通用EIV模型的方差分量估計

戴理文，王勝平

(1.東華理工大學 測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013)

總體最小二乘[1-4]是在最小二乘的基礎上考慮系數矩陣誤差平差的一種方法，是EIV(Errors-in-Variables)模型的嚴密估計方法，總體最小二乘方法得到廣泛的發(fā)展，文獻[5-7]研究一般權陣下的總體最小二乘的迭代算法；文獻[8-10]研究附有約束條件的總體最小二乘方法；文獻[11]針對EIV模型系數矩陣中存在隨機元素與固定元素的情況，提出Partial EIV(Partial Error-in-Variables)模型，文獻[12]分析總體最小二乘方法的研究進展，總結Partial EIV模型可以提高計算效率的優(yōu)勢；文獻[13-14]分別研究不相關觀測與相關觀測時的解算方法；文獻[15]推導附有不等式約束的Partial EIV模型解法；文獻[16]推導附有相對權比的Partial EIV模型平差方法；相對于Partial EIV模型，文獻[17]針對某些特定數據的結構，在經典通用平差模型的基礎上考慮觀測量系數矩陣與參數系數矩陣的隨機誤差，推導通用EIV模型的解算方法。

方差分量估計[18-20]又稱隨機模型的驗后估計，由于隨機模型不確定性進而對權進行修正的方法。文獻[21]分析EIV模型的最小二乘方差分量估計方法；文獻[22]引入權修正因子，推導Partial EIV模型的Helmert方差分量估計；文獻[23]得到Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計。文獻[24]推導EIV模型的最小范數二次無偏估計，分析由參數估值偏差引起的方差分量估值的偏差，推導方差分量估值偏差的表達式；文獻[25]推導概括函數平差模型的通用方差分量估計。

基于上述分析，本文以通用EIV模型為平差模型，對公式進行轉換推導通用EIV模型的方差分量估計表達式，通過算例實驗說明本文方法的可行性。

1 通用EIV函數模型及其解算

通用EIV模型是在經典通用平差模型的基礎上考慮觀測向量的系數矩陣與參數的系數矩陣，固定矩陣推廣到隨機矩陣，其函數模型形式為[17]

(B+EB)(y+ey)-(A+EA)x-w=0.

(1)

式中：B和EB為m×n的觀測向量的系數矩陣及其改正數矩陣，y和ey為n×1的觀測向量及其改正數誤差，A和EA為m×u的參數的系數矩陣及其改正數矩陣，x為u×1待估參數，w為m×1常數向量。

將式(1)展開得：

By+Bey+(yT?Im)eB+EBey-

Ax-(xT?Im)eA-w=0.

(2)

上式等價于：

By-Ax+[YT?In-xT?ImB+EB]

(3)

寫成附有參數的條件平差模型：

By-Ax+CV-w=0.

(4)

其中：

C=[yT?In-xT?InB+EB]，

vec表示矩陣拉直運算。

因此，通用EIV模型的隨機模型：

(5)

式中：QB,QA,Qy分別為觀測向量系數矩陣拉直向量、參數系數矩陣拉直向量及觀測向量的協(xié)因數陣，σ2為單位權方差。

對通用EIV模型進行解算，其殘差平方和最小為準則為：

(6)

構造拉格朗日極值函數為：

Φ=VTQ-1V+2λT(By-Ax+CV-w).

(7)

對待估量求一階偏導并令其等于0。

(8)

(9)

(10)

由式(9)得：

(11)

將式(11)代入式(9)和(10)得：

(12)

將式(12)代入式(8)得：

(14)

(15)

由此可以得到觀測值改正數為：

(16)

其中：

2 方差分量估計

考慮到平差前給定的權不準確，并且式(5)中三類數據定權時給定的單位權方差不相等，即其形式為：

我國的國土空間規(guī)劃工作正處于探索階段，在具體的執(zhí)行過程中還存在著一定的問題。這就要求相關的政府部門積極借鑒國外好的經驗，在“多規(guī)合一”的基礎上對我國的空間規(guī)劃體系進行優(yōu)化與完善，從而促進我國的相關規(guī)劃任務得以順利推行，促進國土空間規(guī)劃體系得到持續(xù)的發(fā)展。

(17)

根據協(xié)方差傳播律可以得到Δ的方差為：

(18)

此時，p=3，若觀測向量系數矩陣沒有誤差，eB=0，則p=2，同理，p值隨著其它觀測量的誤差變化。

本文以最小二乘方差分量估計方法為例，進行公式推導， 根據式(2)及式(16)可得到：

因此有：

(19)

D(Δ)=E(ΔΔT)=E{RTf(RTf)T}=

(20)

存在向量t=RTf，可得到：

(21)

E{vh(ttT)}=E(yvh)=Avhσ,Wvh.

(22)

式中：σ為由方差分量組成的向量，Wvh為yvh的權陣：

文獻[20]給出了vec與vh之間的關系，對任意一個對稱矩陣G存在vec(G)=Dvh(G)，其中矩陣是列滿秩矩陣且滿足Wvh=DT(Wt?Wt)D，其中Wt表示向量t的權陣。

對式(22)進行最小二乘解算，其準則為：

(23)

進而得到方差分量估值的表達式為：

(24)

文獻[20-21]通過轉換，得到法矩陣N和列向量K的形式為：

(25)

其中：

計算得到方差分量估值。

3 算例分析

本文算例采用文獻[21]中的直線擬合數據，其具體數據如表1所示。

表1 坐標觀測值及相應的權值

由于通用EIV模型中涉及觀測向量系數矩陣的誤差，若假設觀測向量系數矩陣沒有誤差時，直線擬合模型為：

(26)

[ξ1,ξ2]T為待估參數，直線擬合模型是常見的含有非隨機元素與隨機元素的模型，在使用Partial EIV模型進行解算時還需要給出向量h和固定矩陣B，由式(26)可知，向量h和矩陣B的形式為：

(27)

表2 不同方法的解算結果

圖1 方差分量估值變化圖

4 結果分析

1)考慮更具有一般性的通用EIV模型，在平差解算之后進行方差分量估計的公式推導，得到方差分量估計的一般表達式；

2)從表2可以看出，當不考慮通用EIV模型觀測向量系數矩陣的誤差時，該方法退化為普通EIV模型形式，解算得到的結果與已有文獻結果相同，得到不同類觀測數據的方差分量估值，不失一般性；

3)本文在將通用EIV模型轉換為附有參數的條件平差模型再進行方差分量估計，其形式簡單，更易理解。

5 結束語

在應用方面，某些特定數據在一定條件下更適用于通用EIV模型，其形式上類似與概括函數平差模型，不過此時是考慮所有可能含有觀測向量的隨機誤差，其模型更具有適用性；在通用EIV模型平差解算的基礎上，本文考慮方差分量估計的解算，進一步完善通用EIV模型的發(fā)展，算例實驗說明通用EIV模型的一般性，得到與已有方法相同的參數估值與方差分量估值，進一步完善測量平差理論。