碎石樁單樁受荷模型試驗(yàn)的離散單元法數(shù)值模擬

譚鑫 趙明華 金宇軒 馮龍健

摘? ?要：為了克服連續(xù)介質(zhì)模型無法有效反映碎石散體特性的缺陷，將碎石樁視為凸多邊形離散塊體集合，樁周軟土視為理想彈塑性材料，采用二維離散單元與有限差分耦合數(shù)值方法建立了軟土地基中碎石樁單樁豎向受荷模型，對碎石樁單樁受荷變形破壞及樁土相互作用全過程進(jìn)行了模擬，通過荷載-沉降曲線、樁體及土體變形場應(yīng)力場討論了碎石樁單樁承載破壞機(jī)制.數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)模型試驗(yàn)實(shí)測的荷載-沉降曲線、樁體鼓脹變形吻合良好，驗(yàn)證了本文數(shù)值模型的合理性.利用離散單元法建立的碎石樁模型無需復(fù)雜的本構(gòu)模型假設(shè)便能較好地反映其鼓脹變形和失穩(wěn)特性，同時(shí)討論了模型的不足與有待進(jìn)一步研究的問題.

關(guān)鍵詞：復(fù)合地基;模型試驗(yàn);離散單元法;數(shù)值模擬;鼓脹

中圖分類號：TU44? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：A 2D DEM-FDM coupled numerical modelling scheme was proposed to simulate a single stone column in soft clay. The discrete granular materials which firm the stone column can be better simulated by the DEM model， which is beyond the capability of continuum approaches. In the proposed numerical model， the stone column was represented by discrete rigid blocks based on the Voronoi tessellation， the surrounding clay was represented by the continuum Mohr-coulomb material. The settlement，bugling deformation，failure process and the involved complicated interactions between the stone column and surrounding soil were well captured by the proposed numerical model. The accuracy of the proposed model was verified using experimental model test results. The consistency between the numerical simulation and model test results shows a good potential for the proposed modelling scheme to further study the load-deformation and failure behavior of soft soils reinforced by stone columns. The limitations of the proposed model were also discussed in this study.

Key words：composite foundation;model test;discrete element method;numerical simulation;bulging

采用碎石樁對軟弱土地基進(jìn)行加固形成復(fù)合地基，能夠有效提高地基承載力、減小沉降變形，并且具有施工快速簡便、造價(jià)經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn).大量工程實(shí)踐應(yīng)用證明碎石樁復(fù)合地基是一種非常適合我國國情的地基處理方法.碎石樁復(fù)合地基的承載力取決于樁體置換率和布置，以及碎石樁樁體自身的承載力.碎石樁與其樁周土體形成復(fù)合地基，協(xié)調(diào)變形、共同承載，樁土的復(fù)雜相互作用決定了碎石樁承載破壞的機(jī)制，國內(nèi)外許多研究者都進(jìn)行過較為深入的研究[1-5].由于碎石樁體內(nèi)部填料之間并無粘結(jié)強(qiáng)度，離散碎石的承載力來源于碎石顆粒之間的摩擦效應(yīng)，所以樁體承載力受到樁周土的側(cè)向約束力的影響.大量現(xiàn)場及室內(nèi)試驗(yàn)證明當(dāng)碎石樁埋置深度超過一定范圍時(shí)（通常認(rèn)為是4倍樁徑）時(shí)，絕大多數(shù)碎石樁破壞是由樁體徑向鼓脹變形引起的[6].故現(xiàn)在散體材料樁單樁極限承載力的理論及計(jì)算方法，均建立在碎石樁樁體上部發(fā)生鼓脹從而破壞失效的機(jī)制上[6-9].

室內(nèi)及現(xiàn)場試驗(yàn)往往難以實(shí)時(shí)監(jiān)測到碎石樁體與樁周土體共同受力變形的關(guān)系，很多學(xué)者因此采用數(shù)值模型對碎石樁復(fù)合地基變形及承載特性進(jìn)行了研究[10-12].大部分?jǐn)?shù)值模型基于連續(xù)介質(zhì)方法，難以準(zhǔn)確描述碎石的細(xì)觀接觸關(guān)系以及變形不連續(xù)性導(dǎo)致的樁土復(fù)雜相互作用.而離散元法則以顆?；驂K體為單元，單元之間沒有變形協(xié)調(diào)的約束，能很好地模擬碎石及土體大變形和位移非連續(xù)的過程[13].本文將碎石樁視為離散塊體集合，樁周軟土視為理想彈塑性材料，采用離散元數(shù)值模型對碎石樁單樁受荷室內(nèi)模型試驗(yàn)的變形及破壞全過程進(jìn)行模擬，研究碎石樁單樁受荷作用下承載及失效機(jī)制.

1? ?室內(nèi)模型試驗(yàn)

如圖1所示，在湖南大學(xué)地基試驗(yàn)室進(jìn)行了多組碎石樁單樁受荷的模型試驗(yàn)[14].試驗(yàn)所填筑軟土采用湘江枯水期的淤泥質(zhì)軟土.其原狀土的不排水抗剪強(qiáng)度cu ≤ 10 kPa，天然含水率在30 % ～ 60 %之間，局部可達(dá)70 %以上.

模型試驗(yàn)地槽軟土地基填筑深度為1 000 mm，填筑軟土?xí)r分層填筑，每層200 mm高軟土，共5次填筑完畢.填筑過程中，每層填筑完畢后采用5 kg的砝碼從50 cm高度自由落下對軟土層進(jìn)行壓實(shí)擠密，然后采用微型觸探儀檢驗(yàn)軟基表面各點(diǎn)處的密實(shí)度和均勻性.模型地槽軟土全部填筑完畢后靜置較長時(shí)間，采用塑料薄膜覆蓋包裹軟土表面，防止水分蒸發(fā)，盡量滿足正常固結(jié)條件.

2? ?碎石樁的離散單元數(shù)值模型

2.1? ?碎石離散單元數(shù)值模型

在離散單元法數(shù)值模型中，碎石等離散顆粒集合體可以假設(shè)為一系列剛性或彈性塊體球體的集合.集合體的受力、運(yùn)動(dòng)及變形等一系列靜力或動(dòng)力過程則通過塊體或球體之間的力學(xué)接觸模型來模擬.二維離散塊體力學(xué)問題的離散單元法程序UDEC可以用來模擬多邊形塊體集合體的力學(xué)行為.UDEC程序的基本組成對象是塊體和接觸，分別用剛體或者彈塑性力學(xué)關(guān)系和接觸關(guān)系加以描述.每個(gè)塊體的邊界均設(shè)置成為接觸，在力學(xué)求解過程中塊體視為獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)對象，運(yùn)動(dòng)過程中通過接觸與其他塊體發(fā)生相互作用.單個(gè)塊體又可進(jìn)一步劃分成有限差分網(wǎng)格，并賦予某種特定的連續(xù)介質(zhì)本構(gòu)模型，或者考慮為不可變形的剛性塊體（圖 2）.在UDEC中，碎石樁樁體可以通過大量離散凸多邊形塊體集合進(jìn)行模擬，塊體之間接觸力及位移通過對相鄰塊體運(yùn)動(dòng)方程求解獲得，而凸多邊形塊體在其接觸部位能夠相互滑動(dòng)或脫離，從而模擬碎石樁鼓脹變形特性[15-16].塊體與變形網(wǎng)格耦合計(jì)算的方法則是將塊體與有限差分網(wǎng)格交界面上的力或應(yīng)力與位移進(jìn)行交互迭代，并在同一個(gè)時(shí)步內(nèi)將迭代結(jié)果返回各自模型根據(jù)各自算法進(jìn)行下一時(shí)步受力與變形計(jì)算.有限差分網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)力作用在剛性塊體邊界上，在一個(gè)時(shí)步內(nèi)塊體通過牛頓第二定律計(jì)算位移.塊體角點(diǎn)位移則作用在有限差分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，作為節(jié)點(diǎn)位移通過本構(gòu)關(guān)系計(jì)算有限差分網(wǎng)格內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變，下一個(gè)時(shí)步如此循環(huán).

2.2? ?碎石樁單樁荷載數(shù)值模型

碎石樁樁體變形特性是通過塊體接觸的接觸剛度（法向剛度kn及切向剛度ks）進(jìn)行設(shè)置.樁體強(qiáng)度特性則通過接觸的強(qiáng)度參數(shù)（摩擦角？準(zhǔn)c、黏聚力cc及抗拉強(qiáng)度σtc）設(shè)置.其中碎石的摩擦強(qiáng)度一部分來源于塊體摩擦角，一部分則來源于多邊形塊體之間的咬合摩擦.當(dāng)塊體接觸內(nèi)力未超過接觸強(qiáng)度時(shí)，模型通過塊體彈性變形模量和接觸剛度產(chǎn)生彈性變形;而當(dāng)接觸內(nèi)力超過其強(qiáng)度時(shí)，接觸便發(fā)生破壞喪失其抗拉強(qiáng)度及黏聚力，此時(shí)破壞接觸相鄰的塊體則發(fā)生滑移或者脫離，塊體接觸摩擦和塊體咬合摩擦仍能提供一定抗剪強(qiáng)度[17].但不同于連續(xù)介質(zhì)方法，離散單元法采用的是塊體及接觸的微觀力學(xué)參數(shù).室內(nèi)試驗(yàn)通常無法直接提供這些微觀參數(shù)，所以必須經(jīng)過多次標(biāo)定校核后才能獲得相對應(yīng)的微觀參數(shù).通過離散單元法模擬碎石樁體時(shí)，可首先根據(jù)碎石樁體的宏觀力學(xué)特性比如壓縮模量、摩擦角等預(yù)先選擇微觀參數(shù)，再進(jìn)行多組數(shù)值試驗(yàn)（比如單軸、三軸、側(cè)限壓縮試驗(yàn)等）將模擬結(jié)果與試驗(yàn)獲得宏觀參數(shù)進(jìn)行比對.根據(jù)對比修改微觀參數(shù)，使數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)室結(jié)果趨于一致.

本文碎石樁樁體模型基于UDEC程序建立，選取了與模型試驗(yàn)相近的Voronoi塊體尺寸，接觸的抗拉強(qiáng)度及黏聚力均默認(rèn)為零.接觸摩擦角的取值可根據(jù)試驗(yàn)獲得的碎石宏觀摩擦角減去由于數(shù)值塊體鑲嵌咬合引起的摩擦角.塊體咬合摩擦強(qiáng)度則可通過設(shè)置零接觸摩擦強(qiáng)度的碎石塊體數(shù)值試件進(jìn)行三軸試驗(yàn)獲得.由于多邊形塊體咬合摩擦角較大，所以本文模型接觸摩擦角取了較小值.通過標(biāo)定后的微觀接觸參數(shù)及對應(yīng)的宏觀力學(xué)特性見表 1.

模型中軟土則采用摩爾庫倫模型進(jìn)行模擬，力學(xué)參數(shù)均從室內(nèi)試驗(yàn)獲得，列于表 2.

數(shù)值模型如圖3所示，碎石樁首先通過Voronoi塊體隨機(jī)離散方法利用隨機(jī)分布凸多面體塊體集合進(jìn)行模擬.模型簡化為軸對稱平面問題，模型邊界均為簡支邊界.數(shù)值模型加載前在重力作用下達(dá)到其初始平衡狀態(tài).可以看到由于樁體土體剛度密度差異，碎石樁的設(shè)置給初始應(yīng)力場造成了輕微擾動(dòng).在達(dá)到初始平衡后，樁頂荷載的施加與室內(nèi)模型試驗(yàn)一致，通過樁頂剛性加載板施加持續(xù)位移產(chǎn)生.

3? ?碎石樁單樁荷載下變形失穩(wěn)全過程數(shù)值模擬

圖4為單樁荷載試驗(yàn)荷載-沉降曲線的數(shù)值模擬結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果對比，兩者在沉降達(dá)到40 mm之前比較吻合.在沉降達(dá)到15 mm之前曲線初始段基本呈線性;隨著荷載增大，沉降增長率逐漸增大，當(dāng)位移達(dá)到20 mm時(shí)，非線性沉降明顯發(fā)展;當(dāng)沉降達(dá)到40 mm時(shí)，數(shù)值模擬的曲線出現(xiàn)了應(yīng)力跌落，預(yù)示著數(shù)值碎石樁模型發(fā)生了垮塌失穩(wěn).此時(shí)數(shù)值模型中碎石樁內(nèi)個(gè)別塊體由于產(chǎn)生了較大接觸變形，并在接近破壞狀態(tài)時(shí)由于周圍接觸約束力在有限時(shí)步內(nèi)無法抵消所累計(jì)的動(dòng)能，所以發(fā)生個(gè)別關(guān)鍵塊體離開碎石樁體，嵌入土體當(dāng)中，從而導(dǎo)致數(shù)值樁體的垮塌，樁頂應(yīng)力跌落.數(shù)值荷載-沉降曲線峰值因此可對應(yīng)數(shù)值模型碎石樁的單樁極限承載力（89 kPa），與模型試驗(yàn)施加的最大荷載（91 kPa）非常接近.

圖5為數(shù)值模型樁身側(cè)限鼓脹變形與模型試驗(yàn)實(shí)測值的對比.樁體的徑向應(yīng)變可以表示其鼓脹變形.隨著沉降的增加，碎石樁的鼓脹變形量逐漸增加，樁體不同深度的鼓脹量均有增加，沉降20 mm之前，模型試驗(yàn)實(shí)測鼓脹量在樁體上部較數(shù)值模擬結(jié)果偏大.

由于數(shù)值碎石樁采用緊密鑲嵌的多邊形塊體，在荷載初始階段產(chǎn)生了過高的咬合效應(yīng).當(dāng)沉降達(dá)到20 mm以后，數(shù)值樁體的最大鼓脹變形與實(shí)測結(jié)果逐漸接近.沉降達(dá)到40 mm，數(shù)值樁體徑向應(yīng)變?yōu)? %，模型試驗(yàn)實(shí)測值為10 %;沉降超過40 mm數(shù)值樁體破壞后徑向應(yīng)變?yōu)?6 %，模型試驗(yàn)最后一級荷載階段實(shí)測值為14 %.樁體的下部非鼓脹段徑向變形數(shù)值與實(shí)測結(jié)果非常接近.與連續(xù)介質(zhì)數(shù)值模型或者理論方法結(jié)果不同，離散單元法數(shù)值樁體徑向應(yīng)變沿樁長分布曲線很不光滑，這是由于每個(gè)凸多邊形塊體的運(yùn)動(dòng)并不連續(xù)，塊體角點(diǎn)與土體網(wǎng)格接觸處產(chǎn)生較大應(yīng)力，而塊體邊與土體網(wǎng)格接觸處應(yīng)力較小，從而引起樁側(cè)土壓力分布具有一定離散性（圖6）.

樁體上部鼓脹較大的部位對應(yīng)著較大的側(cè)向水平土壓力.沉降達(dá)到40 mm時(shí)，鼓脹段承受最大側(cè)向水平土壓力為35 kPa.當(dāng)樁體破壞后，由于塊體嵌入樁周土體程度不一致，導(dǎo)致側(cè)限水平土壓力分布更不均勻.模型試驗(yàn)沒有測得樁周水平土壓力，但考慮到碎石顆粒的離散性，真實(shí)側(cè)向水平土壓力分布很有可能如數(shù)值結(jié)果一樣不均勻分布，與通常假設(shè)為線性分布的被動(dòng)土壓力有較大差別.

圖7、圖8分別為數(shù)值模型不同沉降時(shí)對應(yīng)的土體水平及豎直應(yīng)力場分布.隨著樁頂荷載的增加及樁身的變形，土體中的豎直應(yīng)力隨著樁土界面的剪應(yīng)力傳遞也開始增加.即便樁土接觸只設(shè)置了較小的剪切強(qiáng)度，但由于局部塊體與土體的嵌入咬合使得樁體豎向荷載仍然能夠通過剪應(yīng)力傳遞到樁周土體當(dāng)中.相對初始豎直應(yīng)力場，沉降達(dá)到20 mm時(shí)模型底部豎直應(yīng)力提高了一倍.在樁體宏觀破壞之前，土體豎向應(yīng)力是持續(xù)增加的.當(dāng)沉降達(dá)到40 mm時(shí)，離散塊體構(gòu)成的樁體已經(jīng)產(chǎn)生宏觀破壞，導(dǎo)致出現(xiàn)了樁頂豎向應(yīng)力跌落，此時(shí)下部樁體由于上部樁體豎向應(yīng)力跌落實(shí)際處于卸載狀態(tài)，從而導(dǎo)致底部豎向應(yīng)力反而減小.在樁體宏觀破壞之前，土體豎向應(yīng)力是持續(xù)增加的.從土體水平應(yīng)力場分布來看，更明顯觀察到最大土體水平應(yīng)力發(fā)生在樁體碎石鼓脹最強(qiáng)烈的地方.水平應(yīng)力因?yàn)橹苯邮艿剿槭瘶豆拿涀冃斡绊懀瑪_動(dòng)較豎直應(yīng)力場更劇烈，與初始應(yīng)力場相比，鼓脹最劇烈處水平應(yīng)力提高了將近7倍.模型所設(shè)置的軟土剛度特別低，實(shí)際案例中水平應(yīng)力提高幅度會(huì)更大.

圖9顯示了數(shù)值模型在不同沉降下的節(jié)點(diǎn)位移矢量分布，可以看到樁體位移隨著深度逐步減小.在荷載初期，土體靠近樁體附近由于樁土剪切也會(huì)產(chǎn)生一定沉降;樁體破壞時(shí)，樁體鼓脹段周圍土體產(chǎn)生較大水平位移，并可明顯看到部分土體由于水平推移而產(chǎn)生的豎直上抬趨勢.圖10顯示的是數(shù)值模型在不同沉降下樁周土體水平位移場分布，與鼓脹變形分布比較一致.在樁體破壞之前，兩側(cè)土體最大水平位移均大致發(fā)生在樁頂以下1.5倍樁徑處;樁體破壞后，由于樁體內(nèi)部出現(xiàn)了宏觀剪切帶，兩側(cè)土體最大位移位置不再一致.圖 11為不同沉降下樁周土體剪切應(yīng)變場分布，因?yàn)橥馏w剪切應(yīng)變大小直接揭示了樁土共同作用的強(qiáng)弱，從圖中可以很明顯觀察到樁土作用強(qiáng)烈的區(qū)域集中在樁頂下2.5倍樁徑以內(nèi)的區(qū)域.

結(jié)合樁周土體在不同樁頂沉降下的塑性區(qū)發(fā)展（圖 12）與圖11所示土體剪切應(yīng)變的發(fā)展，揭示了樁周土體的破壞過程.在荷載初期，由于樁身整體位移的差異，樁體上部發(fā)生了較大的壓縮，從而導(dǎo)致樁體上部周圍的土體發(fā)生較大剪切變形而產(chǎn)生塑性屈服;隨著荷載增加，樁身整體都產(chǎn)生壓縮，土體塑性區(qū)域往深部發(fā)展，并且由于樁身鼓脹變形的影響，部分樁側(cè)土體塑性區(qū)域（圖12中沉降20 mm時(shí)）往兩側(cè)開展;直到土體塑性區(qū)域擴(kuò)展到土體表面或者土體邊界，形成貫通的塑性破壞區(qū)域（被動(dòng)土壓力狀態(tài)），樁體發(fā)生破壞喪失其承載力.最終破壞的模型見圖12所示，此時(shí)樁體上部碎石塊體間發(fā)生了較大的位移并導(dǎo)致部分碎石重新排列.由于側(cè)向鼓脹變形，塊體之間發(fā)生分離，產(chǎn)生了更多的空隙，從而減少了塊體間的相互接觸和咬合，與荷載初期相比樁體變成了一個(gè)更不穩(wěn)定的離散系統(tǒng).如果要繼續(xù)維持這個(gè)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定則需要更大的樁周約束力，但此時(shí)土體已形成了整體破壞無法提供額外所需的約束力，樁體因此破壞并導(dǎo)致了圖4所示的應(yīng)力跌落.

4? ?結(jié) 語

本文將碎石樁視為離散凸多邊形塊體的集合，樁周軟土視為理想彈塑性材料，采用二維離散單元與有限差分耦合數(shù)值方法建立了軟土地基中碎石樁單樁豎向荷載模型，對軟土地基中碎石樁單樁受荷變形破壞及樁土相互作用的全過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，通過荷載-沉降曲線、樁體及土體變形場應(yīng)力場討論了碎石樁單樁承載破壞機(jī)制.

碎石樁體單樁受荷主要破壞是由于鼓脹變形段碎石塊體間發(fā)生了較大的相對位移.碎石塊體在移動(dòng)及重新排列過程中，發(fā)生鑲嵌及分離，減少了塊體間的相互接觸和咬合，碎石樁體的不穩(wěn)定性急劇提高.若樁周土體無法提供所需的額外約束力，樁體則將破壞并喪失其承載能力.

數(shù)值模擬結(jié)果和室內(nèi)模型試驗(yàn)實(shí)測的荷載-沉降曲線、樁體鼓脹變形吻合良好，說明了本文數(shù)值模型的合理性.離散單元法建立的碎石樁模型無需復(fù)雜的本構(gòu)模型假設(shè)便能較好地反應(yīng)其鼓脹變形和失穩(wěn)特性.與連續(xù)介質(zhì)方法相比，本文建立的數(shù)值模型能較好地模擬碎石及土體大變形和位移非連續(xù)的過程，可進(jìn)一步研究更多形式碎石樁承載特性，比如墊層效應(yīng)、群樁效應(yīng)及加筋碎石樁等.離散單元法細(xì)觀接觸參數(shù)的標(biāo)定和選取方法則仍需進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? 陳建峰，韓杰. 夯擴(kuò)碎石樁群樁承載性狀研究[J]. 中國公路學(xué)報(bào)，2010，23（1）：26—31.

CHEN J F，HAN J. Research on bearing behavior of rammed aggregate pier group[J]. China Journal of Highway and Transport，2010，23（1）：26—31.（In Chinese）

[2]? ? 趙明華，張玲，鄒新軍，等. 土工格室-碎石樁雙向增強(qiáng)復(fù)合地基研究進(jìn)展[J]. 中國公路學(xué)報(bào)，2009，22（1）：1—10.

ZHAO M H，ZHANG L，ZOU X J，et al. Research progress in two-direction reinforced composite foundation formed by geocell reinforced mattress and gravel piles [J]. China Journal of Highway and Transport，2009，22（1）：1—10. （In Chinese）

[3]? ? 劉杰，張可能. 散體材料樁復(fù)合地基極限承載力計(jì)算[J]. 巖土力學(xué)，2002，23（2）：204—207.

LIU J，ZHANG K N. Calculation of ultimate bearing capacity of composite foundation on discrete material pile[J]. Rock and Soil Mechanics，2002，23（2）：204—207. （In Chinese）

[4]? ? 龔曉南. 廣義復(fù)合地基理論及工程應(yīng)用[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2007，29（1）：1—13.

GONG X N. Generalized composite foundation theory and engineering application[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2007，29（1）：1—13. （In Chinese）

[5]? ? 劉杰，趙明華，何杰. 碎石樁復(fù)合地基承載及變形性狀研究[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，34（5）：15—19.

LIU J，ZHAO M H，HE J. Research on bearing and deformation characters of composite foundation with granular columns [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2007，34（5）：15—19. （In Chinese）

[6]? ? BRAUNS J. Die anfangstraglast von schottersaulen im bindigen untergrund[J]. Die Bautechnik，1978，55（8）：263—271.

BRAUNS J. The initial load of graval pile in the clay foundation[J]. The Construction Technology， 1978， 55（8）： 263—271. （In Germany）

[7]? ? HUGHER J，WITHERS N J. Reinforcing of soft cohesive soils with stone columns[J]. Ground Engineering，1974，7（3）：42—49.

[8]? ? 陳昌富，李其澤.基于圓孔擴(kuò)張理論頂部加箍碎石樁承載力計(jì)算[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，38（10）：7—12.

CHEN C F，LI Q Z. Calculation of bearing capacity of geosynthetic-encased gravel pile based on cavity expansion theory [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2011，38（10）：7—12. （In Chinese）

[9]? ? WONG H Y. Field instrumentation of vibroflotation foundation[J]. Field Instrumentation in Geotechnical Engineering，1974，23（4）：475—487.

[10]? 蔣敏敏，肖昭然，蔡正銀. 高速公路碎石樁復(fù)合地基加固數(shù)值模擬[J]. 公路，2012，31（1）：8—12.

JIANG M M，XIAO Z R，CAI Z Y. Numerical simulation of stone columns reinforced foundation of expressway[J]. Highway，2012，31（1）：8—12. （In Chinese）

[11]? 陳建峰，韓杰. 夯擴(kuò)碎石樁單樁載荷試驗(yàn)數(shù)值模擬[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2009，31（9）：1366—1370.

CHEN J F，HAN J. Numerical modeling of loading tests on a rammed aggregate pier[J].? Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2009，31（9）：1366—1370. （In Chinese）

[12]? 劉洋，閆鴻翔，汪成林. 復(fù)合振沖碎石樁加固機(jī)理及施工過程數(shù)值模擬[J]. 工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，37（3）：390—397.

LIU Y，YAN H X，WANG C L. Reinforcement mechanism of vibro-stone columns with additional wicks and numerical analysis[J]. Chinese Journal of Engineering，2015，37（3）：390—397. （In Chinese）

[13]? ?蔣明鏡，肖俞，陳雙林，等. 砂土中單樁豎向抗壓承載機(jī)制的離散元分析[J]. 巖土力學(xué)，2010，31（S2）：366—372.

JIANG M J，XIAO Y，CHEN S L，et al. Discrete element analysis of bearing mechanism of single pile in sand under vertical load[J]. Rock and Soil Mechanics，2010，31（S2）：366—372. （In Chinese）

[14]? 趙明華，顧美湘，張玲，等. 豎向土工加筋體對碎石樁承載變形影響的模型試驗(yàn)研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2014，36（9）：1587—1593.

ZHAO M H，GU M X，ZHANG L，et al. Model tests on influence of vertical geosynthetic-encasement on performance of stone columns[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2014，36（9）：1587—1593. （In Chinese）

[15]? HANY，CUNDALL P. Verification of two-dimensional LBM-DEM coupling approach and its application in modelng episodicsand production in borehole[J]. Petroleum，2016，3（2）：179—189.

[16]? CUNDALL P A，HART R D. Numerical modeling of discontinue[C]//Comprehensive Rock Engineering. Oxford：Pergamon Press，1993：193—213.

[17]? 譚鑫，HEINZ K. 含層理構(gòu)造的非均質(zhì)片麻巖巴西劈裂試驗(yàn)及離散單元法數(shù)值模擬研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014，33（5）：938—946.

TAN X，HEINZ K. Brazilian split tests and numerical simulation by discrete element method for heterogeneous gneiss with bedding structure[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2014，33（5）：938—946. （In Chinese）