四邊簡支型聲子晶體薄板的低頻隔聲特性驗證

張若軍，王桂波，張思維，黃婉君，王 勃，肖 勇

(1.中國船舶信息中心 應用聲學研究中心，北京 100101；2.國防科技大學 裝備綜合保障技術重點實驗室，湖南 長沙 410073)

0 引 言

低頻噪聲由于傳播距離遠、透聲能力強，會對人們的日常生活以及身體健康造成嚴重的干擾和影響，因而降噪需求突出。隔聲處理是控制低頻噪聲的有效方法之一。傳統的隔聲材料在低頻段的隔聲性能需要遵循質量密度定律，即面密度決定隔聲材料的隔聲量。增加隔聲材料面密度才能提高低頻隔聲量，由此帶來隔聲材料重量增加的問題，這也使得傳統隔聲材料應用受限。因此，探索輕質條件下的低頻噪聲的隔離技術具有重要的意義。近年來，“聲子晶體局域共振板”概念的提出為實現輕質條件下的低頻隔聲提供了新的理論基礎和技術途徑。

2011年，法國Oudich等[1]研究了聲子晶體板，通過理論分析驗證減振特性。隨后，國防科技大學機電工程學院肖勇等[2]對集成局域共振單元的薄板結構開展了隔聲特性研究，分析了全頻帶的隔聲特性，指出局域共振單元可以打破質量密度定律。辛鋒先等[3-4]系統研究了簡支邊界及固支邊界型薄板的隔聲特性及振動特性。本文通過在簡支邊界條件的基礎上，薄板上集成局域共振單元，采用模態形函數[5]，從而求解基板位移，計算得到其隔聲量。

據此，本文將以典型的輕質板和局域共振單元為研究對象，開展隔聲計算方法、參數分析及實驗設計，系統研究并完善局域共振聲子晶體板的理論預報方法，加深對其低頻隔聲機理及特性的認識，并為其在低頻降噪工程中的應用設計提供指導，最后通過大量實驗驗證了聲子晶體板的低頻隔聲特性。本文對邊界條件下的薄板隔聲理論以及對低頻隔聲應用轉化具有重要的參考意義。

1 數值求解及驗證

1.1 模型求解

聲子晶體薄板由基板和共振單元組成（見圖1），基板的彎曲位移可以表示為w（x，y，t），在聲場作用下，則動力學響應方程為：

對斜入射的平面波，其聲壓速度勢為：

簡支邊界下板的橫向位移可以寫為：

圖1 聲子晶體板結構示意圖Fig.1 Schematic of simply supporte locally resonant plate

式中Ψmn(x,y)和pmn（t）分別為簡支邊界條件的模態函數和相應的模態位移。

式中：αmn為基板彎曲位移的每階模態系數；ω為角頻率。

將基板兩側的聲場用基板的位移勢函數表示，則基板兩側聲場勢函數可以表示為[6]：

將式（1）化簡，方程兩邊乘以模態函數Ψrs(x,y)，根據模態函數的正交性，方程兩邊做模態基函數的加權積分，通過積分運算，求解積分方程可以獲得方程的數值解。

得到由MN個方程組成的有限大代數方程組，寫成矩陣形式：

式中相關推導及方程表達式可參考文獻[7]。通過式（9）求得每一階模態系數αrs，再代入式（4），可以求得基板的位移、速度和聲壓速度勢。

1.2 結果分析及驗證

數值計算時，聲波垂直入射（θ=0，φ=0），Lx=Ly=0.06 m，h=0.000 5 m，Nx=Ny=1，fobj=610 Hz，μ=0.2。鋁板參數：ρs=2 700 kg/m3，E=70 GPa，υ=0.3，η=0.005，ρ0=2 700 kg/m3，c0=343 m/s，ФI=1 Pa。

根據收斂理論，如果給定的數值結果在某一頻率下收斂，那么針對該算例的結果可以根據收斂特性，判斷出對于低于該給定頻率的所有數值計算結果都收斂[8]。圖2所示結果表明：計算頻率低于10 kHz時，當指標M和N大于10時，傳聲損失結果收斂。由圖3可知，有限元計算曲線與數值結果預測曲線基本一致，都能準確地預測隔聲峰值和谷值。

圖2 傳聲損失的收斂性（f=10 kHz）Fig.2 The convergence for STL (f=10 kHz)

圖3 結果對比（μ=0.20，fobj=610 Hz）Fig.3 Results comparison (μ=0.20，fobj=610 Hz)

2 低頻隔聲特性分析及實驗

2.1 振子數目對板的隔聲性能的影響

數值計算時，Lx=Ly=0.06 m，h=0.001 m，μ=0.2，fobj=300 Hz。由圖4可知，振子固有頻率處板的傳聲損失峰隨著振子數目N的增大而在逐漸增大，一定程度后趨于收斂。考慮到波在板中的彎曲波波數[9]

結合式（10）可知，當Nx=Ny=3時，計算算例中的彎曲波長約等于局域振子之間的間隔Δx；當Nx=Ny=6時，彎曲波的半個波長等于局域振子之間的間隔Δx；當Nx=Ny=12時，彎曲波的1/4波長等于局域振子之間的間隔Δx；當Nx=Ny=24時，彎曲波的1/8波長等于局域振子之間的間隔Δx。

根據彎曲波的波長與局域振子之間的間隔的相關關系，可判斷：當振子之間的間隔減小，聲子晶體板的隔聲峰將向設計的固有頻率靠近，隔聲峰數值大小進一步趨于收斂，在此基礎上再繼續減小振子之間的間隔，峰值處隔聲性能趨于穩定（Nx=Ny=30）。綜上可知，如果固定基板的參數和振子的附加質量，在某一振子共振頻率下，通過選擇合適的振子數目，可以得到理想頻率處的隔聲性能。

圖4 不同振子數N下的傳聲損失Fig.4 STL under different number of local resonators

2.2 實驗測試

實際應用中，主要關心材料的隔聲量大小，隔聲量越大，意味著材料的隔聲性能越好。為此，需要在一個標準統一的環境中，采取標準統一的測量方法進行測量，這樣才能使結果具有實際意義。

隔聲實驗室包括發聲室和接受室，如圖5所示均由混響室構成，測試樣件安裝在2個混響室的中間。其中球形聲源采用白噪聲激勵，通過多通道的實驗測試系統來分析實驗數據。本文的局域共振結構參考文獻[10]中的梁片結構，將梁片共振頻率設計到300 Hz附近，具體的聲子晶體板樣件如圖6所示。

實驗測試按照GB/T 19889.3-2005的測試方法，測試結果如圖7所示。可知，在設計低頻處（約315 Hz）聲子晶體板的隔聲量比同質量板高10 dB，實驗再一次驗證了2.1節中的低頻隔聲特性。

圖5 隔聲實驗示意圖Fig.5 Schematic of sound transmission test

圖6 聲子晶體板樣件Fig.6 Experimental specimen of locally resonant phononic plate

圖7 實驗測試結果Fig.7 Measured frequency response function of STL

3 結 語

本文基于系統研究了簡支邊界條件下聲子晶體薄板的低頻隔聲特性。通過引入有限元仿真計算，驗證了數值結果的有效性，進一步分析了振子數目對聲子晶體板的隔聲性能影響規律。最后通過大樣實驗驗證了聲子晶體板得低頻隔聲特性。研究表明：通過調節振子數目、振子共振頻率，可以實現聲子晶體板在設計頻率處的低頻隔聲性能，無限制的增多數目并不能帶來預期的效益，隔聲峰數值收斂條件下的振子數目為最佳。聲子晶體低頻隔聲薄板的設計理念為輕質薄板隔聲設計提供了一種有效、實用的方法。總之，結合本文方法，根據實際板結構的邊界約束條件，可以開展針對性設計，自主調節聲子晶體板結構參數，實現板結構的輕質低頻隔聲。