隨機(jī)事件相互獨(dú)立性和兩兩獨(dú)立性的探究

劉淑環(huán)

【摘 要】通過(guò)實(shí)例分析事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的本質(zhì)，展現(xiàn)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的關(guān)系，對(duì)學(xué)生正確理解并適用事件相互獨(dú)立具有重要指導(dǎo)作用。

【Abstract】By analyzing the essence of mutual independence and pairwise independence of event through examples， this paper shows the relationship between the mutual independence and the pairwise independence of event， which plays an important guiding role for students to correctly understand and apply the independence of events.

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)事件；相互獨(dú)立；兩兩獨(dú)立

【Keywords】 random events； mutual independence； pairwise independence

【中圖分類(lèi)號(hào)】O211 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1673-1069（2019）04-0181-02

1 引言

隨機(jī)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立是概率論中非常重要的概念。對(duì)這兩個(gè)概念的理解，容易出現(xiàn)一些困惑。例如，事件相互獨(dú)立是不是事件之間發(fā)生沒(méi)有影響？事件相互獨(dú)立的本質(zhì)是什么？多個(gè)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立有區(qū)別嗎？等等。本文將通過(guò)具體實(shí)例對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行探究。

2 事件相互獨(dú)立的本質(zhì)

定義1：設(shè)A和B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果有P（AB）= P（A） P（B），則稱(chēng)事件A和B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立。否則就稱(chēng)不獨(dú)立或相依[1]。

關(guān)于事件獨(dú)立性判斷，一般都以直覺(jué)判斷為先導(dǎo)。例如，在可靠性理論中，人們總會(huì)假設(shè)系統(tǒng)各個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的；又如，一枚骰子擲兩次，則每次出現(xiàn)6點(diǎn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；再如，彩票問(wèn)題中，每次搖獎(jiǎng)的過(guò)程也是相互獨(dú)立的。這些獨(dú)立性可以直接憑直觀(guān)就可以判斷。情況復(fù)雜則輔以定義1方法進(jìn)行縝密計(jì)算。

直覺(jué)上，人們通常會(huì)認(rèn)為：事件A與B相互獨(dú)立，是指事件A發(fā)生或不發(fā)生對(duì)B發(fā)生或不發(fā)生沒(méi)有影響。但這種直覺(jué)是否正確？如何刻畫(huà)獨(dú)立的這種“沒(méi)有影響”？通過(guò)下面實(shí)例進(jìn)行分析。

例1 ：擲一枚硬幣2次，觀(guān)察正反面情況，樣本空間為：

{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

以A記“第一次出現(xiàn)正面”，以B記“第二次出現(xiàn)正面”。顯然，事件A和B獨(dú)立。但A、B發(fā)生與否相互沒(méi)有影響嗎？

從事件關(guān)系看：B發(fā)生，有A│B={（正，正）} ；B沒(méi)發(fā)生，有A│ ={（正，反）}。同樣，A發(fā)生，有B│A ={（正，正）}，A沒(méi)發(fā)生，有B│ ={（反，正）}?？梢?jiàn)，B發(fā)生與否對(duì)A都產(chǎn)生了影響，A發(fā)生與否也都對(duì)B產(chǎn)生了影響。因此，人們認(rèn)為的“事件之間發(fā)生與否沒(méi)有影響”并不是“事件相互獨(dú)立”的本質(zhì)特征。

從概率角度來(lái)看：無(wú)論B發(fā)生與否，都有P（A│B）=P（A│ ）；無(wú)論A發(fā)生與否，都有P（B│A）= P（B/ ）。這才是事件獨(dú)立的本質(zhì)，即“事件A與B發(fā)生相互不影響”等價(jià)于“P（A│B）=P（A）”。因此，事件相互獨(dú)立并非指事件結(jié)果相互不影響，而是指“事件在發(fā)生可能性（概率）上相互沒(méi)有影響”。

3 事件相互獨(dú)立和樣本空間的關(guān)系

在不同的樣本空間，隨機(jī)事件相互獨(dú)立性的表現(xiàn)可能完全不同，看下面實(shí)例。

例2： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，以A記“抽到K”，以B記“抽到黑桃”，AB為“抽到黑桃K”。則：

P（A）=4/52=1/13，P（B）=13/52=1/4，P（AB）=1/52

可見(jiàn)P（AB）=P（A）P（B），故事件A、B獨(dú)立。

但若將例2改為“從一副含有大小王的撲克牌中任取一張”，A和B仍如上所記，則P（A）=4/54，P（B）=13/54，P（AB）=1/54，這里P（AB）≠P（A）P（B），說(shuō)明事件A、B不獨(dú)立。因此，在判斷事件是否獨(dú)立時(shí)，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

例3： 有三個(gè)小孩的家庭中，由性別構(gòu)成的樣本空間有8種等可能情況，以b表示男孩，以g表示女孩，則樣本空間為：

Ω={bbb， bbg， bgb， gbb， bgg， gbg， ggb， ggg}

以A記“家中男女孩都有”，以B記“家中至多一個(gè)男孩”，則AB即表示“家中只有一個(gè)男孩”。則P（A）=6/8，P（B）=4/8，P（AB）=3/8。顯然，P（AB）= P（A）P（B），所以，A與B相互獨(dú)立。

但例3中，若家庭有兩個(gè)小孩，樣本空間只含有4種等可能情況，即Ω={bb， bg， gb， gg}。A和B仍如上所記，則P（A）=2/4，P（B）=3/4，P（AB）=2/4。顯然P（AB）≠P（A）P（B），所以，此時(shí)事件A與B相互不獨(dú)立。

因此，在判斷事件是否獨(dú)立時(shí)，一定要明確這些事件所在的樣本空間。

4 多個(gè)事件相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的區(qū)別

定義2：設(shè)任意三個(gè)事件A、B、C，如果有：

P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），則稱(chēng)A、B、C 兩兩獨(dú)立。若還有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），稱(chēng)A、B、C相互獨(dú)立。

定義2給出了三個(gè)事件相互獨(dú)立要滿(mǎn)足的四個(gè)條件，且事件相互獨(dú)立并不等價(jià)于事件兩兩獨(dú)立。由事件相互獨(dú)立可推出兩兩獨(dú)立，但由事件兩兩獨(dú)立不能保證相互獨(dú)立。這點(diǎn)學(xué)生理解稍有困難，下面兩個(gè)實(shí)例可答疑解惑。

例4： 從3、4、5、60中隨機(jī)選出一數(shù)，以A記“該數(shù)是3的倍數(shù)”，以B記“該數(shù)是4的倍數(shù)”，以C記“該數(shù)是5的倍數(shù)”。則有：P（A）=P（B）=P（C）=2/4=1/2，且P（AB）=P（AC）= P（BC）=1/4，P（ABC）=1/4。

顯然，P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），故事件A、B、C兩兩獨(dú)立。但P（ABC）=1/4≠1/8=P（A）P（B）P（C），所以事件A、B、C相互不獨(dú)立。

該例說(shuō)明，三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，并不能保證P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一定成立。

例5： 從1、2、3、4、5、6、7、8中隨機(jī)抽選一數(shù)，以A記{1，2，3，4}，以B記{1，3，4，5}，以C記{1，6，7，8}。則有：

P（A）=P（B）=P（C）=4/8=1/2；

P（AB）=2/8=1/4，P（AC）=1/8，P（BC）=1/8；且P（ABC）=1/8

顯然有P（ABC）=P（A）P（B）P（C），但P（AC）≠P（A）P（C），P（BC）≠P（B）P（C）。

該例說(shuō)明，即使P（ABC）=P（A）P（B）P（C），也不能保證事件兩兩獨(dú)立。

基于以上的分析，便不難理解“三個(gè)以上事件相互獨(dú)立，要保證其中任意部分的事件都要相互獨(dú)立”的下述定義：

定義3：設(shè)n個(gè)事件A1，A2 ，……，An，對(duì)任意的1≤i

P（AiAj）=P（Ai）p（Aj）P（AiAjjAk）=P（Ai）p（Aj）P（Ak） P（AiAjj…Ak）=P（Ai）p（Aj）…P（An），則稱(chēng)此n 個(gè)事件 A1，A2 ，……，An相互獨(dú)立。

定義3中的等式共有：C +C +…+C +…+C =2n-n-1 個(gè)。

由定義3可知，n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意一部分內(nèi)的事件仍相互獨(dú)立，且任意一部分與另一部分也相互獨(dú)立。自然的，n個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意兩個(gè)事件必然兩兩獨(dú)立。而n個(gè)事件若相互獨(dú)立，則必須要保證定義3中的2n-n-1個(gè)等式同時(shí)成立，只要有一個(gè)等式不成立，n個(gè)事件就不相互獨(dú)立。

【參考文獻(xiàn)】

【1】茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：髙等教育出版社，2011