基于相空間對稱Lorenz陣子群的混沌保密通信研究

劉林芳，芮國勝，張洋，吳前龍

（海軍航空大學信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001）

1 引言

混沌運動是自然界中存在的一類復雜的非線性運動，具有初值敏感性、有界性、類隨機性、連續寬帶頻譜等特征[1-4]，因此在保密通信、信號檢測、自動控制等諸多領域獲得了廣泛的應用[5-8]。早在1990年，數學家Pecora等[9]就提出了基于混沌理論的加密方法。混沌同步的理論和方法出現后，混沌保密通信便成為保密通信領域研究的熱點，其研究主要集中于混沌同步控制、混沌加密算法等方面。

目前，國內外已提出的混沌同步控制方法有線性反饋法[10]、自適應控制法[11]、主動控制法[12]、非線性控制法[13-14]、滑?？刂品╗15]等。文獻[16]研究了混沌系統與超混沌系統的脈沖同步，文獻[17]實現了超混沌系統的完全同步及時延同步，文獻[18]實現了不確定分數階混沌系統的自適應神經網絡同步控制?；煦绫Ｃ芡ㄐ胖饕谢煦缪谏w通信[19]、混沌鍵控通信[20]、混沌調制通信[21]等?；煦缪谏w通信的原理是在發送端將待發送信息隱藏在混沌系統所產生的混沌信號中，在接收端通過混沌同步去掉接收信號中的混沌信號，實現對原始信息的恢復。混沌鍵控通信的原理是在發送端利用2種不同的混沌信號分別代表0和1，接收端由與發送端相同的2個混沌陣子組成，通過判斷每個碼元內接收信息與混沌陣子的同步與否來解調出有用信息?；煦缯{制通信的原理是在發送端將待發送信息調制到混沌系統參數中，在接收端通過混沌系統的同步來恢復出混沌系統的參數，從而解調出有用信息。為滿足混沌陣子在大規模通信中的應用需求，文獻[22]研究了新的六階混沌電路，文獻[23]在現有混沌陣子的基礎上構建了混沌陣子的沿坐標軸轉動的模型。

綜上，目前的混沌保密通信主要是基于混沌同步理論，利用混沌陣子的類隨機性、不可預測性實現保密通信。雖然混沌陣子具有優良的特性，但是現有的混沌陣子數目有限、結構已知，且在大規模并發式混沌保密通信中需要用到大量的混沌陣子，針對這些問題，本文進行了以下研究：1)建立了混沌陣子的相空間對稱模型，可由某一個混沌陣子得到混沌陣子群，陣子群中包含數目眾多的對稱陣子，能滿足大量使用的需求；2)研究了陣子群的同步特性，得到了相空間對稱陣子群的同步條件；3)設計了基于相空間對稱混沌陣子的保密通信系統并對其進行理論分析和仿真驗證，結果表明該方法具有較好的保密性能。

2 混沌陣子相空間對稱模型

Lorenz混沌系統狀態方程為

其中，x˙1為x1的一階導數，b σ、γ、為系統參數，當時，系統進入混沌狀態，本文以 Lorenz混沌陣子為例進行研究，其結論可應用于任意混沌系統。

2.1 理論模型

記三維空間直線l的參數方程為

記混沌系統方程為

定義1將式(3)的混沌系統相空間中任意一點x關于相空間中任意直線l對稱的點記為點y，所有的關于直線l對稱的點組成的系統稱為混沌陣子相空間中關于直線l的對稱系統，所有的對稱系統組成混沌系統的相空間對稱系統群。

由定義1可知，相空間對稱系統的相軌跡僅僅在相空間發生了位置變化，其相軌跡圖的形態、系統特性并未發生改變。以Lorenz系統為例，其系統相圖和關于任意直線l1對稱的系統相圖如圖 1所示。其中，直線l1的參數式方程為

圖1 Lorenz系統相圖及其關于直線l1對稱的系統相圖

混沌理論應用于保密通信主要是利用了混沌陣子處于混沌狀態時信號的類隨機特性，并通過混沌同步來解調信號。Lyapunov指數是判斷混沌系統狀態的重要參數之一，若最大Lyapunov指數大于0則可以判斷系統處于混沌狀態。通過計算可得，Lorenz系統關于直線l1的對稱系統的最大Lyapunov指數為0.885 0，這驗證了對稱后的系統仍處于混沌狀態，保持了混沌系統的優良特性。

2.2 相空間對稱系統群的同步

定義2混沌系統(1)關于相空間中直線lm對稱的系統表達式為

令相空間對稱系統(5)為驅動系統，原系統(1)為響應系統，則有

定義3若存在同步控制器，使式(7)中誤差滿足

則稱原系統(1)與空間對稱系統(5)達到同步。

定理1存在同步控制器

使驅動系統與響應達到同步，其中，Δ為n×n維正定矩陣。

證明由式(5)～式(7)和式(9)可知

因此有

其中，Δn為1×n維矩陣。構造Lyapunov函數為，則有

因為Δ為正定矩陣，故有

由Lyapunov穩定性定理可得該系統漸進穩定，即存在同步控制器

使原系統與混沌相空間對稱系統達到同步。

2.3 仿真驗證

根據定義1，求得Lorenz系統關于直線l2、l3的相空間對稱系統的方程分別為

根據式(1)、式(10)、式(11)及定理 1設計同步控制器，選取Δ為三維單位矩陣，符合定理1的約束條件，即則同步控制器為

任選系統(10)初始值為(1,-3,4)，系統(11)初始值為(-2,3,5)。根據上述條件進行仿真，得到2個相空間對稱系統相圖及同步誤差分別如圖2和圖3所示。從圖2(a)和圖3(a)可以看出，對稱系統相圖仍保持了Lorenz陣子的相圖特性，但空間位置發生了變化；從圖2(b)和圖3(b)可以看出，在同步控制器作用下，驅動系統5 s后與響應系統完全同步。

3 基于相空間對稱陣子群的混沌掩蓋保密通信

混沌保密通信主要有混沌掩蓋通信、混沌鍵控通信、混沌調制通信[19-21]，利用第2節提出的相空間對稱混沌陣子群的混沌特性及同步特性設計混沌保密通信系統。本文僅設計了基于相空間對稱陣子群的混沌掩蓋保密通信模型，但是該對稱陣子群也可應用于其他混沌保密通信模型中。

3.1 系統模型

基于相空間對稱混沌陣子群的保密通信模型如圖4所示。發送端首先在相空間對稱混沌陣子群中選擇某一對稱陣子，利用該對稱陣子產生信號的隨機特性生成加密函數g(y)，再利用函數g(y)對待傳輸信號進行混沌掩蓋；接收端在混沌同步控制器的控制下產生與發送端對稱混沌陣子同步的信號，在此基礎上生成解密函數h(x)，利用解密函數h(x)對接收到的信號進行解密得到有用信號。加密函數g(y)、解密函數h(x)的計算式分別為

圖2 相空間對稱系統yl2相圖及同步誤差

圖3 相空間對稱系統yl3相圖及同步誤差

圖4 基于相空間對稱混沌陣子群的保密通信模型

采用混沌掩蓋的方式對待發送信號m(t)進行加密，加密后的信號記為s(t)，加密算法如式(16)所示，其中k為比例系數，調節待加密信號幅度，一般使待加密信號幅度小于混沌信號幅度的以達到混沌掩蓋的效果。接收端的解密算法如式(17)所示，解調出的信號記為m′(t)。

現有的基于Lorenz混沌陣子的混沌保密通信中的密鑰主要為 Lorenz陣子的初始值和計算步長，在本文方法中，密鑰除了Lorenz系統初始值及計算步長外，還包括陣子對稱時的直線方程參數：點(x0,y0,z0)和方向向量。由于對稱后的 Lorenz陣子仍處于混沌狀態，具有混沌系統的初值敏感性，因此本文方法在不降低現有方法性能的基礎上密鑰空間更大，保密性更強。

3.2 仿真驗證

利用相空間對稱陣子對常用的正弦信號進行加密傳輸驗證實驗，根據圖4的傳輸模型，分別設計2個實驗。

2) 利用式(11)的對稱陣子加密信號m2(t)=sin2t后進行傳輸，接收端經過同步后解密出原始信號。

其余參數與2.3節和3.1節相同，信號m1(t)和m2(t)加密傳輸的仿真結果分別如圖5和圖6所示。

從圖5(a)和圖 6(a)可以看出，待傳輸信號經過加密后完全被掩蓋在混沌信號中，達到了混沌掩蓋保密通信的效果；從圖5(b)和圖6(b)可以看出，接收端在5 s內迅速達到混沌同步，經過混沌同步后正確解密出了原始信號。

圖5 信號m1( t)傳輸實驗時域波形

圖6 信號m2( t)傳輸實驗時域波形

在圖4的傳輸模型中，每次發送信號時選用不同的對稱陣子進行加密，假設竊聽者竊取了傳輸信號m1(t)時所用的對稱混沌陣子式(10)的信息，并利用該信息解密信號m2(t)，其結果如圖7所示。從圖7可以看出，竊聽者并不能利用該信息正確解密出信號m2(t)，因為每個對稱混沌陣子在相空間的位置各不相同，即便竊取了某一對稱陣子的信息也無法解密出由其他對稱陣子加密的信號。

圖7 對稱陣子yl2解密信號m2( t)的時域波形

綜上可知，本文方法具有以下優點：空間對稱混沌陣子群理論上包含無數多個對稱陣子，可對不同的信號采用不同的對稱陣子進行加密，且各陣子只能解密自己加密的信號，具有較好的保密性；同時，與使用大量不同種類混沌陣子進行保密通信的方法相比，本文方法在不降低保密性能的前提下降低了實現的復雜度，實用性更強。

4 結束語

本文首先研究了混沌陣子相空間對稱模型，該模型中對稱陣子既能保持原有的混沌特性，又能提供大量可用于保密通信的對稱陣子；然后研究了相空間對稱陣子群的同步問題，實現了對稱陣子系統與原系統的同步；最后在同步的基礎上提出了基于相空間對稱陣子群的保密通信模型，并對其進行仿真驗證。仿真結果表明，本文方法能有效實現混沌掩蓋保密通信，具有較好的應用前景。數目眾多的對稱陣子可在多信道并發通信中使用，在與MIMO等其他技術相結合發揮其保密功能方面也具有較好的應用前景。