二元函數連續、偏導數和全微分之間的關系

摘 要：通過證明或反例說明二元函數連續、偏導數，全微分之間的關系。

關鍵詞：二元函數；連續；偏導數；全微分

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.202

對于一元函數來講，連續、導數和微分之間的關系比較簡單：可導與可微是等價的，可導一定連續，但連續不一定可導。但對于二元函數來講，連續、偏導數和全微分之間的關系要相對復雜一些，本文通過證明或反例來說明三者之間的關系。

1 連續和偏導數之間的關系

1.1 已知偏導數存在，但不一定連續

例1 函數 在點處的兩個偏導數都存在：

但是在點卻不連續，事實上，令點沿趨向點，有：

1.2 已知連續，但偏導數不一定存在

例2 函數，顯然：

故在點處連續，而由：

知不存在，所以在點處不是可偏導的。

2 偏導數和全微分之間的關系

2.1 若可微，則偏導數一定存在

證明：由于在點處可微，于是在點的某一鄰域內有：

其中。

特別地，當時，上式變為：

在該式兩端各除以，再令，則得：

從而偏導數存在，且；同樣可證存在，且。

2.2 已知偏導數存在，但不一定可微

例3 函數 在點處的兩個偏導數都存在：

但是在點卻不可微，事實上：

令沿趨向，則：

這說明當時，并不是的高階無窮小，所以在點處不可微。

3 連續和全微分之間的關系

3.1 若可微，則一定連續

證明：由于在點處可微，即有：

其中。

于是，

即有，

從而，

即在點處連續。

3.2 已知連續，但不一定可微

在例2中，函數在點處連續，在點處不是可偏導的。由偏導和可微之間的關系，知在點處不可微。

綜上，二元函數連續、偏導數和全微分之間的關系：函數在一點的連續性和函數在該點的偏導數的存在性之間沒有任何關系；函數在一點的偏導數存在是函數在該點可微的一個必要非充分條件，函數在一點可微是函數在該點的偏導數存在的一個充分非必要條件；函數在一點連續是函數在該點可微的一個必要非充分條件，函數在一點可微是函數在該點連續的一個充分非必要條件。

參考文獻：

[1]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分（下冊）[M].大連理工大學出版社，2013.

[2]大連理工大學城市學院基礎教學部.應用微積分同步輔導[M].大連理工大學出版社，2013.

[3]同濟大學數學教研室.高等數學（下冊）[M].高等教育出版社，

1998.

作者簡介：張宇紅（1979-），女，遼寧錦州人，碩士研究生，教授，研究方向：數學。