更好地把握該系統的全局特征和局部特征。

參考文獻

[1] 張燕美，蘭斌，盛志強，等.非定常對流擴散方程保正格式解的存在性[J].計算數學，2018.（網絡首發）

[2] 朱曉剛，聶玉峰.變系數分數階對流擴散方程的一種算子矩陣方法[J].應用數學和力學，2018（1）：104-112.

[3] 周煥文，胡開堅.推廣的對流方程的5維截斷模型[Z].

[4] 盛昭瀚，馬海軍.非線性動力系統分析引論[M].北京：科學出版社，2001：86-92.

[5] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York： Springer-Verlag World Publishing Corp，1990.