基于超寬帶測距的定位精度及時延的研究*

徐會彬,孫樹芳

(1.湖州師范學院信息工程學院,浙江 湖州 313000;2.鄭州大學測繪工程系,鄭州 450000)

超寬帶UWB(Ultra-WideBand)技術起于20世紀60年代。當時僅限于軍事領域的定位、目標跟蹤。于2002年,FCC批準將UWB技術擴展至民用[1]。由于UWB信號的傳輸率高、多徑分辨率強等優勢,它廣泛應用于短距離無線定位應用[2-3]。

位置信息是如今基于位置感知應用的一個必不可少的部分[4]。盡管全球導航衛星系統GNSS(Global Navigation Satellite System)能夠在多數環境下提供位置信息,但是它在弱信號環境下性能較差,如室內環境。

而基于UWB測距定位正好彌補了GNSS的不足。依據雙向到達時間差TW-TOA(Two-Way Time Of Arrival)測距[5],UWB具有可靠、高的測距精度,給節點定位提供有用的數據。如何提高無線定位精度已成為科學界的一個研究熱點。提高定位精度的通常策略是:增強測距精度;使用更多的錨節點;提高傳輸功率;擴大協作范圍。這些策略旨在提高定位精度。

然而,在實際應用中,定位精度固然重要,但是定位成本不容忽略,如定時時延。定時時延包括接入媒介的接入時延。基于IEEE 802.15.4a的時分多址接入TDMA(Time Division Multiple Access)技術是常用的媒介接入策略。通過給節點分配時隙,使節點有序地依據所分配的時隙接入信道,避免接入碰撞。

為此,本文分析定位精度與時延關系。首先,依據TW-TOA測距,并建立測距模型,然后依據觀察值估計節點位置和時延。再推導定位精度與時延間關系。同時,考慮協作和非協作模式下的定位精度與時延間關系,并分析節點數對定位精度和時延的影響。

1 系統模型

1.1 測距模型

考慮由m個錨節點和n個定位節點組成的無線網絡。其中錨節點位置已知,而定位節點位置未知。將錨節點和定位節點統稱為節點。令xi=[xiyi]T表示第i個節點的位置,且i=1,2,…,m+n。

本文考慮兩類UWB測量[6]:雙向時間到達TW-TOA(Two-Way Time of Arrival)和竊聽,如圖1所示。

圖1 基于TW-TOA測距

在TW-TOA測距中,節點i向節點j發送請求。當節點j接收請求后,節點j就回復確認消息。令Ni表示節點i的鄰居節點集,其定義如式(1)所示:

Ni={j≠i:dij≤R}

(1)

式中:dij表示節點i與節點j間歐式距離,且dij=‖xi-xj‖。R為節點的通信半徑。

令Sa、Sp分別表示錨節點集、定位節點集。若滿足:j∈Sa∪Sp,則網絡是協作的;若節點j只屬于錨節點,即j∈Sa,則網絡是非協作的。無論協作還是非協作,節點i向節點j均估計請求消息和確認消息的TOA值。

錨節點i引用自己與節點j的往返時延估計它們間的距離。假定錨節點i在時刻ti廣播測距信號,節點j接收了此信號,所獲取的測量值可表示為[7]:

zij=γi+dij+αj+wij,i≠j

(2)

式中:wij～N(0,σ2)屬噪聲變量。而γi=ct,其中c為信號傳播速度,t為信號傳輸時間。而αj表示節點j所經歷的時鐘偏差。

令zi表示網絡內所有節點所觀察節點i的信號:

zi=[zi1,zi2,…,zik,…,ziA]

(3)

若A=m,表示非協作定位;若A=m+n,表示協作定位。將未知參數構成一個集合ε:

ε=[xTγTαT]

(4)

2 定位精度-時延的優化

2.1 時延

用通信圖G=(V,E)表述網絡,其中V表示頂點集(節點)、E表示邊集。由于一些鏈路需要安排多個時隙,將圖G擴展新的圖G′=(V′,E′)。圖2顯示了擴展圖,其中鏈路(1,4)要求兩個時隙[8]。

圖2 擴展圖G′中的子圖

令A表示圖G′的對稱鄰近矩陣,且Aij=1,?(i,j)∈E′。此外,引入對稱調動矩陣S。如果此鏈路(i,j)被安排了TW-TOA,則Sij=1,否則Sij=0。

由于給G′內鏈路分配時隙屬于NP-完全問題[9]。為此,求解給S內鏈路分配TDMA時隙的下限Υ和上限Ω。

時延上限就是網絡內所有鏈路數,即Ω=(1TS1)/2,其中1表示單位矢量。而下限Υ就是Δ,即Υ=Δ,其中Δ表示最大S度。最終,每次測距時延D=(Ω+Υ)/2。

2.2 定位精度

(5)

式中:Jx是x的費舍爾信息矩陣FIM(Fisher Information Matrix)。為了對x進行降維,引用等效FIM(Equivalent FIM,EFIM)[11]。

將EFIM引入本文。先構成以ε為主體的FIM:

(6)

再將J(ε)轉化為EFIM形式,如式(7)所示:

JE(x)=Φ(x,x)-ΨH-1ΨT

(7)

式中:Ψ=[Φ(x,γ),Φ(x,α)]。而H為一個矩陣:

(8)

而JE(x)的結構如式(9)所示:

(9)

最后,通過JE(x)推導定位精度下限,并利用定位誤差下限PEL(Positioning Error Lower)表述定位精度:

(10)

對于定位節點k,且k=1,…,n,它的定位誤差下限表示為ρk:

(11)

2.3 優化參數

標度律SLS(Scaling Laws)取決于定位節點數n隨錨節點數m的變化率。為了能夠規范地優化定位精度與時延間關系,定義一個模型[7]:

n=κmλ

(12)

式中:λ相對錨節點增長率,而κ>0。通過n=κmλ模型表征定位節點數隨錨節點數增長的變化關系,進而形成定位精度與時延的優化參數β(λ)。

依據n=κmλ,定位誤差下限的比例表示為ρ∈O[fρ(m,λ)]。而時延比例表示為D∈O[fD(m,λ)]。因此,β(λ)可表示為:

(13)

依據式(13),時延-定位精度的優化參數β(λ)可理解成:在對數標度范圍內,定位精度隨時延的變化情況。因此,β(λ)越大,定位精度隨時延增加而下降的速度更快。

3 數據分析

3.1 實驗環境

為了更好地分析時延與定位精度間的關系,引用MATLAB軟件建立仿真平臺。考慮20 m×20 m的區域。依據文獻[12]的網絡拓撲結構,部署錨節點。而定位節點隨機分布于20 m×20 m。且定位節點的位置服從高斯分布。

此外,測距標準方差為2 cm。TDMA時隙為20 ms。并利用P400 超寬帶無線電UWB(Ultra-Wide Bandwidth)進行測距。

考慮兩個場景:①非協作;②協作。并分別分析這兩個場景下定位誤差下限和時延的性能。同時考慮,錨節點數、定位節點數對這兩個性能的影響。

3.2 定位誤差下限

首先,分析錨節點數和定位節點數對定位誤差下限PEL的影響,如圖3、圖4所示。

圖3 定位誤差下限隨錨節點數的變化情況

圖4 定位誤差下限隨定位節點數的變化情況

圖3顯示了錨節點數對定位誤差下限的影響,其中錨節點數從1變化至10,定位節點數為10個。從圖3可知,錨節點數的增加,降低了PEL。原因在于:錨節點數越多,每個定位節點獲取的信息越多,這越有利于測距精度。相比于非協作模式,協作模式的PEL更低。

圖4顯示了定位節點數對PEL的影響,其中定位節點數從1變化至20,錨節點數為3個。從圖4可知,在非協作模式下,定位節點數的增加對PEL并沒有影響。但是,在協作模式下,定位節點數的增加迅速降低定位誤差。此外,相比于非協作模式,協作模式下的PEL得到有效地下降。例如,在定位節點數為16時,非協作模式下的PEL約0.018 m;而協作模式下的PEL約0.007 m。

3.3 時延

本小節分析時延隨錨節點數和定位節點數的影響,如圖5、圖6所示。

圖5 時延隨錨節點數變化情況

圖6 時延隨定位節點數的變化情況

圖5顯示了時延隨錨節點數的變化情況,其中定位節點數為10個。從圖5可知,協作模式下的時延遠高于非協作模式下的時延,增加近2 s時延,例如,當錨節點增加至10,協作模式下的時延增加至3.8 s。原因在于:協作模式下要獲取更多的測距信息,這必然增加了處理數據的時延。此外,錨節點的增加,也提高了時延。

圖6顯示了定位節點數對時延的變化情況,其中錨節點數為3個。從圖6可知,時延隨定位節點數增加而上升。與協作模式相比,非協作模式的時延較低,并且隨定位節點數的增長速度緩慢。

4 總結

位置估計是無線網絡應用的基礎。為此,本文基于UWB測距,并通過TW-TOA進行測距,再建立測距模型。隨后,推導了關于錨節點數和定位節點數的定位精度和時延的表達式,同時引入權衡參數,分析定位精度與時延的關系。最后,通過數據分析了錨節點數和定位節點數對定位精度、時延的影響。