無偏GM(1,1)-馬爾科夫組合模型對車輛周轉(zhuǎn)器材需求量的預(yù)測

徐庶博，袁建松，張大鵬

（1.陸軍軍事交通學(xué)院 學(xué)員五大隊(duì)，天津 300161；2.31695部隊(duì)技術(shù)維護(hù)室，山東 青島 266200；2.陸軍軍事交通學(xué)院 投送裝備保障系，天津 300161）

1 引言

目前，部隊(duì)車輛裝備更新?lián)Q代、配發(fā)報(bào)廢速率持續(xù)加快，器材消耗也隨整體趨勢變化。車輛周轉(zhuǎn)器材需求具有顯著波動性及隨機(jī)性，由于車輛周轉(zhuǎn)器材種類繁多，實(shí)際需求基本依靠經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合部隊(duì)大項(xiàng)任務(wù)及歷史消耗情況，由基層填報(bào)申領(lǐng)計(jì)劃，逐級審核批準(zhǔn)。這種經(jīng)驗(yàn)型粗放式裝備保障顯然同新時期我軍精細(xì)化保障要求不相適應(yīng)，周轉(zhuǎn)器材庫存積壓問題突出。這些客觀因素為準(zhǔn)確預(yù)測車輛周轉(zhuǎn)器材需求量增加了較大難度，也對科學(xué)預(yù)測提出更高的要求。

傳統(tǒng)GM（1,1）灰色模型對于小樣本、貧信息、不確定系統(tǒng)具有較精確預(yù)測結(jié)果[1]，但由于其不具有白指數(shù)率重合性，在預(yù)測過程中對原始數(shù)據(jù)序列成指數(shù)規(guī)律變化，且變化速度不是很快的場合，較曲線回歸模型具有偏差[2]，甚至在發(fā)展系數(shù)絕對值較大時傳統(tǒng)GM（1,1）模型將失效。車輛器材失效率符合白指數(shù)率，故器材消耗成指數(shù)分布，周轉(zhuǎn)器材實(shí)際需求量也就相應(yīng)具有白指數(shù)率，傳統(tǒng)GM（1,1）模型預(yù)測誤差較大，存在震蕩波動及線性擬合程度不理想等情況，本文所采用的無偏灰色馬爾科夫組合模型，是在傳統(tǒng)GM(1,1)模型基礎(chǔ)上，建立具有白指數(shù)率的無偏差模型，并結(jié)合馬爾科夫模型（Markov Modelling）在預(yù)測離散、隨機(jī)、波動大的事件上的優(yōu)勢，對無偏灰色模型殘差進(jìn)行修正，較好的消除了傳統(tǒng)GM（1,1）模型的固有偏差與不完善性，提高了預(yù)測精度[3]，并在實(shí)際周轉(zhuǎn)器材需求預(yù)測實(shí)驗(yàn)中取得了較好的效果。

2 無偏GM（1,1）模型的概述與構(gòu)建

2.1 傳統(tǒng)GM（1,1）模型偏差分析

傳統(tǒng)GM（1,1）模型屬于有偏差指數(shù)模型，其建模步驟如下：

通過對原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列：

X(0)(k)=（X(0)(1)，X(0)(2)，···,X(0)(n))，X(0)(k)≥0，k=1,2,···,n，進(jìn)行一次累加生成，得到:

則GM(1,1)模型的微分方程為：

利用最小二乘法，求解參數(shù)向量。解得：

求解微分方程，即得灰色預(yù)測的離散時間響應(yīng)方程：

對所求得的累加預(yù)測值作一次累減還：

將（4）帶入（5）中，可知：

其中，為發(fā)展系數(shù)，為灰作用量。

對于原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列，我們假設(shè)其為嚴(yán)格的指數(shù)序列，設(shè)為：

按照傳統(tǒng)GM（1,1）模型求解，解為：

比較（6）式和（8）式，我們知道，傳統(tǒng)的GM（1,1）模型在對指數(shù)序列建模時總存在偏差。

2.2 無偏GM(1,1)模型的構(gòu)建

（1）參照傳統(tǒng)GM（1,1）建模方法，求解參數(shù)向量：

由（9）式，可得：

a=，由此，傳統(tǒng)GM(1,1)模型中的參數(shù),,可用參數(shù)a,A表示。

（2）對指數(shù)序列建立無偏差模型，并參照傳統(tǒng)GM(1,1),模型建立無偏差GM(1,1)模型，求得無偏GM(1,1)模型參數(shù)：

（3）得到無偏灰色GM（1,1）模型：

（4）對無偏GM(1,1)模型進(jìn)行校驗(yàn)。校驗(yàn)方法與傳統(tǒng)GM（1,1）模型相同，殘差計(jì)算公式：

相對誤差求解公式：

則平均誤差與平均精度為：

計(jì)算均方差比C，原始數(shù)據(jù)的方差為：

殘差方差為：

均方差比值：

所得均方差比值，可參照表1，檢驗(yàn)判斷模型是否符合精度要求。

表1 精度等級參照表

與傳統(tǒng)GM(1,1)模型相比較，無偏GM(1,1)模型消除了固有偏差，較之應(yīng)用更為廣泛，也提高了預(yù)測精度。

3 馬爾科夫（Markov Modelling）預(yù)測模型概述

馬爾科夫預(yù)測是通過各種隨機(jī)因素的影響程度，以及各種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，來預(yù)測系統(tǒng)未來的發(fā)展方向[4]。

（1）狀態(tài)劃分。設(shè)Δi=[ai,bi],(i=1,2,...,s)，ai,bi為狀態(tài)上下界；

（2）求初始概率。設(shè)有Δ1,Δ2,Δ3,...,Δs共s個狀態(tài)，在觀察M次中，任意狀態(tài)Δi出現(xiàn)Mi次，則：

（3）求狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，建立n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

Δi→Δj的一步轉(zhuǎn)移概率：

其中Mij為從Mi個Δi出發(fā)，經(jīng)一步，轉(zhuǎn)移到Δj的個數(shù)；

固Δi→Δj的n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率近似值：

其中Mij(n)為從Mi個Δi出發(fā)，經(jīng)n步，轉(zhuǎn)移到Δj的個數(shù)。

建立n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

（4）預(yù)測求解。根據(jù)最大概率，當(dāng)：

max{Pi1,Pi2,...,Pis}=Pik時，可預(yù)測下一步系統(tǒng)將向Δk轉(zhuǎn)移。

4 基于馬爾科夫（Markov Modelling）對無偏GM（1,1）模型的相對誤差修正

將馬爾科夫鏈模型引入無偏GM（1,1）模型，并對其殘差進(jìn)行修正，正是充分發(fā)揮馬爾科夫模型在預(yù)測離散、隨機(jī)、波動大的事件上的優(yōu)勢，彌補(bǔ)灰色預(yù)測模型的不足的思想，對原有預(yù)測模型的補(bǔ)充與完善。具體方法及步驟：

（1）求解相對誤差：由式（12）、（13）計(jì)算無偏GM（1,1）模型預(yù)測值與原始數(shù)據(jù)非負(fù)序列的相對誤差值；

（2）對相對誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分：

（3）求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概率并建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P(n)；

（4）求解無偏GM（1,1）模型預(yù)測中值：

根據(jù)相對誤差狀態(tài)劃分上下邊界，確定預(yù)測區(qū)間，并求得預(yù)測中值：

（5）結(jié)合狀態(tài)概率，對無偏GM(1,1)模型的預(yù)測值進(jìn)行修正。

5 實(shí)例驗(yàn)證

本文結(jié)合北部戰(zhàn)區(qū)某集團(tuán)軍主力運(yùn)輸車CA1125的起動機(jī)為研究對象。以2009年至2017年需求數(shù)據(jù)，作為原始樣本，見表2，建立模型，并以最后2017年數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)。

表2 某JTJ運(yùn)輸車XXX的起動機(jī)消耗量歷史數(shù)據(jù)（個）

（1）建立兩種灰色預(yù)測模型，并比較結(jié)果。首先運(yùn)用傳統(tǒng)GM（1,1）模型對需求量進(jìn)行預(yù)測(由于結(jié)果具有實(shí)際意義，結(jié)果按四舍五入取整)，并將實(shí)際消耗量與預(yù)測值進(jìn)行對比，計(jì)算誤差；再構(gòu)建無偏GM（1,1）模型，做同樣本預(yù)測，并進(jìn)行對比，計(jì)算誤差。所得計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 某JTJ運(yùn)輸車X的起動機(jī)消耗量預(yù)測結(jié)果及誤差

（2）對無偏GM(1,1)模型進(jìn)行校驗(yàn)。由2.2節(jié)中對無偏GM(1,1)模型進(jìn)行校驗(yàn)的部分方法及公式可知，傳統(tǒng)GM（1,1）模型和無偏GM（1,1）模型的平均殘差為1.45%和1.17%，平均精度為98.55%和98.83%。

（3）基于馬爾科夫的相對誤差修正。對表3中2009年-2016年無偏GM（1,1）預(yù)測值相對誤差劃分三個狀態(tài)，即-3%～-1.5%為狀態(tài)1，-1.5%～0為狀態(tài)2,0～1.5%為狀態(tài)3.由此，即得到某集團(tuán)軍運(yùn)輸車CA1125的起動機(jī)消耗量預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的誤差轉(zhuǎn)移情況，見表4。

表4 起動機(jī)消耗無偏預(yù)測相對誤差馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

由表4求得一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

2017年起動機(jī)消耗量無偏GM（1,1）預(yù)測值相對誤差馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

表5 2017年預(yù)測值相對誤差馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

則對2017年無偏灰色模型預(yù)測值進(jìn)行修正，所得結(jié)果見表6。

表6 2017年無偏灰色預(yù)測值馬爾科夫修正結(jié)果

通過比較可知無偏灰色-馬爾科夫組合模型能很好地提升預(yù)測精度。

6 結(jié)語

通過構(gòu)建無偏灰色-馬爾科夫組合模型，利用無偏灰色模型對指數(shù)分布數(shù)據(jù)預(yù)測優(yōu)勢，并結(jié)合馬爾科夫模型特點(diǎn)，對預(yù)測值進(jìn)行修正，既考慮了周轉(zhuǎn)器材的指數(shù)分布特點(diǎn)，又考慮了實(shí)際器材需求中離散、隨機(jī)、波動大等特點(diǎn)，提升了車輛周轉(zhuǎn)器材需求量預(yù)測精度，對于部隊(duì)車輛器材需求預(yù)測工作具有參考意義。