函數定義域與思維品質

李艷寶

(陜西省渭南市三賢中學 陜西 渭南 714000)

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

1.函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為200m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(100-x)米，由題意得：

S=x(100-x)

故函數關系式為：S=x(100-x)．

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于100的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍0

即：函數關系式為：S=x(100-x) (0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

2.函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例2：求函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值．

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴ 當x=1時，ymin=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

其實以上結論只是對二次函數y=ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：

f(x)max=max{f(p),f(q)} ．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

∵-2 ≤1≤-5

∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

f(5)=52-2×5-3=12

∴f(x)max=max{f(-2),f(5)} =f(5)=12

∴ 函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12．

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

3.函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1．

故所求的函數值域是[1,+∞)．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

4.函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f(x)=log2(x2+2x)的單調區間．

解：先求定義域：

∵x2+2x>0 ∴x>0或x<-2

∴ 函數定義域為(-∞,-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上時，u為減函數，

在x∈(0,+∞)上時，u為增函數。

又∵f(x)=log2u在[0,+∞)是增函數．

∴函數f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是減函數，在(0,+∞)上是增函數。

即函數f(x)=log2(x2+2x)的單調遞增區間(0,+∞)，單調遞減區間是(-∞,-2)。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。