基于動態(tài)輪廓誤差估計的三軸運動平臺NNLARC控制?

王麗梅 趙 晨 孫宜標(biāo)

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽110870)

隨著工業(yè)制造技術(shù)及自動化技術(shù)的快速發(fā)展，對于實現(xiàn)高精度加工的要求越來越高，輪廓誤差是評價加工質(zhì)量的重要指標(biāo)[1-4］。因此，實現(xiàn)三軸運動平臺對輪廓的精密跟蹤是主要控制目的。由于系統(tǒng)在各軸間的動態(tài)特性不匹配，只提高單軸的跟蹤精度并不能有效減小輪廓誤差，為得到期望的輪廓加工精度，在輪廓加工中需要解決兩方面問題:輪廓誤差估計和輪廓誤差控制[5］。對于輪廓誤差估計，文獻(xiàn)[6］基于直線輪廓誤差計算方法，利用直線逼近方式進(jìn)行空間曲線的輪廓誤差估計。文獻(xiàn)[7］采用二階估計方法，通過研究點-曲線距離函數(shù)的微分特性，利用距離函數(shù)的Taylor展開進(jìn)行輪廓誤差的估計；文獻(xiàn)[8］采用任務(wù)坐標(biāo)系方法建立輪廓誤差，將原來在笛卡爾坐標(biāo)系下的跟蹤誤差在任務(wù)坐標(biāo)系中解耦成法相誤差分量和切向誤差分量，法向分量近似為輪廓誤差。上述幾種靜態(tài)輪廓誤差估計算法，通常利用參考位置與實際位置和速度的幾何關(guān)系進(jìn)行誤差估計，基于具有不同精度的Taylor級數(shù)展開進(jìn)行輪廓誤差估計。而Azad Ghaffari提出一種基于牛頓極值搜索算法的動態(tài)輪廓誤差估計方法[9-10］，將當(dāng)前位置和參考輪廓之間的距離近似為具有與輪廓誤差相關(guān)聯(lián)的局部最小點的函數(shù)，用極值搜索算法來找到輪廓誤差的位置和值，進(jìn)一步提高估計的精度。

對于輪廓誤差控制方面，為保證三軸運動平臺伺服性能，要保證系統(tǒng)具有快速跟蹤和抗干擾的能力。由于永磁同步直線電動機(PMLSM)易受系統(tǒng)存在的參數(shù)變化、外部擾動及非線性摩擦等不確定性因素影響，為抑制不確定干擾的影響，文獻(xiàn)[11］采用擾動觀測器(DOB)利用實際系統(tǒng)與參考模型輸出差異，進(jìn)行擾動的抑制和補償；文獻(xiàn)[12-13］采用自抗擾控制器(ADRC)通過擴張狀態(tài)觀測器估計內(nèi)部不確定性和廣義擾動，由于實施簡單，實用性強已經(jīng)廣泛應(yīng)用。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)可以通過學(xué)習(xí)機制使用輸入-輸出數(shù)據(jù)來對任意的非線性映射逼近進(jìn)行擾動抑制。相比于ADRC和DOB，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以作為補償器與其他控制器相結(jié)合，其有效性不依賴于精確模型。因此，將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)的非線性逼近能力引入到具有良好跟蹤能力的自適應(yīng)魯棒控制(ARC)中，實現(xiàn)系統(tǒng)的良好跟蹤能力的同時，提高系統(tǒng)魯棒性。由于NNLARC只能完成對單軸的控制，對于輪廓誤差的動態(tài)特性是未知的，為解決這一問題，采用預(yù)補償?shù)姆椒?，將輪廓誤差直接對位置環(huán)參考輸入進(jìn)行修正[14］。在預(yù)補償方式下，提高系統(tǒng)的輪廓加工精度。

1 永磁同步直線電動機的數(shù)學(xué)模型

三軸運動平臺數(shù)控系統(tǒng)是由三臺軸向方向相互垂直的 PMLSM組成，用來完成精密軌跡的加工。PMLSM 在j(j＝x，y，z)軸運動方程表示為:

其中:p表示被控對象的實際位置；Mj表示PMLSM動子和動子所帶負(fù)載的總質(zhì)量；Fj為所有不確定非線性，如摩擦力Ffj，外部擾動dj。摩擦的模型為速度的函數(shù)，其中:Afj是庫侖摩擦項的未知靜態(tài)值；Sfj是連續(xù)函數(shù)；Bj為粘滯摩擦系數(shù)。非線性擾動dj，包括負(fù)載擾動和未建模擾動。

其中:Uj＝Kfjiqj為控制的輸入。

2 動態(tài)輪廓誤差估計方法

在三維輪廓控制中，參考輪廓已知，可用T參數(shù)化表示:Rd(T)＝ [R1(T)，R2(T)，R3(T)］T，伺服系統(tǒng)實際位置可以根據(jù)時間t參數(shù)化為:P(t)＝[p1(t)，p2(t)，p3(t)］T，系統(tǒng)當(dāng)前的位置可以表示為P(mts)，ts為系統(tǒng)的采樣周期，m為時間步數(shù)。所以，當(dāng)前位置到參考輪廓的距離可以表示為:

令ξ(T)在參數(shù)取值為T?時得到最小值，因此輪廓誤差可表示為:

其中:Rd(T?)為輪廓誤差點，由以上定義得到的三軸運動平臺輪廓誤差如圖1所示。

定義目標(biāo)函數(shù)為:

其中，i表示牛頓算法的迭代數(shù)。

對目標(biāo)函數(shù)(5)進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到:

由于輪廓誤差ξ值非常小，并且曲線光滑，因此目標(biāo)函數(shù)二階微分可表示為

因此，式(7)可以表示為:

若出現(xiàn)如圖2所示的輪廓，目標(biāo)函數(shù)將會出現(xiàn)多個極值點，由于基于牛頓的輪廓誤差估計結(jié)果是局部的，可以使參數(shù)T是隨時間遞增的，這樣可以避免收斂到錯誤的點。

3 NNLARC控制器的設(shè)計

3.1 NNLARC中自適應(yīng)魯棒控制器

由于在三軸中采用相同的控制方法，所以只對x軸進(jìn)行分析，PMLSM在x軸的狀態(tài)空間方程可以表示為:

定義參數(shù)向量θ＝[θ1，θ2，θ3］T∈R3，其中θ1＝M，θ2＝B，θ3＝Af，通過參數(shù)線性化得到系統(tǒng)被控對象模型為:

首先作如下假設(shè)，系統(tǒng)中的不確定參數(shù)和擾動是有界的，并且邊界已知，即

其中:θmin＝[θ1min，…，θ3min］T，θmax＝[θ1max，…，θ4max］T和δd是已知的。

式中:τ為要合成的自適應(yīng)函數(shù)；Γ為正定對角矩陣；(·)為向量的投影算子，并且滿足

該映射具有如下的性質(zhì)

定義一個類似滑模面的變量為:

其中:e＝Rd-p為單軸輸出跟蹤誤差，k1為任意正的反饋增益。

將式(17)代入式(11)中可以得到:

式中:?T＝[-，-x2，-Sf(x2)］，式(14)中自適應(yīng)函數(shù)選為τ＝?S。將式(18)中控制量的輸入u設(shè)計為:

式中:ua為參數(shù)自適應(yīng)部分；us＝-ksS為線性反饋部分；un是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。將式(19)代入式(18)中可以得如下等式:

根據(jù)式(12)和式(13)中描述的不確定參數(shù)的有界性，存在un的最優(yōu)值u?，并且滿足以下條件，即:

式中:ζ1為任意小的正實數(shù)；un對參數(shù)自適應(yīng)誤差?T和擾動進(jìn)行補償。

3.2 NNLARC中RBFNN控制器設(shè)計

RBF具有萬能逼近特性，它能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)。故考慮采用RBF網(wǎng)絡(luò)對不確定項進(jìn)行自適應(yīng)逼近。

在 RBF 結(jié)構(gòu)中，X＝[Rd，］作為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量，hn(X)∈Rr為高斯徑向基函數(shù)，可以表示為:

式中:r為神經(jīng)元的個數(shù)；cn和bn分別為高斯函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

輸出信號為加權(quán)線性組合，即:

其中:wn表示在n個隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)作補償器，輸出信號用于逼近模型誤差和擾動d，所以式(21)可以重新表示為

假設(shè)ζ2為足夠小的實數(shù)，若在隱含層中有足夠多的神經(jīng)元，可以使ζ2的絕對值任意小，即:

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可以表示為:

其中:＝W?-表示W(wǎng)?的估計誤差，將式(27)代入式(21)可以得到:

其中:ζ為很小的值，表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模后殘留的建模誤差。為消除誤差un被重新設(shè)計為:

其中:zdtanh [(S·zd)/η］為簡單魯棒補償；zd為系統(tǒng)擾動上界函數(shù)，滿足是任意正實數(shù)。RBFNN在線權(quán)值向量更新律為:

其中，φ＝diag[φ1，φ2，…，φr］表示 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)率。

NNLARC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

4 位置環(huán)交叉耦合控制器設(shè)計

為了提高輪廓的加工精度，通過位置環(huán)交叉耦合控制方式將輪廓誤差直接對參考輸入進(jìn)行修改，因此在這種方式下，等效參考值可以看作參考輸入和輪廓誤差的組合。在位置環(huán)交叉耦合控制下，能有效減小輪廓誤差。 低通濾波器Q(s)＝ (2πfs)2/s2＋2ζ(2πfs)s＋(2πfs)2，ζ為阻尼比，fs為截止頻率，G(X)表示在各軸位置環(huán)的控制器，系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)如圖4所示。

5 仿真結(jié)果與分析

為驗證所提方法的有效性，采用日本 Yokogawa LM110系列直線電動機驅(qū)動三軸運動平臺進(jìn)行仿真研究。 電動機參數(shù)分別為Mx＝5.8 kg、My＝5.8 kg、Mz＝1.4 kg，Kfx＝Kfy＝10.979 N/A、Kfz＝0.852 N/A，Bx＝By＝244.3 N·s/m、Bz＝82 N·s/m，外部擾動用自適應(yīng)魯棒部分進(jìn)行估計，設(shè)初值為0。參數(shù)初始估計(0) ＝ [5.8，2.443，0.37，0］＝ [5.8，2.443，＝ [1.4，0.82，0.37，0］，參數(shù)邊界值設(shè)為θ1max＝θ2max＝[7，4，1.5，12］ 、θ3max＝[1.8，0.7，1.5，12］，θ1min＝θ2min＝ [4，1.5，0.2，0］、θ3min＝ [1.2，0.3，0.2，0］。

自適應(yīng)律參數(shù)選為Γ＝diag[10，10，10，1 000］，K1x＝3 000，K1y＝2 000，K1z＝3 000 線性反饋增益為Ksx＝1 500，Ksy＝800，Ksz＝1 200，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層個數(shù)為11個，即r＝11；對于RBFNN結(jié)構(gòu)參數(shù)通過如下方式獲得，使用K-means聚類方法獲得中心向量cn，并且其中dmax是所選中心中的最大歐幾里得距離，學(xué)習(xí)率選為500，牛頓算法迭代數(shù)i＝10，ζ為0.7，fs為25 Hz，Sf(x2)＝ (2/π)arctan(1 000x2)。 為便于比較，自適應(yīng)魯棒器采用相同參數(shù)。

為證明提出方法的有效性，系統(tǒng)對馬鞍形曲線進(jìn)行仿真，曲線在三軸分別表示為Rx＝0.2cos(2πT)，Ry＝0.3sin(2πT)，Rz＝0.05cos(4πT)。

可以得到如圖5所示參考軌跡與實際輸出軌跡圖。可以看到參考輸入與實際輸出軌跡基本重合，可以證明NNLARC控制的X軸、Y軸、Z軸具有較好的跟蹤能力。

為了驗證所提出方案的有效性，將所提出的方法與ARC控制器進(jìn)行比較、圖6、7、8為在位置環(huán)分別采用NNLARC控制器和ARC控制器時在單軸的跟蹤誤差曲線；為了驗證系統(tǒng)的抗干擾能力，在4 s時向各軸突加100 N的階躍擾動，并對4 s后單軸的跟蹤誤差進(jìn)行分析如表1所示。從表1可以知道出基于NNLARC控制器控制的PMLSM位置跟蹤誤差在突加擾動后，能使跟蹤誤差控制在±4 μm范圍內(nèi)，具有更好的跟蹤精度滿足伺服系統(tǒng)對高精度的要求。另外，從圖6～7，圖8可以看到，在系統(tǒng)突加擾動時，所設(shè)計NNLARC能使位置跟蹤誤差快速趨于零，具有較強的魯棒性。

表1 不同控制器跟蹤性能比較 μm

另外，在單軸均采用NNLARC控制方法，將基于動態(tài)輪廓誤差估計方法與傳統(tǒng)的基于直線輪廓誤差計算方法相比較，直線輪廓誤差計算的交叉耦合增益值取值為2，則可以得到如圖9所示的結(jié)果。采用傳統(tǒng)方法估計得到的最大輪廓誤差為8.360 7 μm，輪廓誤差均方根為1.953 8 μm，而本文采用的動態(tài)輪廓誤差估計得到的最大輪廓誤差為2.875 9 μm，輪廓誤差以得到傳統(tǒng)的矢量計算方法均方根為1.424 5 μm。仿真結(jié)果表明，采用的動態(tài)輪廓誤差估計法實現(xiàn)更精確輪廓誤差估計，實現(xiàn)更高精度的輪廓加工。

6 結(jié)語

針對三軸運動平臺系統(tǒng)中存在的外部擾動、摩擦力等因素影響，本文提出的NNLARC控制方法不僅能使單軸實現(xiàn)高精度的跟蹤，而且通過RBFNN部分能夠有效的對不確定擾動進(jìn)行補償，提高系統(tǒng)抗干擾的能力。為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的輪廓精確度，提出動態(tài)輪廓誤差估計方法，相比與傳統(tǒng)的靜態(tài)輪廓誤差估計方法，能實現(xiàn)更高精確的輪廓誤差估計，進(jìn)行空間模型高精度加工。通過仿真比較可以發(fā)現(xiàn)，提出的方法能有效提高三軸運動平臺的加工的精度，實現(xiàn)系統(tǒng)高精度加工。