面輪廓線相似性和復雜性度量及在化簡中的應用

程綿綿，孫 群，徐 立，陳換新

1. 信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450001； 2. 96911部隊，北京 100011

線化簡是自動制圖綜合中的重要內容和經典研究問題之一，目的是減少目標的表達細節而代之以總的圖形特征，迄今為止，已有大量算法提出[1-2]。與此同時，如何對化簡算法進行評價、合理選用以及如何實現算法的自動化成為新的需要研究的課題。針對這一研究，有學者提出利用相似性分析不同化簡算法的特點和進行自動化簡，如文獻[3—6]分別利用多級弦長、傅里葉形狀描述子、多級弦長拱高復函數及多級彎曲度半徑復函數構建相似性度量模型，通過度量化簡結果的相似性變化規律，分析了制圖綜合領域典型線化簡算法的特點。這些方法主要是利用相似性對化簡算法特點作出評價，沒有將相似性用于約束化簡過程。文獻[7—9]構建了線要素相似關系度量模型，研究了線要素相似性同尺度變化的關系，構建了相似性隨尺度變化的關系式，并據此反推化簡算法的閾值參數。該方法為化簡算法的自動執行提供了一種有效思路，但是其相似性度量模型較簡單，對形狀的相似性度量能力存在一定不足，更為關鍵的是該方法的前提條件是不同復雜度的目標在相同尺度變化情況下相似度相同，但未進行相關驗證。化簡是簡化目標細節的一種操作，即降低目標的復雜程度，然而現階段，缺少相關的模型對目標的復雜度進行定量描述。另外，針對不同復雜度的目標，從一個尺度通過制圖綜合操作變換到另一尺度，其改變的程度是否相同，即相似度是否相同，目前鮮有相關研究，而這一研究可為化簡算法的自動運行提供理論依據。

針對該問題，本文對面輪廓相似性和復雜性同時展開研究。首先利用面向矢量數據的基于弦特征矩陣的相似性度量模型，對面輪廓線化簡前后的相似性進行度量，然后引入復雜度的概念，建立輪廓形狀復雜性度量模型，對目標的復雜度進行定量描述。在驗證兩類模型有效性的基礎上，基于現有數據，探索不同復雜度目標在不同尺度下相似性的變化規律，并據此給出相似性約束的自動化簡一般流程，使相似性約束的自動化簡方法更具科學依據。

1 面向矢量數據的弦特征矩陣相似性度量模型

矢量數據與柵格數據是兩種基本的數據組織方式，針對兩類數據模型的計算也有很大差異。弦特征矩陣形狀描述子是針對柵格圖像的形狀描述方法，目前主要應用于植物葉片圖像的分類和檢索[10]。本文將這一思想應用于面狀矢量數據，構造面向矢量數據的弦特征矩陣相似性度量模型。

1.1 形狀的弦特征矩陣描述

1.1.1 形狀弦特征矩陣

一個由K個點序列構成的目標形狀可表示為A={Pi=(xi,yi)|i=1,2,…,K}。從Pi點出發，沿逆時針方向對其進行均勻采樣，將輪廓按弧長等分為N個弧段，且N滿足2T=N，其中T為正整數，則該目標可用采樣后的點序列{Qi=(xi,yi)|i=1,2,…,N}表達。圖1所示為用32個節點對原始43個節點的形狀輪廓重采樣的結果。

圖1 輪廓重采樣及弦特征Fig.1 Resampling and chord feature of the contour

對于重采樣后的目標形狀，給出以下4個定義。

定義1：弦長，指從輪廓線上的點Qi(xi,yi)出發，沿輪廓線按逆時針方向到達另一點Qi+s(xi+s,yi+s)所經過的弧段對應弦的長度，用ls,i表示，其中S為步長，弦長的計算公式為

(1)

(2)

式中，m是落入多邊形內部各小段弦的數量；dj是各小段弦的長度，可通過多邊形裁剪算法及簡單數學運算得到。

(3)

(4)

需要說明的是，特殊情況下，當Qi(xi,yi)和Qi+s(xi+s,yi+s)均在輪廓線某條邊上時，即弦與邊共線，此時弦既不是內弦也不是外弦，本文約定Qi(xi,yi)到Qi+s(xi+s,yi+s)直線距離長度為內弦長。

(1) 外弦長矩陣

(5)

(2) 內外弦絕對差矩陣

(6)

(3) 平均投影長度矩陣

(7)

以上矩陣共同構成了一個形狀描述子，記作CFM=(OM,IODM,PM)，其中CFM稱為弦特征矩陣描述子。

1.1.2 特征歸一化處理

形狀特征的描述需要滿足相似變換的不變性，即形狀描述不會隨著目標的平移、旋轉和縮放變化。因此，需要對抽取的形狀特征進行歸一化處理。首先，當目標發生平移時，顯然不會影響上述三類特征值的計算結果，因此弦特征矩陣描述子具有平移不變性。當目標發生縮放時，由于相同尺度的特征位于矩陣的同一行，可以按行進行歸一化操作，保證各個尺度的特征在目標識別中具有相同的貢獻。具體做法是，對矩陣的每一行的元素，用該行的最大值進行歸一化處理。當目標發生旋轉時，雖然三類特征值大小不會改變，但是會使起始采樣點發生改變，引起矩陣元素的環形移位。為使弦特征矩陣描述子滿足旋轉不變性，采用傅里葉變換進行歸一化操作。具體做法是：將矩陣的每一行看作一個一維的離散信號，對其進行一維離散傅里葉變換。根據傅里葉變換的原理，當一維信號發生平移時，其傅里葉變換系數的模不發生改變，這正好滿足旋轉不變性的要求。

(8)

經過快速傅里葉變換后，對于每一個傅里葉系數ft(n)，計算它的模|ft(n)|。由于各行獨立，用各行第1個元素分別進行歸一化，可使|ft(0)|=1，|ft(n)|≤1,(n>1)。用歸一化后的序列替代原來的行，此時每一行向量的長度依然為N。根據傅里葉變換原理，信號的能量主要集中在低頻部分，因此為了消除噪聲的影響及增強描述子的緊致性[11]，可取前M個低頻系數(M?N)作為形狀描述子。通過此操作，弦特征矩陣描述子的3個矩陣的維數全部變為(T-1)×M。

1.2 相似性度量模型的建立

1.2.1 利用弦特征矩陣度量形狀相似性

弦特征矩陣描述子滿足平移、旋轉和縮放不變性，可以通過直接比較兩個形狀描述子的3個矩陣來度量兩個形狀的差異度。設形狀A、B弦特征描述子分別為αA、βA、γA和αB、βB、γB，用矩陣間的歐氏距離，即矩陣差的二范數計算形狀A、B間的差異度，有

d(A,B)shape=(‖αA-αB‖+‖βA-βB‖+

‖γA-γB‖)/(3sqrt((T-1)M))

(9)

式中，‖·‖表示計算矩陣的二范數；sqrt(·)表示計算開方。由于弦特征描述子各矩陣均進行了歸一化，有d(A,B)shape∈[0,1]。從而A、B間的形狀相似度可表示為

sim(A,B)shape=1-d(A,B)shape

(10)

式中，sim(A,B)shape∈[0,1]。

1.2.2 綜合相似性度量模型的建立

(11)

2 輪廓形狀復雜性度量模型

形狀的復雜性是一個直觀性很強卻又難以定量描述的概念，現階段學術界也沒有公認的嚴格定義。人們直覺上通常從輪廓線長度、面積及對形狀的熟悉程度來感受圖形的復雜度，認為越光滑和越充實的形狀越不復雜，平滑的輪廓線及較小的周長與較大的面積是光滑充實的表現[13-14]。現有的圖形復雜度計算方法主要有基于多邊形三角剖分[15]、基于彎曲[16-17]及基于分形[18-19]的方法等，這些方法大多不是針對地理空間數據，或者不能對凹多邊形和凸多邊形建立統一的度量模型[20]。本文將輪廓線彎曲看成振動的波，從波振動的頻率和幅度兩個方面建立復雜度描述因子，最終構建復雜性度量模型。需要說明的是，此處將輪廓線看成振動的波，只是一種類比，方便理解，與1.1.2節中傅里葉變換并無關聯。

2.1 輪廓邊振動頻率的描述

定義5：方向變化，考慮4個連續的節點，即3條連續的邊，第2條邊相對于第1條邊的走向為向左(或右)，如果下一條邊的走向為向右(或左)，則稱這種情形為一次方向變化，也稱一次振動。圖2描述了發生方向變化及不發生方向變化的情形。

為了描述振動頻率的大小，首先給出凹口的概念。

定義6：凹口，假設從輪廓的某個節點出發，沿逆時針方向運動，則每個右方向的邊的起始節點處是下凹的，稱該部位為輪廓形狀的一個凹口。圖3展示了無凹多邊形和帶凹口多邊形。顯然，帶有凹口的多邊形為凹多邊形，且內角大于π的節點處為凹口。對于某一多邊形A，設nA為凹口數量，vA為頂點數量，用PA表示凹口的比例，有

PA=nA/vA

(12)

圖2 方向變化舉例Fig.2 Examples for changes of direction

圖3 凹口舉例Fig.3 Example of a notch

分析發現，方向變化的數量與凹口的數量有關，如圖4所示。凹口的比例越接近于0.5，方向變化數越多，振動頻率越大，形狀越復雜；凹口的比例越接近于0或1，方向變化數越少，振動頻率越小，形狀越簡單。為了使PA接近于0.5時復雜度最大、接近于0或1時復雜度最小，對PA進行非線性變換，有

freq(A)=16(PA-0.5)4-8(PA-0.5)2+1

(13)

式中，freq(A)為以凹口比例為指標的復雜度描述因子。

圖4 不同凹口比例的多邊形Fig.4 Polygons with different values of vibretion frequency

2.2 輪廓邊振動幅度的描述

為定量描述振動的幅度，考察兩點之間的連接，顯然兩點之間直線距離最短。圖5為不同復雜度多邊形的凸殼。可以看出，多邊形輪廓從一點到另一點的距離越長則該部位越復雜，因此可以用輪廓周長相對凸殼周長的相對增量描述振動的幅度，有

(14)

式中，ampl_prei(A)為以周長為指標的復雜度描述因子；prei(·)為周長算子；convexhull(·)表示計算凸殼。

圖5 不同復雜度多邊形的凸殼Fig.5 Convex hulls of polygon with different complexity

分析發現，對于凸多邊形，freq(A)及ampl_prei(A)的特征值為0，不能對凸多邊形復雜度進行度量。因此，利用多邊形與其最小外包圓間面積的相對關系來度量不同多邊形的復雜度，如圖6所示。用circle(·)表示計算最小外包圓，area(·)為面積算子，有

(15)

式中，ampl_area(A)稱為以面積為指標的復雜度描述因子。

圖6 不同復雜度多邊形的最小外包圓Fig.6 Minimum envelope of polygon with different complexity

2.3 綜合復雜性度量模型

上述3個因子分別從輪廓的凹口比例、周長比及面積比3個方面對多邊形輪廓的復雜度進行了度量。分析發現，freq(A)與ampl_prei(A)對形狀復雜度描述能力較強，且當二者同時具有較大值時，復雜度較大，因此將二者相乘并分配較大權值，ampl_area(A)只用來區分凸多邊形的復雜度，對其分配較小權重，從而得到能夠度量凹多邊形和凸多邊形復雜度的計算公式

compl(A)=0.7freq(A)×ampl_prei(A)+

0.3ampl_area(A)

(16)

由于freq(A)、ampl_prei(A)、ampl_area(A)∈[0,1]，有compl(A)∈[0,1]。

需要說明的是，上述權重的設置主要是依據經驗設定的，本文后續會通過試驗驗證其合理性。當然也可根據需要，通過其他方式組合這3個因子構造綜合復雜性度量模型。

3 試驗驗證及應用

3.1 相似性及復雜性度量模型合理性驗證

3.1.1 相似性度量模型合理性驗證

以某面狀湖泊輪廓線為原始數據，利用ArcGIS中point_remove[21]與bend_simplify[22]兩種化簡算法對目標以不同閾值化簡，運用本文形狀相似性度量模型和綜合相似性度量模型分別度量化簡前后的相似值，探尋相似值隨化簡閾值的變化情況。取參數N=128、M=10、wi=0.25(i=1,2,3,4)，表示化簡前后在空間位置、大小、方向和形狀的關注程度一致。兩種化簡方法初始閾值均設為1 km(實際距離)，步長1 km，最大值10 km，對實心湖泊輪廓線進行化簡，分別得到10個化簡結果和相似值。圖7為閾值分別為4 km和5 km時，兩種化簡方法對應的結果。圖8顯示了兩種化簡方法形狀相似度和總相似度隨化簡閾值的變化規律。

由于兩種化簡算法的參數閾值具有不同的含義，在不考慮化簡程度的情況下，單純比較同一閾值的相似度沒有實際意義。但是可以看出，隨著化簡閾值的增加，兩種化簡算法所得結果的形狀相似度和總相似度均逐漸減小，與人的直觀感受一致，說明本文方法能夠正確區分不同化簡程度下目標的形狀相似性和總相似性。

3.1.2 復雜性度量模型合理性驗證

選取中國境內某比例尺48個湖泊輪廓線為試驗對象。試驗前，為了減小數據自身的影響，按文獻[23]方法對輪廓線中節點進行稀疏處理，刪除不必要的節點。運用本文復雜性度量方法，分別計算其復雜度，按照復雜度從小到大的排序如圖9所示(未按實際大小比例繪制)。

圖7 兩種化簡方法的對比Fig.7 The comparison of two methods of simplification

圖8 相似度隨閾值變化圖Fig.8 The relationships between similarity and threshold

圖9 不同湖泊輪廓線的復雜度排序Fig.9 Different lake contour lines according to complexity

從圖9可以看出，復雜度越小的目標，形狀越充實，輪廓線越光滑；復雜度越大的目標，形狀越不規則，輪廓線越不光滑。這一結果與人們的直觀感受基本一致，說明運用本文方法，能夠正確區分不同目標的復雜度。

以下進一步驗證復雜性度量模型的合理性，研究復雜性度量模型組成因子間的相關性。如圖10所示，(a)圖為因子freq與ampl_area相對于ampl_prei的相關性曲線，(b)圖為因子freq與ampl_prei相對于ampl_area的相關性曲線。可以看出，僅當ampl_prei與ampl_area值較小時(ampl_prei<0.3,ampl_area<0.55，即較簡單的目標)，其余兩個因子存在一定的相關性，當數值較大時，其余兩個因子不存在明顯的相關性。這說明除了簡單目標外，3個參數間不存在相關性。因此，運用本文3個因子進行目標復雜性度量是合理的。

圖10 復雜性度量模型組成因子的相關性Fig.10 Correlation of the parameters of the complexity model

3.2 不同復雜度目標在不同尺度間的相似度探索

本文試驗綜合考慮目標的復雜性和相似性，探索不同復雜度的目標在不同尺度下的相似性的變化規律。試驗采用浙江省舟山市某地區1∶1萬、1∶5萬、1∶25萬、及1∶100萬4種比例尺的框架數據，從中隨機挑選100個面狀島嶼同名實體，所有同名實體均為一一對應，如圖11所示。

圖11 試驗數據(未按比例尺繪制)Fig.11 Experimental data (not plotting by scale)

為了直觀展現不同復雜度目標在各比例尺間的相似度大小，以復雜度為橫軸、相似度為縱軸繪制散點圖，如圖12所示，從中可以看出，數據基本滿足線性趨勢。

首先利用復雜性度量方法對1∶1萬比例尺的100個面輪廓進行復雜度計算，按照復雜度從小到大的順序從1到100對目標進行編號。然后分別計算1∶1萬比例尺與1∶5萬、1∶25萬及1∶100萬同名實體的相似度，部分計算結果如表1所示。

為了探索復雜度是否與相似度相關，在SPSS 20.0環境中，對1∶5萬、1∶25萬、1∶100萬相似度計算結果與復雜度分別進行雙變量相關性分析，結果如表2、表3所示。其中sim(1,5)shape、sim(1,25)shape、sim(1,100)shape分別為1∶1萬與1∶5萬、1∶25萬、1∶100萬比例尺間同名實體的形狀相似度，compl為該實體在1∶1萬比例尺下的復雜度。

表1 不同復雜度目標在不同尺度間的相似度(部分)

圖12 不同復雜度目標在不同尺度間的相似度Fig.12 Similarity between different complexity targets at different scales

表2 描述性統計量

從結果可以看出，3類相似度與復雜度之間的Pearson相關系數分別為0.271、0.434、0.515，表示二者存在不完全相關且為正相關，相關系數逐漸增大，說明隨著比例尺跨度增大，相關強度逐漸增強；顯著性檢驗P值分別為0.006、0.000、0.000，均小于0.01，表示在0.01的顯著性水平上否定了二者不相關的假設，即相似度與復雜度之間存在相關關系。進一步對相似度和復雜度進行一元線性回歸，得回歸方程

表3 相關性

*:在0.01水平(雙側)上顯著相關。

(17)

下面對回歸模型進行分析，模型匯總如表4所示。總體上看，回歸模型R2均較小，擬合度較低，但是隨著比例尺跨度增大，R2逐漸增大，擬合度呈現好趨勢，說明隨著比例尺跨度增大，相似度與復雜度的線性關系逐漸增強。D-W統計量接近于2，說明模型殘差不存在自相關。

表4 模型匯總

*：預測變量(常量),compl。

表5、表6顯示了方差分析和回歸系數的T檢驗結果，回歸部分的F值分別為7.786、22.706、35.306，相應的P值分別為0.006、0.000、0.000，小于顯著水平0.05。可以判斷復雜度對相似度解釋的部分非常顯著，擬合的模型具有統計學意義，回歸系數的T檢驗結果概率值均小于0.05，回歸方程的系數非常顯著。另外對殘差進行檢驗，發現殘差基本服從正態分布。

表5 方差分析

*：預測變量(常量),compl。

進一步分析回歸系數發現，相鄰比例尺間相似度隨復雜度的回歸系數較小，為0.033 7，而compl∈[0,1]，可以認為復雜度對相似度的線性影響較小。用觀測值均值代替真值，有sim(1,5)shape=0.977 5，標準差為0.014 2，說明觀測數據比較接近均值，有較強的可靠性。當比例尺跨度增大時，回歸系數較大，標準差隨之增大，用均值代替真值會產生較大誤差。同理可得其他兩個相鄰比例尺間相似度，有sim(5,25)shape=0.954 9、sim(25,100)shape=0.894 3。

表6 系數

綜上所述，可以得出以下結論：相似度和復雜度之間存在顯著的線性相關關系，且比例尺跨度越大，復雜度對相似度的影響越大。具體應用時，復雜度對相鄰比例尺間相似度的影響可以忽略不計，當比例尺跨度較大時，需要考慮復雜度的影響。

3.3 利用相似性約束進行自動化簡

化簡是制圖綜合的重要組成部分，在制圖綜合作業中占據很大比例，實現化簡算法的自動化具有很強的實用意義。現階段，針對制圖綜合中的化簡，提出了很多算法，然而針對具體的制圖綜合作業過程，需要指定閾值，如Douglas-Peucker算法的最小垂距、Li-OpenShaw算法的最小圓直徑等，使算法不能自動運行。本文基于上述研究結果，提出利用相似性約束進行自動化簡。

3.3.1 方法流程

由上文試驗可知，一方面，隨著化簡程度的加大，相似度會逐漸減小；另一方面，相似度與比例尺變化之間存在一一對應的關系。因此，對于需要閾值參數的化簡算法，可以利用相似度計算化簡最佳閾值，約束化簡過程。初始時，對化簡算法設置一較小閾值(具體可根據目標本身的大小適當設置)，然后逐漸增大化簡閾值，度量不同化簡閾值下的結果與原始目標之間的相似度，當相似度最接近目標相似度時，可認為取得最佳化簡閾值。相似性約束的自動化簡一般流程如圖13所示，其中d0為初始閾值，di為第i次閾值，s為步長，simi是閾值為di時綜合結果與原始目標的相似度，sim為理論相似度。

圖13 相似性約束的自動化簡一般流程Fig.13 General automation simplification using similarity constraint

3.3.2 效率分析

上述方法的效率與所采用的化簡算法和相似性度量算法時間復雜度及判斷次數有關，各類化簡算法時間復雜度不同，已有專門研究[24]，此處主要分析相似性度量的時間復雜度。

相似性度量算法的時間復雜度主要與采樣點數有關。設采樣點數為N，計算單個內外弦長主要過程是檢查弦與多邊形每條邊的交點，時間復雜度為O(N)，則計算OM、IODM、矩陣時間復雜度為O(N(T-1)N)=O(N2logN)，PM時間復雜度為O(N(21+22+…+2T-1))=O(N2T)=O(N2)。在特征歸一化處理階段，尺度歸一化時間復雜度為O((T-1)N)=O(NlogN)，快速傅里葉變換時間復雜度為O(NlogN)，起點歸一的時間復雜度為O((T-1)NlogN)=O(Nlog2N)，則計算CFM描述子的時間復雜度為O(2N2logN+N2+3NlogN+3NlogN)=O(N2logN)。相似性度量模型建立階段時間復雜度為O(3M(T-1))=O(MlogN)，由于M?N，則有相似度計算的時間復雜度為O(N2logN)。

設相似性約束的化簡方法需要進行R(R為自然數)次相似性判斷，所采用化簡算法時間復雜度為O(S)，則本文方法總體時間復雜度為O(R×N2logN+R×S)=O(N2logN+S)。

從上述分析可知，相似度計算的時間復雜度主要與采樣點個數N有關，且通常N在102數量級。另外，通過運用適當的搜索策略，R可以是一個不大的自然數，因此在時間效率上是可以接受的。

3.3.3 試驗驗證及分析

以Bend_Simplify算法為例，對上述方法進行檢驗。試驗采用前文試驗地區1∶5萬比例尺30個面狀島嶼輪廓線數據，如圖14(a)所示，現有1∶25萬數據如圖14(b)所示，用來對化簡結果進行對比分析。采用上述方法自動綜合1∶25萬數據，初始閾值設為50 m，步長5 m，理論相似度采用0.954 9。為了與本文方法對照，通過多次試驗及專家咨詢，選取150 m作為人工化簡閾值。

圖14 試驗數據介紹(未按實際位置和比例尺繪制)Fig.14 Introduction of experimental data (not plotting by actual location and scale)

按本文方法，自動計算的閾值及相似度如表7所示。將兩種方法綜合結果與1∶25萬現有數據疊加顯示，如圖15所示。采用目視比較方法[25]評價輪廓線化簡結果，可以看出，兩種方法綜合結果與現有數據基本重合，且詳細程度基本一致，說明本文方法自動設置的化簡閾值是合理的。進一步分析可以發現，圖15中1、2、3、6處和4、5處(其他未一一列出)，人工設置的固定閾值化簡結果分別出現過度化簡及化簡不足的情況，而自動設置閾值化簡結果情況較緩和，分析發現這是由于不同目標形態不同，傳統方法對所有對象都設置相同的閾值導致的。從表7中也可以看出，本文方法對30個目標自動計算的化簡閾值各不相同(最小95 m，最大225 m)，說明本文方法較好地顧及到了目標的個體差異。

表7 化簡閾值及相似度

圖15 綜合結果比較(未按實際位置和比例尺繪制)Fig.15 Comparison of generalization results(not plotting by actual location and scale)

3.3.4 與傳統方法的比較

本文提出的利用相似性約束進行自動化簡，主要是為化簡算法的閾值設置提供通用的依據。優點是針對需要閾值參數的化簡算法，自動計算化簡閾值，降低人工參與程度，減少作業前期的閾值評估工作。本文方法與傳統作業方法比較如表8所示。

表8 兩種方法比較

由于本文方法對每一個對象的化簡結果都進行相似性判斷，因此效率相對較低。針對這一問題，一方面可通過改進搜索閾值的方法，減少相似度計算的次數，提高效率；另一方面，對于某一地區，可事先選取部分要素進行試驗，用計算的閾值的均值作為該地區人工選取閾值的參考，這樣不僅可以降低人工評估閾值帶來的不確定性，也可大大增加化簡的效率。

4 結 論

相似性是空間數據處理的重要依據，除制圖綜合外，在同名實體匹配[26]、相似性查詢[27]等領域均具有重要意義。復雜性作為空間對象的固有屬性，是相比于面積、周長等測度更深層次的信息，其定量計算結果是目標特征的重要指標。本文將相似性和復雜性進行綜合研究，可以挖掘出多尺度空間數據間潛在規律，為空間數據處理提供新的思路和方法。本文的主要工作總結如下：

(1) 針對矢量面輪廓線，通過抽取多個尺度下的內弦長、外弦長及弧到弦的平均投影長度構造弦特征矩陣，可以較好地描述形狀的凹凸特性和輪廓線的彎曲程度，滿足對形狀的多級描述需求。通過對弦特征矩陣進行離散傅里葉變換，不僅解決了起始節點不一致問題，也增強了抗噪聲干擾能力。

(2) 將輪廓線看成振動的波，從凹口比例、凸殼周長相對增量及最小外包圓面積相對增量3個方面建立復雜度描述因子，構造復雜性度量模型，可以正確區分不同復雜程度的面輪廓線，與人的主觀感受一致。

(3) 將相似度模型和復雜度模型應用于化簡過程，探索了不同復雜度目標在不同尺度下相似性的變化規律。從現有試驗數據來看，目標本身的復雜度對鄰近尺度間同名實體相似度的影響可以忽略不計，當比例尺跨度較大時，需要顧及復雜度的影響。基于這一結論，給出相似性約束的自動化簡一般流程，試驗表明本文方法結果合理，且增加了化簡算法的自動化程度。

不同尺度目標間的相似度是否與其他因素有關，需要進一步探索；相似度約束的自動綜合結果是否合理，需要進一步驗證。本文利用現有綜合好的數據計算不同比例尺間的相似度，并用來指導綜合過程，屬于基于案例的制圖綜合范疇，下一步可以利用本文相關模型結合深度學習等方法，研究新的自動綜合方法。