利用高等幾何知識解初等幾何題例談

李歡 趙臨龍

摘 要：利用射影幾何的不變性和不變量關系，討論幾何中的2個問題：將任意三角形變換為等腰三角形，證明線段的相等，并且給出推廣結論。

關鍵詞：射影幾何；不變性；不變量；任意三角形；等腰三角形；線段相等；推廣結論

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.11.191

在高等幾何中，經過適當的仿射變換，任意一個三角形（平行四邊形、梯形、橢圓）可變為正三角形（長方形、等腰梯形、圓），那么對具有關仿射性質的一些命題，將命題中的一般圖形可用仿射變換變為特珠圖形，如果所給命題在特殊圖形中成立，則根據仍射變換不變性和不變量關系：保持同素性、結合性、共線性、共點性，以及單比、封閉圖形的面積之比等，即可推命題在原圖形中成立。

1 舉例

例1：中心射影將一任意三角形射影成等腰三角形。

方法一：如圖1，設△ABC 為平面π內的一任意三角形，過BC邊任作一平面π與π不同，在π內作BC的垂直平分線m，在m上任取一點A'（不在BC上），連AA'，在直線AA'上取定點O，則以O為射心，OA為射線的中心射影必將△ABC射影為平面π上的等腰三角形A'BC。

方法二：如圖2，設F、G，H、A分別是梯形DEBC下底、上底的中點，對角線交點、兩腰所在直線交點，T為仿射變換，將梯形DEBC→等腰梯形DEBC， F→F'為B'C'中點，G→G'為D'E'中點。因為仿射單比不變：（BEH）=（BEH），（DCH）=（DCH），（BDA）=（BAD），（CEA）=（CEA），且仿射共線性不變：FHGA共線，所以FHGA共線，即將任意三角形仿射為等腰三角形。

由此得到結論。

命題1：任意梯形一對對邊的2個中點與四邊形另一對對邊延長線的交點，以及對角線的交點，其4點共線。

例2：如圖3，過四邊形對角線的交點O，引一直線交雙對邊于P，P'，交另一雙對邊于Q，Q'，若P'O=OP，則PQ=Q'P'。

方法一：如圖3，設ABCD為已知四邊形，AC，BD交于點O，P在BC上，P在AD上，Q在AB上，Q在CD上，且P'O=OP。

設直線AD與BC交于點E， 直線AB與CD交于點F，連接EO。取完全四邊形FAOD，則有調和分割線束關系： E（CP，OF）=-1，即E（PP'，OF）=-1。

此時，以E為透視中心，P'0=OP，則點F與直線PP'相交于無窮遠，所以PP//EF。

同理，連接FO，由完全四點形的調和性知，F為透視中心的線束F（QQ'，OE）=-1，由于QQ//EF，所以點列（QQ'O）=-1，故QO=OQ，又PO=P'O，所以PQ=QP。

方法二：由直線型蝴蝶定理，當直線PP'截直線對BC、AD于點P、P'，則截直線對AB、CD與直線PP'構成的點Q、Q'，當PO=OP，則QO=OQ，于是PQ=QP。

此時，由蝴蝶定理推廣結論，還可以給出結論。

命題2：如圖3，過四邊形對角線的交點O，引一直線交雙對邊于P，P'，交另一雙對邊于Q，Q'，則1/PO-1/PO=1/QO-1/QO，其中當PO=OP，有QO=OQ。

2 小結

綜上所述，高等幾何對初等幾何而言，有著重要的指導作用，初等幾何的證明題千變萬化，精彩紛紜，有不少題目難于找到證明思路。如果學了高等幾何，那么在對于初等幾何的思路上將會更加開闊和解法多樣化，也更加有助于我們對初等幾何的認識，啟發我們獲得初等證法。我們要“站得更高，看得更遠”，拓寬視野與思路，許多初等幾何無法簡潔解答的問題，我們在學了高等幾何以后，就可以找到答案，提高我們解決問題的能力，發散思維。

參考文獻：

[1]周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].華中師范大學出版社，2014.

[2]梅向明，劉增賢.高等幾間學習指導與習題選解[M].高等教育出版社，2004.

[3]馬麗君.高等幾何與初等幾何的關系[J].南昌教育學院學報，2013，28（10）：130-131.

[4]周明旺.高等幾何對初等幾何指導作用[J].通化師范學院學報，2012，22（04）：76-77.

[5]趙臨龍.蝴蝶定理解高考數學解析幾何題的再探討[J].中學數學教學，2018（05）：73-76.

[6]趙臨龍.“廣義蝴蝶定理”的本質結構及新的不變量關系[J].河南科學，2015，33（12）：2071-2074.