斜井中地質導向電磁波測量數值模擬分析

解茜草 仵 杰 高建申

(西安石油大學電子工程學院，陜西西安 710065)

0 引言

定向井開采借助定向隨鉆電磁波測量儀器，使鉆頭按照設計的軌跡鉆進，井軌跡包括垂直段、傾斜段及水平段，增加了油層卸油面積、減少了單位面積開采井數量，提高了油氣綜合開采效益，因此成為目前較受關注的油氣勘探及開采技術[1-3]。定向井作業需要精確地控制井眼鉆進軌跡[4-11]，期望鉆頭始終在儲層中鉆進。這是由于儲層巖性較泥巖更穩定，鉆頭在儲層中鉆進能夠最大程度地保證井眼的穩定性，并使初始產量和持續產量穩定。合理的井眼布置可以延遲井出水和氣竄，從而更加高效地開采油氣藏。為了更好地開采定向井，現代地質導向鉆井技術利用隨鉆測井(Logging While Drilling，LWD)資料及時、準確地劃分已鉆地層、預測待鉆進地層、實時控制儀器沿期望軌跡鉆進，大大提高了油氣采收率。

定向井中傾斜段及水平段的儀器軸線與地層不垂直，測井環境處于非對稱狀態，地層電導率呈各向異性分布，水平電阻率不等于垂直電阻率，給地質導向測井解釋帶來一定困難。楊錦舟等[12]通過研究軸向發射線圈傾斜接收線圈系結構對比了方位隨鉆儀器的定向探測范圍與電阻率隨鉆儀器的探測深度。魏寶君等[13]在水平層狀地層中，采用并矢格林函數法計算了地質導向電磁波隨鉆測井儀器的定向探測特性。Wang等[14]研究了三維各向異性地層中的隨鉆測井響應特性，在數值計算時將磁場強度分量置于矩陣邊上，為得到對稱的系數矩陣，需對計算區域進行均勻離散化。Newman等[15]闡述了徑向層狀各向異性地層中的電性響應特性。史曉峰[16]研究了層狀傾斜地層中的隨鉆電磁波儀器定向響應特性，分析了地層界面處的響應曲線變化特征，在水平井中利用測井數據進行地層分層及鉆前預測井眼軌跡。

本文基于軸向發射、傾斜接收線圈系地質導向隨鉆電磁波測井儀器，采用三維有限元法分析儀器在大斜度井中的定向響應特性。針對井眼成像測井在低井斜角時的測量精度較低、受井眼環境影響較大，提出由定向地質導向信號獲得低井斜角的方法。

1 定向測量信號定義及其數值計算

1.1 定向測量信號

為進行地質導向，斜線圈的設計方法被用于隨鉆測量儀器，從而使儀器能夠識別地層界面、及時調整井眼走向(即地質導向)、識別地層的電性各向異性信息。在電阻率測量時電磁波測量儀器采用單發、雙收的三線圈系結構，測量響應為兩個接收線圈的幅值比和相位差。當隨鉆電磁波儀器用于地質導向時采用單發、單收的雙線圈系結構，接收線圈測量信號經過處理后反映地層邊界及方位等地質導向信息。圖1為傾斜線圈系示意圖，地層坐標系為x、y、z。研究基于單發、單收線圈系結構，發射、接收線圈磁矩共面，且與儀器軸向(也為地層界面法向)z方向的夾角分別為θT和θR，方位角分別為φT和φR。傾斜天線系發射天線T與接收天線R選擇相同的磁矩平面方位角，令φT=φR=φ。儀器旋轉時方位角隨之變化，接收線圈處的感應電動勢也隨之改變，且受方位角、地層界面等影響。

圖1 傾斜線圈系示意圖

傾斜線圈系的磁偶極子源可等效為一個垂直磁偶極子源和一個水平磁偶極子源的疊加，如Mx與Mz的疊加(或My與Mz的疊加)。傾斜線圈的接收信號也等效為水平方向與垂直方向的接收信號的疊加，如x與z(或y與z)方向的接收信號的疊加。為討論方便，推導在x、y、z三個方向上發射磁偶極子源及在三個方向均能接收到信號的一般情況。此時，接收線圈共能接收到具有9個分量的磁場張量信號。

在地層坐標系下，磁場可表示為

(1)

式中Hij表示在j(j=x，y，z)方向接收到的i(i=x，y，z)方向的磁偶極子源產生的磁場信號。

由式(1)可知，接收線圈在每個方向上均可接收到x、y、z三個方向磁偶極子源產生的磁場信號。x方向上的磁場為

Hx=MT(HxxsinθTcosφ+HyxsinθTsinφ+

HzxcosθT)

(2)

同理,y、z方向上的磁場分別為

Hy=MT(HxysinθTcosφ+HyysinθTsinφ+

HzycosθT)

(3)

Hz=MT(HxzsinθTcosφ+HyzsinθTsinφ+

HzzcosθT)

(4)

根據接收線圈傾角求得接收線圈處的總磁場強度

HR=HxsinθRcosφ+HysinθRsinφ+HzcosθR

(5)

將式(2)～式(4)代入式(5)，得

MT(HxzcosθTsinθR+HzxsinθTcosθR)cosφ+

MT(HyzcosθTsinθR+HzysinθTcosθR)sinφ+

(6)

式中MT=ITATNT為線圈源磁矩，其中IT為發射電流強度,AT為發射線圈面積,NT為發射線圈匝數。

求出HR后，由法拉第電磁感應定律可求出感應電動勢為

U=-iωμHRNRAR=a0+a1cosφ+b1sinφ+

a2cos2φ+b2sin2φ

(7)

其中

a0(θT,θR)

(8)

a1(θT,θR)=UzxsinθTcosθR+UxzcosθTsinθR

(9)

b1(θT,θR)=UzysinθTcosθR+UyzcosθTsinθR

(10)

(11)

(12)

式中：ω為發射線圈中交變電流的角頻率；μ為磁導率；NR為接收線圈匝數；AR為接收線圈面積；Uij表示在j(j=x，y，z)方向接收到的i(i=x，y，z)方向的磁偶極子源產生的感應電動勢。

在常規的隨鉆測量儀器中，所有線圈平面均與儀器軸垂直，即θT=θR=0。此時,a0≠0,a1、b1、a2、b2均為零，感應電動勢不再是φ的函數，此時儀器測量信號不能反映方位信息。

若發射線圈和接收線圈中有一個相對儀器軸向傾斜，即θT≠0或θR≠0，則a0≠0、a1≠0、b1≠0、a2=0、b2=0，此時，感應電動勢為φ的函數，儀器測量信號中包含了方位信息。

若發射線圈和傾斜線圈磁矩方向均為非軸向，則a0、a1、b1、a2、b2均不為零，可以計算水平電導率及垂直電導率，從而識別地層電性各向異性。

為了既充分利用現有的軸向線圈測量地層電參數，同時能夠實現地質導向，目前的地質導向電磁波傳播隨鉆測井儀器均采用發射線圈磁矩方向為軸向、接收線圈磁矩方向為非軸向的布置方式，即θT=0、θR≠0。同時，假設儀器在xoz平面內鉆進，即Hyz=Hzy=0，則只有a0≠0及a1≠0。此時，接收線圈接收到的感應電動勢為

U=a0+a1cosφ

(13)

定義地質導向響應信號包括定向幅度衰減信號和定向相移信號，可由φ=0°和φ=180°時的測量信號定義地質導向信號。對于單側布置發射—接收線圈對，定向幅度定義為

Att=

(14)

定向相移定義為

(15)

式(14)、式(15)中Re(·)、Im(·)分別表示取實部和虛部。

對于對稱補償布置的發射—接收線圈對，其地質導向信號定義為兩對單個發射—接收線圈對的地質導向信號之和。

Schlumberger公司推出的具有較深探測深度的PeriScope15是新一代應用較為成熟的地質導向隨鉆電磁波測量儀器。該儀器在常規隨鉆測井儀器的基礎上增加了傾斜或者橫向線圈，探測深度較常規隨鉆儀器更大，具備較強的地質導向能力和方位探測能力，實現了對未鉆進地層邊界的距離和方向的鉆前預測。該儀器作定向測量用的線圈有軸向布置發射線圈及兩個傾斜接收線圈，傾斜接收線圈磁矩方向與儀器軸向的夾角分別為-45°和45°。定向測量提供22in(0.56m)、34in(0.864m)、84in(2.134m)及96in(2.438m)等4個源距及2MHz、40kHz和100kHz等3個頻率的定向相移和定向幅度測量。水平布置發射線圈T6測量地層各向異性電阻率。

1.2 數值計算

本文采用三維有限元法[17-21]分析儀器在大斜度井中的定向響應特性，推導了地質導向電磁波測井響應三維有限元泛函求解方程。在邊界條件處理時，基于Paulsen提出的思路，在不連續性邊界兩側引入兩倍的節點施加連續性邊界條件的方法[22]。根據變分原理，電、磁場求解方程分別為

ik0Z0?VE·JdV

(16)

(17)

為更好地進行地質導向，要求儀器在盡量遠的距離能夠發現地層邊界，從而盡早調整儀器鉆進方向，即要求具有較大的定向探測深度。為此，可適當降低發射頻率并增大發射—接收源距。本文采用三維有限元法分析儀器在大斜度井中的定向響應特性，發射頻率為100kHz，源距為96in(2.438m)，線圈系分別為單側布置及對稱布置，儀器在地層中以不同傾角θ傾斜鉆進地層(圖2)。

圖2 斜井地層模型示意圖

2 傾斜線圈電流源在層狀地層中的電磁波傳播特性

測井時，在發射線圈中通入交變電流，以此作為激勵源。根據全電流定律，交變電流在井眼周圍地層中將會產生一次交變電磁場。由電磁感應定律可知，變化的磁場產生電場。一次場在地層中產生以發射源為中心的渦流，變化的電場又產生磁場，因此，環形渦流建立二次電磁場，接收線圈接收二次場信號。環形渦流的大小是地層電導率的函數，接收線圈中的接收信號也是地層電導率的函數。

當存在地層界面時，一次場在地層中產生的渦流以不同角度穿越層邊界。根據電磁波傳播理論，時變的入射波在介質分界面處產生時變的電荷并作為新的波源。新波源產生的電磁波分別向邊界兩側傳播，與電流流入同側但方向相反的波為反射波，穿過界面流入另一側的波為折射波或透射波。透射波的傳播方向與入射角及地層界面兩側介質特性有關。

基于地質沉積規律，測井理論研究中一般將所探測地層簡化為層狀模型。為研究地層界面兩側電磁波傳播特性，假設入射波從介電常數為ε1、磁導率為μ1、電導率為σ1的各向同性區域1斜入射進入介電常數為ε2、磁導率為μ2、電導率為σ2的各向同性區域2中。如圖3所示，在三維直角坐標系下，令xoy坐標面與地層界面重合，地層界面法向為z方向，為研究方便，選擇入射面為xoz面，則場量與y無關。

圖3 有耗介質中的平面波斜入射

在電磁波傳播理論中，如果發射線圈源的尺寸與其波長相比很小，可將發射源視為偶極子源。采用傾斜線圈系時，可將發射源近似為與儀器軸向呈一定角度的磁偶極子源(點源)。傾斜磁偶極子源可分解為垂直磁偶極子源和水平磁偶極子源，線圈傾斜角度不同，水平方向和垂直方向上磁偶極子源的強度不同。設線圈磁矩方向與儀器軸的夾角為θT，則MV=MTcosθT,MH=MTsinθT。MT、MV和MH分別為發射線圈磁矩、垂直磁偶極子源磁矩及水平磁偶極子源磁矩。

根據電磁波傳播理論，任意方向的磁偶極子源產生的電磁波可分解為TM(transverse magnetic)波和TE(transverse electric)波。TE波定義為電場向量垂直于入射面的線性極化波，TM波定義為電場向量平行于入射面的線性極化波。TE波和TM波可分別研究。

在區域1中，直角坐標系下的Maxwell方程可寫為

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式(18)～式(20)為TE波方程，式(21)～式(23)為TM波方程，其中式(20)和式(23)為齊次Helmholtz方程。式中：Ex、Ey、Ez分別為x、y、z方向上的電場分量；Hx、Hy、Hz分別為x、y、z方向上的磁場分量；ω=2πf,f為發射頻率。

為研究電磁波在地層中的傳播特性，需要求解給定邊界條件下的波動方程。磁偶極子源產生的電磁波在縱向和橫向上同時傳播，此時可在柱坐標系下求解波動方程，可認為柱面波是沿各種角度傳播的平面波的疊加。

柱坐標系(ρ,φ,z)下的波動方程為

(24)

其解可表示為

u(ρ,φ)=Hn(kρ)eim φ

(25)

式中Hn(kρ)為n階Hankel函數;m為不同角度平面波的個數。

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

將所有的場量及矢量微分算子分為橫向分量和縱向分量兩部分，橫向分量以下標H表示，縱向分量以下標V表示，即

(32)

x、y、z分別為x、y、z三個方向的單位矢量。

則Maxwell方程中的兩個旋度方程可表示為

(33)

(34)

把橫向分量和縱向分量分開后有

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

在區域2(無源區域)中

(41)

(42)

邊界條件要求在交界面z=d1處電場和磁場切向連續。對于TM波，有

(43)

(44)

對于TE波，有

(45)

(46)

在區域1中，有

(47)

(48)

其中

施加垂直磁偶極子源時只產生TE波，施加水平磁偶極子源時，可同時產生TM波和TE波。

可見，電磁波在有耗介質中傳播時，地層界面兩側的反射、透射現象與入射角、透射角及地層界面兩側電導率有關。不同的儀器與地層界面距離、不同的發射-接收源距及在地層界面不同位置點處的入射角均不同。對于相同的入射角，地層界面兩側的電導率對比度不同時，透射角也不同。因此，有耗介質中地層界面兩側渦流流動特性非常復雜，當儀器以不同角度穿越地層界面時，由于邊界效應，定向響應特性曲線變化也非常復雜。

3 仿真分析

3.1 各向同性目的層定向響應特性

假設三層模型的上、下圍巖及目的層電阻率分別為2、1、4Ω·m，目的層厚度為6m，工作頻率為100kHz。儀器以不同角度穿過目的層時，單側布置線圈對及對稱布置線圈對的定向幅度及定向相移如圖4所示(h為儀器在目的層中的深度)。由圖4可見：

(1)圍巖與目的層的相對位置不同，地質導向響應信號的符號也不同。當目的層位于圍巖下方時，地質導向信號為正；當目的層位于圍巖上方時，地質導向信號為負。儀器穿過目的層中點時，定向響應信號會穿過零點后改變極性。因此，極性可以在鉆井時指導儀器的鉆進方向。

圖4 儀器以不同角度穿過三層各向同性地層的定向測量信號

(2)在遠離地層界面時定向響應信號很小，當儀器穿過目的層中點時，定向響應信號會穿過零點后改變極性。圍巖與目的層界面處定向響應信號呈現峰值，由此可以判斷地層界面的位置。

(3)無論儀器是從圍巖向目的層鉆進還是從目的層向圍巖鉆進，定向響應信號的符號不發生變化，響應曲線的單調變化趨勢也相同。

(4)單側布置發射-接收線圈對的定向幅度曲線的峰值出現在地層邊界處，從而可以判斷地層界面位置；且隨著地層相對傾角變化，地層界面附近的定向響應曲線出現較大分離(圖4a)。

(5)采用對稱布置線圈對測量時，在地層界面處，定向幅度曲線出現峰值且隨著地層傾角變化，曲線除峰值幅值大小不同有分離外，基本不受地層相對傾角影響(圖4b)。

(6)當以約90°的傾角穿過目的層時，由于邊界效應的影響，單側布置發射—接收線圈對定向響應信號在地層邊界處不再是單調變化的曲線，可能會出現雙峰現象，且邊界兩側地層電導率對比度不同，邊界效應的影響也不同(圖4c)，這個現象給測井解釋帶來困難。采用對稱布置線圈對測量(即采用對稱補償后)，響應曲線簡單(圖4d)。

3.2 各向異性目的層定向響應特性

在地層模型中，設目的層厚度為6m，定向幅度衰減特性如圖5所示。由圖可見：

(1)采用單側布置的線圈對測量時，在目的層中，定向響應信號為井斜角的函數，偏離零值。除了尖峰相對層界面發生平移外，在目的層的中間，響應值由于受各向異性的影響也不再是零。當相對傾角小于90°時信號零點更靠近目的層的下界面；當相對傾角大于90°時信號零點靠近目的層上界面；當相對傾角等于90°時，對相對傾角和各向異性不敏感。由于地層電導率等參數的準確值未知，采用單側布置線圈對測量時，測量結果容易導致錯誤的地質導向(圖5a、圖5c)。

(2)采用對稱布置的線圈對后，地層傾角變化只對地層界面處的定向響應信號影響較大，遠離地層邊界時(在目的層中)其響應值仍接近零值，對地層各向異性不再敏感，響應特性曲線簡單。這說明采用對稱布置發射—接收線圈對(即采用對稱補償后)可以消除或減小相對傾角和各向異性的大部分影響，只有在界面處的尖峰幅度仍受這些因素影響(圖5b、圖5d)。

圖5 儀器以不同角度穿過三層各向異性地層的定向測量信號

考慮到很多情況下地層都呈各向異性，且相對傾角一般不等于90°，為進行定向鉆井，必須要區分定向響應曲線特征是受地層邊界影響還是受地層各向異性影響。因此，在大斜度井中進行定向鉆井時，應該采用對稱布置線圈對進行測量。把兩對單發、單收線圈對的定向測量結果疊加在一起，在接近地層邊界時只對相對傾角敏感。在離地層界面較遠時，定向響應信號受各向異性和相對傾角影響較小，定向響應曲線簡單。這也是開發對稱組合儀器的主要原因。

3.3 低井斜角測量

通常，通過地質構造圖和井眼成像可以獲得井斜角。地質構造圖能夠提供較大范圍內的地質構造信息。井眼成像能夠得到井眼內的地層構造信息并成像，精度高于地質構造圖。但是，當井斜角較小時，由于受井眼影響，井眼成像測量精度較低。本文提出了由定向測量數據實時獲取低井斜角信息的方法。以儀器深度h為橫坐標，以定向響應信號與井斜角的比值W為縱坐標，繪出定向響應特性曲線。圖6為低井斜角時厚度為6m的各向異性目的層、各向同性圍巖層定向響應。由圖可見： 當地層相對傾角小于20°時，無論發射—接收線圈對是否對稱布置，定向響應曲線呈線性變化且基本重疊在一起，即地層傾角增大(或減小)一定倍數，相應的定向響應信號也相應增大(或減小)相同的倍數。因此，在低井斜角測量時，只需要知道某個地層傾角時的定向響應信號值，可根據實際測量得到的定向響應信號測量值按比例換算出井斜角，即地質導向信號對井斜角探測具有很好的靈敏性，利用該方法測量低井斜角精度高且實時性好。當目的層厚度超過6m時，不能得到上述結論。保持上、下圍巖及目的層電導率不變，當目的層厚度為10m時，繪出定向響應特性曲線。圖7為低井斜角時厚度為10m的各向異性目的層、各向同性圍巖層定向響應。由圖可見，定向響應信號與地層傾角的比值曲線不再呈線性變化且不重疊，相互分離，分析響應曲線特征可判斷儀器在地層中的位置，從而進行地質導向。

圖6 低井斜角時厚度為6m的各向異性目的層、各向同性圍巖層定向響應

圖7 低井斜角時厚度為10m的各向異性目的層、各向同性圍巖層定向響應

4 結束語

本文研究了地質導向電磁波測量儀器的響應特性。在大斜度井模型中，通過數值模擬分析了目的層分別為各向同性和各向異性、地層相對傾角變化時的定向響應。研究發現：由定向響應信號的變化可獲得地層界面的位置及方位信息，由定向響應信號的正、負可判斷圍巖層與目的層的相對位置。為減小或消除地層傾角和地層各向異性對定向響應的影響，應該采用對稱布置線圈對進行測量。把兩對單發、單收線圈對的定向測量結果疊加在一起，在接近地層邊界時只對相對傾角敏感。在距地層界面較遠時，定向響應信號受各向異性和相對傾角影響較小，定向響應曲線簡單。研究結果可對實際鉆井測量提供理論指導。

此外，數值仿真了地層相對傾角小于20°時的定向測量響應，研究了由定向響應數據獲取低井斜角的方法。結果表明：當目的層厚度不超過6m時，地質導向信號對低井斜角探測具有很好的靈敏性。這種通過定向地質導向信號獲得低井斜角的方法彌補了井眼成像的不足，具有較高的測量精度，并且極具實時性。