病態不確定性平差模型的嶺估計算法

魯鐵定，吳光明，周世健

1. 東華理工大學測繪工程學院,江西 南昌 330013； 2. 流域生態與地理環境監測國家測繪地理信息局重點實驗室,江西 南昌 330013； 3. 江西省數字國土重點實驗室,江西 南昌 330013； 4. 南昌航空大學，江西 南昌 330063

測繪數據常存在復雜的不確定性，不確定性是不精確性、模糊性、不明確性等概念的總稱。不確定性與誤差意義接近，但它涵蓋的內容更廣，如屬性不確定性、模糊不確定性等[1]。不確定度是不確定性的度量，是不確定性的一種指標[2]。不確定度與測量界的精度度量方式幾乎完全一致，不確定度可以用方差、均方差、誤差區間、誤差橢圓、誤差橢球表示[1]。測量數據的不確定性不再是一個具體的數值，有時僅知道它們各自在一定的區間內變動，有時僅是一個模糊數，沿用隨機誤差的分布限定會給測量平差數據處理帶來困難[3]。在測繪數據處理領域，應用不確定度理論，研究不確定度評定方法，研究有效降低不確定性的影響等成為研究熱點[4-7]。文獻[8]在不確定度理論下構建海底數字高程模型；文獻[9]從幾何的角度分析了最大不確定度對數據的影響，并提出不確定性平差模型解算方法；文獻[10—11]應用廣義拉格朗日法構造目標函數，更為具體地分析了不確定度的各種情況，并推導了相應的求解公式。在傳統最小二乘方法中，由于系數矩陣的病態性進而會導致因觀測量微小波動而造成解算結果產生巨大波動，參數估值已嚴重失真，不是最優解[12]，很多學者對此展開了研究，諸如提出了Tikhonov正則化法[13-14]、嶺估計法[15-16]等解決病態問題的方法。對于病態情形下的EIV模型應用總體最小二乘進行解算，解算受系數矩陣誤差和觀測值誤差的影響將更加嚴重[17]，學者也提出了病態總體最小二乘的正則化法[18-20]、病態加權總體最小二乘的嶺估計解法[21]，得到參數估值更加穩定。

當不確定性平差模型出現病態，如何解決病態問題的相關研究較少?？紤]到不確定性平差模型中系數矩陣可能出現接近于0的奇異值，如何處理此模型的病態問題是本文研究重點?；趯ΣBG-M模型、EIV模型下的嶺估計法和不確定性平差模型的平差準則分析，以及文獻[10]對不確定性平差模型迭代解算算法，本文建立了相應的病態不確定性平差模型及平差準則，該準則加入了穩定泛函，對法矩陣的奇異值進行修正，將模型由嚴重病態變成病態性較弱或無病態，使得法矩陣求逆變得穩定，并推導了病態不確定性平差嶺估計法的迭代解算公式，通過算例對算法進行驗證及討論。

1 不確定性平差模型及平差準則

不確定平差模型為

(1)

文獻[10]總結出不確定性平差模型的不同情形并對其加以討論，從而建立的不確定性最小二乘(uncertainty least squares，ULS)平差準則

(2)

構造廣義拉格朗日目標函數

(3)

式中,λ、μ、u是拉格朗日乘子，ΔA、ΔL的不確定度用代數式表示，整理得到法方程

(4)

(5)

當不確定性平差模型病態時，法方程系數矩陣ATA求逆會變得極不穩定，在以均方誤差作為估值參考依據，當法矩陣存在特征值接近于零時，方差將會非常大，導致求解出的參數估值不可靠。

2 病態不確定性平差模型的嶺估計

根據不確定性平差模型，當系數矩陣A接近0的奇異值，模型的計算公式(5)中，法矩陣求逆將極不穩定，導致求解參數估值可靠性降低。為了降低病態對不確定性平差模型平差結果的影響，在ULS平差準則式(2)中加入穩定泛函，即

(6)

式中，α是嶺參數。構建廣義拉格朗日目標函數

(7)

求一階偏導得

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

(8e)

(8f)

(9)

根據式(9)可以求得

(10)

法方程式

(11)

從式(8d)可知

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

再把式(10)代入式(13)得

(14)

(15)

可以看出式(15)為病態總體最小二乘嶺估計解算方法，與文獻[17]相一致，因此，病態總體最小二乘嶺估計是本文病態不確定性平差模型嶺估計的特例。

3 病態不確定性平差模型嶺估計解算步驟

解算步驟如下：

(1) 在計算時先給出系數矩陣A、觀測向量L、不確定度φ、β。

(3) 在一范圍[a，b]內按一定步長Δd選擇α。

(4) 確定u、μ，確定公式參考文獻[10]的方法，計算公式為

(16a)

(16b)

通過式(16)求出u、μ，要保證迭代值u(i)、μ(i)為非負數，u(i)、μ(i)求解參考文獻[10]中的解算步驟部分：

(a) 當u、μ均大于0時

u(i)=u、μ(i)=μ；

(b) 當u、μ均小于等于0時

u(i)、μ(i)均為0；

(c) 當u>0、μ≤0時

(d) 當u≤0、μ>0時

(5) 根據式(14)進行迭代計算

則

(17)

4 算例及分析

4.1 算例1

采用文獻[17]中的模擬病態問題算例，法矩陣條件數為2.083 8×104，嚴重病態。未知參數有5個，X=[x1x2x3x4x5]T，真值為X=[11111]T。為驗證病態不確定最小二乘嶺估計法，分別用LS、TLS、ULS、嶺估計LS(R-LS)、嶺估計TLS(R-TLS)和嶺估計ULS(R-ULS)進行解算。由于該數據的不確定度未知，計算時φ、β從不同區間((0，5]、(0，2.5]、(0，1]、(0，0.5]、(0，0.1])隨機取值，分別重復計算1000次，比較不同不確定度對結果的影響，結果如表1所示。

表1 不同方法參數估計結果

圖1 各方法L-曲線圖Fig.1 The L-curve of each methods

圖2 不同區間結果Fig.2 Different interval results

圖3 不同區間結果Fig.3 Different interval results

4.2 算例2

采用文獻[23]空間測邊網算例。P1、P2、…、P10為10個已知點，其坐標具體數據略去。10個已知點到3個未知點P11、P12、P13(假設模擬坐標真值分別為(0，0，0)、(68，-26，9)和(14，41，-11))的距離，以及3個未知點間的距離假定已通過測量得到。設各距離為等精度觀測，中誤差為±0.01 m。根據33個距離觀測值確定3個未知點坐標。計算中3個未知點坐標近似值分別取(0.03 m，-0.025 m，0.01 m)、(68.03 m，-25.97 m，8.98 m)和(14.04 m，40.97 m，-11.04 m)。該測邊網所建立觀測方程的系數陣A嚴重病態，法矩陣條件數為89 543。為驗證病態不確定最小二乘嶺估計法，分別用LS、TLS、ULS、R-LS、R-TLS和R-ULS進行解算，由于該數據的不確定度未知，計算時φ、β也從不同區間((0，5]、(0，2.5]、(0，1]、(0，0.5]、(0，0.1])隨機取值重復計算1000次，比較不同不確定度對結果的影響，結果見表2。

圖4 φ、β(0，0.1]結果Fig.4 φ、β(0,0.1) results

表2 不同方法參數估計結果

應用L-曲線法確定嶺參數，嶺參數變化如圖5所示，確定嶺參數后，φ、β隨機取值計算中發現R-ULS最低的差值范數為0.112 2，但出現的次數太少，而出現最多的差值范數是0.116 1，所以把差值范數為0.116 1時的參數估值作為最優估值。為驗證不同不確定度時R-ULS的可行性，本文在給定5個取值區間再次分別重復計算1000次，并將所得差值范數減去0.112 2并作出相應的散點圖(橫坐標為計算次數，縱坐標為差值范數減0.112 2)，縱坐標為0時差值范數則為0.112 2，結果如圖6、圖7和圖8所示。

圖5 各方法L-曲線圖Fig.5 The L-curve of each method

圖6 不同區間結果Fig.6 Different interval results

圖7 不同區間結果Fig.7 Different interval results

圖8 φ、β(0，0.1]結果Fig.8 Results of φ、β(0,0.1)

4.3 算例分析

病態情況是法矩陣出現幾個接近于零的特征值，從而法矩陣求逆將變得極不穩定，導致參數估值與真值偏差較大。在兩算例中，嶺參數用L-曲線法確定。L-曲線圖如圖1、圖5所示，嶺參數則為圖中的拐點處曲率最大的點對應的值。兩算例LS估計差值范數均比TLS、ULS估計低，說明TLS和ULS均比LS受病態情況影響更為嚴重，對病態性更敏感。

嶺估計削弱或消除法矩陣的病態性，使得法矩陣求逆變得穩定，有效地抑制住病態帶來的影響。將嶺估計運用于病態情況下的LS估計和TLS估計，算例1得到參數估值的差值范數分別是0.854 7、0.846 8，算例2得到結果分別是0.711 6、0.204 8，均優于相應的LS、TLS、ULS方法得到結果。病態不確定性平差模型應用嶺估計法可以有效地提高了參數估計解算結果的穩定性。兩算例中R-ULS最優的差值范數分別為0.838 9、0.116 1，較R-LS、R-TLS解算結果更優，說明嶺估計可用于病態不確定性平差模型解算。

由于不確定度φ、β是未知的，在試驗過程中不確定度是上述5個取值區間的隨機數，分別重復計算1000次，發現R-ULS存在最優解。根據兩算例的散點圖，在(0，5]區間中，算例1的0.838 9出現次數最多且最低(縱坐標為參數差值范數減0.838 9)；算例2的0.116 1出現次數最多(縱坐標為參數差值范數減0.112 2)，存在最低的0.112 2，但出現次數太少。在參數真值已知情況下，可根據差值范數大小確定最優估值。隨著區間進一步縮小，最優值出現概率在降低，不同的不確定度得出不同的結果，可從(0，1]、(0，0.5]、(0，0.1]3個取值區間相應圖形看出最優值出現概率在降低。此外，從兩算例的散點圖發現不同不確定度參數估值的差值范數是在一定區間內變化，算例1是在區間范圍[0.838 9，0.938 9]，算例2是區間范圍[0.112 2，0.182 2]。說明病態不確定性平差模型嶺估計解受不確定性有界的約束，在不確定度較小時，不確定性約束更為明顯。同時進一步說明隨著不確定度增大，病態不確定性平差模型嶺估計解對不確定度的敏感程度在降低。

5 結 論

本文分析了當不確定性平差模型出現病態時，ULS受病態情形的影響，提出基于嶺估計，同時顧及系數矩陣和觀測向量出現不確定性誤差，推導了病態不確定性平差模型的嶺估計平差準則，推導了迭代算法，以提高解的穩定性。通過算例結果表明，R-ULS能夠有效地抑制病態的影響和降低差值范數，說明了提出的病態不確定性平差模型嶺估計法具有一定的有效性。同時從算例得出，病態不確定性模型的嶺估計解受不確定度影響，影響程度隨著不確定度增大而降低。