參數(shù)法CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理方法

李建章，閆浩文

1. 蘭州交通大學測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070; 2.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實驗室，甘肅 蘭州 730070

利用三角高程代替水準建立高程控制網(wǎng)一直是測繪領(lǐng)域的一個難題。文獻[1]將三角高程測量應用于變形監(jiān)測，通過穩(wěn)定點間的已知高差反求大氣折光系數(shù)，再對監(jiān)測點三角高程測量觀測值進行球氣差改正,取得了良好的效果。文獻[2]通過研究認為三角高程測量精度受大氣折光的影響極大，方向不同、時段不同、植被不同會導致大氣折光系數(shù)不同。文獻[3—4]利用同時對向觀測法精密三角高程代替精密水準，精度達到了二等水準的要求。文獻[5—7]更是在長距離復雜氣象條件下的跨海高程傳遞中，使用同時對向觀測精密三角高程代替精密水準，精度也能夠滿足二等水準的標準。顯然，同時對向觀測法是目前精密三角高程代替精密水準的關(guān)鍵核心技術(shù)。

在高速鐵路高程控制網(wǎng)的建設(shè)中，由于CPⅢ點非常密集，利用精密水準建立高程控制網(wǎng)是一項非常繁瑣的工作。文獻[8]結(jié)合我國的國情，提出了矩形法構(gòu)網(wǎng)方法，在實踐中得到廣泛應用。文獻[9]在矩形法的基礎(chǔ)上又提出了外業(yè)效率更高的新矩形法、單程矩形法和雙程矩形法。文獻[10]為了提高外業(yè)施測效率，提出了Z形法，精度和效率都優(yōu)于傳統(tǒng)的矩形法。然而CPⅢ高程控制網(wǎng)建網(wǎng)最高效的方式卻是充分利用平面控制網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)中的豎直角和斜距觀測值，通過精密三角高程方式構(gòu)網(wǎng)。由于CPⅢ點的特殊性，無法采用對向觀測來削弱三角高程觀測值中大氣折光和地球曲率的影響。文獻[11—12]基于中間差分法研究了高速鐵路CPⅢ三角高程網(wǎng)構(gòu)網(wǎng)與平差計算的方法，可消除大部分球氣差影響。該成果作為一項自主創(chuàng)新技術(shù)，已被高速鐵路工程測量規(guī)范采納。文獻[13—16]對這種方法進行了驗證，試驗表明絕大多數(shù)成果能夠滿足規(guī)范要求。而文獻[17]在實踐中發(fā)現(xiàn)差分法CPⅢ三角高程成果與精密水準成果的差值最高可達3 cm。

差分法一方面大大削弱了大氣折光和地球曲率的影響，另一方面也產(chǎn)生了下列問題：

(1) 差分法平差模型的觀測值是三測站6個三角高程觀測值的線性組合，因此測量噪聲遠遠大于非差觀測值。

(2) 差分觀測值不再是獨立觀測值，而是相關(guān)觀測值。

(3) 當相鄰兩個目標與測站點不等距時，所形成的差分觀測值中球氣差影響殘余量仍然比較大[15]。

(4) 差分法觀測值超限時，參與差分的兩原始三角高程觀測值全部作廢，造成數(shù)據(jù)的浪費，因此數(shù)據(jù)利用率不高。

本文利用非差三角高程觀測值構(gòu)建CPⅢ高程控制網(wǎng)平差模型，在觀測方程中引入?yún)?shù)來吸收球氣差影響，并通過統(tǒng)計檢驗對參數(shù)矩陣進行了優(yōu)化。試驗證明，這種方法數(shù)據(jù)利用率高、算法簡單、解算精度更高。由于涉及斜距和豎直角兩種類型的原始觀測值，本文還對CPⅢ精密三角高程觀測值嚴密定權(quán)方法進行了研究，并通過實測數(shù)據(jù)進行了驗證。

1 參數(shù)法CPⅢ精密三角高程平差模型

圖1為CPⅢ平面控制網(wǎng)i測站觀測示意圖，其中實心圓圈、空心圓圈分別為測站點和CPⅢ點。對各目標進行觀測，可獲得方向觀測值、斜距觀測值和豎直角觀測值，其中斜距觀測值和豎直角觀測值可形成三角高程觀測值，用于構(gòu)建CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)。因CPⅢ點采用強制對中裝置安置棱鏡，因此無法采用同時對向觀測來消除大氣折光和地球曲率對觀測高差的影響。差分法則通過相鄰兩觀測目標精密三角高程觀測值之間進行差分來削弱大氣折光和地球曲率對觀測高差的影響，但這種方法具有一定的局限性，因此本文提出了參數(shù)法CPⅢ精密三角高程平差模型。

圖1 CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)i測站觀測Fig.1 Schematic diagram of i station observation at CPⅢ precision trigonometric leveling network

1.1 隨機模型

設(shè)共有n個三角高程觀測值，其中第i個為

Δhi=si×sinαi

式中，si為斜距；αi為豎直角。

對上式求微分得

n個三角觀測值可以寫出n個如上的微分式，其矩陣形式為

dΔH=H1dA+H2dS

式中

由協(xié)因數(shù)傳播定律可得三角高程觀測值權(quán)矩陣

PΔH=H1Pα-1H1T+H2PS-1H2T-1

1.2 函數(shù)模型

在測站點i對目標點j進行觀測。設(shè)豎直角為αij，斜距為sij，且測站點i儀器中心最或然高程為yi，CPⅢ點j最或然高程為xj，測站點i所在位置在測量時刻球氣差系數(shù)為kf，則可得j點與i點之間的高差觀測值

(1)

式中，Δhij=sij×sinαij；dij=sij×cosαij；Δij為觀測誤差。則可得誤差方程

(2)

當j點為已知點，且其高程為Hj時，其誤差方程為

vij=-yi+kf×dij2-Δhij-Hj

(3)

V=BX-l

(4)

式中

利用最小二乘法即可解算出待求參數(shù)X=BTPΔHB-1BTPΔHl(文獻[18])，并對其進行精度評定。

1.3 球氣差參數(shù)矩陣的優(yōu)化

在CPⅢ控制網(wǎng)外業(yè)數(shù)據(jù)采集時，如各測站間大氣狀況變化顯著，則需要在每測站引入一個球氣差參數(shù)；如果大氣狀況穩(wěn)定，所有測站共用一個球氣差參數(shù)即可。但更多的情況則是連續(xù)若干測站共用一個球氣差參數(shù)，因此需要對球氣差參數(shù)矩陣進行優(yōu)化。

初始狀態(tài)各測站共用一個球氣差參數(shù)，然后逐測站嘗試引入新的球氣差參數(shù)，并通過F檢驗判斷，如果單位權(quán)方差有顯著變化，則接納；反之則廢棄。

設(shè)，在i測站引入新的球氣差參數(shù)前，多余觀測值為f1，殘差值為V1；引入新參數(shù)后，多余觀測值為f2，殘差值為V2。設(shè)

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令

R=Ω2-Ω1

f3=f2-f1

依據(jù)文獻[19]，R與Ω1隨機獨立，提出假設(shè)

統(tǒng)計量為

引入新參數(shù)后，重新平差計算。選定顯著水平α，分子自由度為f3，分母自由度為f1，采用F檢驗法判斷新模型單位權(quán)方差與原模型單位權(quán)方差是否有顯著差異。由α查得Fα，f3，f1，如果F

2 三角高程觀測值嚴密定權(quán)

文獻[11]提出，精密三角高程觀測值由斜距和豎直角兩類原始觀測值所得，因此，CPⅢ三角高程網(wǎng)的合理定權(quán)問題，是亟待解決的關(guān)鍵問題之一。本文采用最小范數(shù)二次無偏估計對精密三角高程觀測值進行定權(quán)，并通過試驗對定權(quán)效果進行驗證和分析。

C=T-1-T-1BBTT-1B-1BTT-1

依據(jù)最小范數(shù)二次無偏估計[20]可得

θ=S-1W

由此可得未知數(shù)協(xié)方差矩陣分別為M1和M2。

豎直角和斜距的權(quán)分別為

重新計算高差觀測值權(quán)陣

3 實例驗證

為了驗證參數(shù)法CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理方法的可行性，開發(fā)相應數(shù)據(jù)處理程序，利用工程現(xiàn)場平面控制網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)中的斜距、豎直角觀測值構(gòu)建精密三角高程控制網(wǎng)。以線路水準基點(滿足二等水準要求)為約束點[21]進行平差，將其解算結(jié)果與CPⅢ精密水準測量解算結(jié)果進行對比。依據(jù)文獻[22]，要求CPⅢ高程中誤差小于1 mm，相鄰兩點間高差中誤差小于0.5 mm；按照復測要求與水準測量結(jié)果比較，高程差值不超過3 mm，相鄰點間高差的差值不超過2 mm。由于篇幅限制，本文只給出一段線路的中誤差曲線，其余線路解算結(jié)果以表格形式給出。

某段線路長4 km，利用CPⅢ平面控制測量觀測數(shù)據(jù)中的斜距和豎直角構(gòu)建精密三角高程控制網(wǎng)，平均每千米約束一個高程點，利用參數(shù)法進行解算，解算結(jié)果與精密水準測量結(jié)果進行比較。圖2、圖3分別為引入?yún)?shù)前后精密三角高程解算所得各點高程中誤差曲線圖與相鄰點高差中誤差曲線圖。由圖可知，引入?yún)?shù)前最大高程中誤差為0.97 mm，最大相鄰點高差中誤差為1.15 mm，引入?yún)?shù)后降為0.25 mm與0.32 mm。由此可知，球氣差參數(shù)的引入對最終解算結(jié)果精度的提升是非常明顯的。引入球氣差參數(shù)后，CPⅢ相鄰兩點高差中誤差不超過0.5 mm，因此CPⅢ三角高程控制網(wǎng)測量結(jié)果滿足規(guī)范要求。另外由圖2、圖3可知，采用嚴密定權(quán)前后解算精度未有明顯變化。

圖2 參數(shù)法、非參數(shù)法高程中誤差曲線Fig.2 Parametric and non-parametric elevation error curves

圖3 參數(shù)法、非參數(shù)法相鄰點高差中誤差曲線Fig.3 The curve diagram of the middle error of the height difference of the adjacent points for the parameter method and no parameter method

圖4、圖5分別為參數(shù)法所得各點高程值、相鄰點的高差值與精密水準測量所得結(jié)果差值對比曲線。按照規(guī)范要求，兩種方法所得高差互差不能超過2 mm，高程之差不能超過3 mm。由圖可知，參數(shù)法所得高程值全部符合規(guī)范要求，高差觀測值超限數(shù)為1。

表1為不同線路中參數(shù)法精密三角高程、差分法精密三角高程分別與精密水準測量結(jié)果差異的對比。由表1可知，參數(shù)法高程估計值全部符合規(guī)范要求，高差觀測值每條線路各有0～2個超限值；差分法有一條線路高程估計值出現(xiàn)了超限值，高差觀測值每條線路各有1～5個超限值。

圖4 參數(shù)法與精密水準測量所得高程估計值之差對比Fig.4 Schematic diagram of the comparison between the height estimate of the parameter method and the precision leveling survey

圖5 參數(shù)法與精密水準測量所得高差估計值對比Fig.5 Schematic diagram of the comparison of height difference estimation between parameter method and precise leveling survey

通過試驗可得如下結(jié)論：

(1) 由試驗可知，采用參數(shù)法消除精密三角高程測量中球氣差的影響，可獲得良好的效果，其解算精度明顯優(yōu)于差分法解算精度，而且隨著約束點密度的降低，這種差異會更加明顯。

(2) 嚴密定權(quán)前后，CPⅢ精密三角高程網(wǎng)解算結(jié)果未有顯著變化。在進行CPⅢ控制測量時，線下工程已經(jīng)完成，場地較為平坦，且目標點高于地面1 m左右且大致等高[23]。目標點距離儀器越近，豎直角絕對值越大。設(shè)水平距離最短為30 m，儀器橫軸與目標點間高差最大為1.5 m，則豎直角絕對值最大不超過3°(現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)中豎直角絕大多數(shù)小于1°)。假設(shè)測距誤差為1 mm(實際更小)，則其對三角高程測量值的影響僅僅為0.05 mm，這個影響甚至小于棱鏡在高程方向的安裝誤差的限差(0.2 mm)，因此可以忽略不計。由此可知，在CPⅢ精密三角高程測量中，測距誤差可以忽略不計，不必進行嚴密定權(quán)，僅采用常規(guī)定權(quán)即可，試驗數(shù)據(jù)也證明了這一點。

表1 不同線路參數(shù)法、差分法與精密水準測量結(jié)果比較

(3) 由圖2、圖3可以看出，通過精密三角高程測量數(shù)據(jù)解算所得CPⅢ點高程中誤差以及相鄰CPⅢ點間高差中誤差均符合規(guī)范要求，但在圖5中，水準測量方法所得高差估計值和參數(shù)法精密三角高程所得同名高差估計值的差值出現(xiàn)超限的情況。

考慮到精密三角高程數(shù)據(jù)和精密水準數(shù)據(jù)在不同時期進行采集，且使用了不同的連接桿，初步判斷由點位發(fā)生沉降或者連接桿未旋到位引起的，文獻[24]表明了這種可能性的存在。表1中也出現(xiàn)了類似的情況，這種情況還需要通過對現(xiàn)場超限點的核對來確認。

4 結(jié)束語

本文研究了參數(shù)法CPⅢ精密三角高程數(shù)據(jù)處理模型，通過引入球氣差參數(shù)來削弱大氣折光和地球曲率的影響，避免了差分法帶來的觀測值之間的相關(guān)性等問題。試驗證明，該模型解算精度優(yōu)于差分法模型。

由于涉及兩種類型的原始觀測值，因此嘗試采用最小范數(shù)二次無偏估計對CPⅢ精密三角高程觀測值進行定權(quán)。但試驗表明，控制網(wǎng)解算結(jié)果在嚴密定權(quán)前后未有顯著變化。進一步分析可知，CPⅢ點豎直角絕對值不超過3°，測距誤差對于精密三角高程觀測值的影響可以忽略不計，因此嚴密定權(quán)效果不甚明顯。

通過試驗發(fā)現(xiàn)，適當增加約束點的個數(shù)，能有效提高CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的精度，從而使CPⅢ點高程中誤差以及相鄰點高差中誤差完全滿足規(guī)范的要求。文獻[22]要求每2 km布設(shè)一個線路水準基點，但通過試驗對比發(fā)現(xiàn)，每千米約束1～2個點效果最佳。由于試驗所用數(shù)據(jù)大部分來自已經(jīng)完工的項目，因此采用了若干CPⅢ精密水準測量成果點作為約束點，在實際應用中需要按照二等水準的要求對線路水準基點進行加密。除此之外，在下一步研究中還需要解決以下問題：①CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)與精密水準測量成果對比通常會出現(xiàn)若干同名相鄰點間高差差值超限情況，具體原因還需要結(jié)合現(xiàn)場情況進一步判斷；②在CPⅢ精密三角高程測量中，系統(tǒng)誤差除了球氣差影響還有垂線偏差的影響[25]，單向觀測模式無法削弱垂線偏差的影響，垂線偏差影響到底有多大以及如何削弱，這是未來需要進一步研究的問題。