電力系統經濟調度的正余弦優化算法的仿真研究

熊國江， 張 靖， 何 宇

(貴州大學 電氣工程學院, 貴陽 550025)

0 引 言

經濟調度(economic dispatch，ED)是指通過合理分配各臺發電機的發電功率，使總發電費用最小，從而達到節能降耗的目的，在此過程中需要滿足一定約束條件。在數學上，ED問題是一個典型的含多重復雜約束條件的非線性優化問題，而發電機閥點效應的引入進一步加劇了該問題的求解難度。為了有效求解ED問題，國內外學者提出了諸多求解方法，一類是傳統數學規劃方法。這類方法以梯度信息為基礎，具有嚴密的數學邏輯，但對初始點和梯度較為敏感，在求解多峰優化問題時容易陷入局部尋優。

現代智能優化方法作為計算機技術與人工智能技術不斷發展的產物，其興起為ED問題的求解提供了另外一種新途徑。智能優化算法在求解過程中摒棄了梯度信息的計算，從而對初始點的選擇不敏感，不依賴梯度信息，具有良好的全局搜索能力。目前已成功應用于ED問題中的智能優化算法包括:進化規劃算法(evolutionary programming, EP)[1],遺傳算法(genetic algorithm, GA)[2]，粒子群優化算法(particle swarm optimization, PSO)[3-8]，市場交易算法(exchange market algorithm, EMA)[9]，差分進化算法(differential evolution, ED)[10-12]，布谷鳥算法(cuckoo search, CS)[13]，人工蜜蜂群算法(artificial bee colony, ABC)[14-15]，螢火蟲算法(firefly algorithm, FA)[16]等。

根據“沒有免費的午餐”(no-free-lunch theorem)理論[17]，沒有任何一種優化方法能永遠保持最優。該理論也激勵研究者們不斷尋找更加高效的方法來求解ED問題，探討其他方法在該問題上的可行性和有效性，豐富ED問題的求解思路。正余弦優化算法(sine cosine algorithm, SCA)[18]是近年來提出的一種新的智能優化算法，采用正弦函數與余弦函數完成迭代運算，其設計遵循簡單、快速的原則，算法無需額外調節的參數，從而提高了應用的便利性。與GA、PSO等相比，SCA在多峰優化問題上表現出了較強的競爭力。基于上述背景，本文將SCA算法應用于求解ED問題，探討該求解方法的可行性和有效性。在Matlab軟件平臺[19-21]上，計及了閥點效應、爬坡率約束、運行禁區約束等實際情形，利用一種規避罰因子方法來處理ED問題的多重復雜約束條件，通過3個不同類型算例從不同角度驗證了SCA算法的優化性能。仿真實驗結果表明，與GA和PSO相比，SCA算法可以快速獲得更加穩定、經濟的調度方案。

1 ED數學模型

1.1 目標函數

ED是一個非線性優化問題，可描述為[22]：

(1)

式中：C為發電費用；N為并網發電機臺數；P=[P1,P2,…,PN]為發電機組出力向量；Pn為第n臺發電機的出力；Fn(Pn)為第n臺發電機的成本函數；gj(P)和hj(P)分別為不等式約束和等式約束。傳統上，Fn(Pn)可近似為如下二次函數[2-4]：

(2)

式中，an、bn、cn為成本系數。

火電機組在實際運行過程中存在閥點效應，該效應可表示為[3-4]：

(3)

閥點效應使目標函數存在很多極值點，極大地增加了ED問題的優化難度。

1.2 約束條件

供需平衡約束：

(4)

式中：Pdem為總負荷；Ploss為總網損。一般計算如下[2-4]：

(5)

式中，Bij、B0i、B00分別為常數系數。

發電機出力約束：

(6)

發電機爬坡率約束：

(7)

n=1,2,…,N

式(6)和式(7)可以統一為：

(8)

發電機運行禁區約束：發電機在實際運行過程中，受自身或某些輔機的影響，不能運行在某些區域內，否則可能會造成設備損壞。

(9)

2 SCA算法

SCA算法的設計遵循簡單、快速的原則，每個個體可表示為：

Xi=[xi,1,xi,2,…,xi,D]，i=1, 2, …, NP

NP為種群規模。SCA的迭代過程僅僅依據式(10)和式(11)所示的正弦函數與余弦函數實現：

(10)

(11)

式中，G=[g1,g2,…,gD]為最優個體；r1隨機分布于(0,1)范圍內，r2隨機分布于(0,2π)范圍內，r3隨機分布于(0,2)范圍內。

SCA在迭代過程中，采用一個(0,1)范圍內的隨機數r4來選擇式(10)或式(11)。SCA算法流程：

1. 初始化種群X=[X1,X2,…,XN]

2. 計算種群所有個體的目標函數值

3. 初始化迭代次數t=1

4. While終止判據未滿足do

5. 通過目標函數值確定最優個體G

6. fori=1 to NP do

7. ford=1 to D do

8. 生成隨機數r4

9. ifr4<0.5 do

10. 采用式(10)更新xi,d

11. else

12. 采用式(11)更新xi,d

13. end if

14. end for

15. end for

16. 計算所有更新個體的目標函數值

17.t=t+1

18. End while

3 SCA算法的ED求解流程

基于SCA算法的ED問題求解流程如圖1所示。首先輸入系統相關參數并初始化SCA，然后按照SCA的流程進行循環迭代，待達到終止條件后，結束SCA并輸出優化結果，從而獲取所有發電機的出力分配方案。值得說明的是，在計算每個個體的目標函數值之前，需要對其進行處理以滿足所有約束條件。本文采用文獻[23-24]中提出的規避罰因子方法來處理約束條件。

圖1 基于SCA算法的ED求解流程

4 Matlab的算例仿真

4.1 測試系統

采用3個系統來檢測SCA算法：

(1) 13機系統和40機系統[1]，均考慮發電機閥點效應；

(2) 15機系統[9]，考慮發電機爬坡率約束、運行禁區約束和系統網損。

4.2 仿真結果

為了測試SCA的優化性能，采用GA和PSO進行對比，各算法獨立執行50次。所有仿真均在Matlab R2010b中進行，硬件參數為3.70 GHz CPU，8 GB內存。對于所有算法，NP=100，最大迭代次數Tmax=100×D。3個算例的實驗結果列于表1～3中，平均成本對應的收斂曲線見圖2～4。

表1 13機系統仿真結果(算例1)

表2 15機系統仿真結果(算例2)

表3 40機系統仿真結果(算例3)

4.3 結果分析與比較

(1) 經濟性比較。算例2的目標函數是二次函數，運行禁區使其解空間呈現出多分段、非連續特性，但其解空間只有一個極值點，對求解方法的局部尋優能力要求較高。由表2可知，SCA在50次獨立重復實驗中，不管是最大成本、最小成本還是平均成本均最優，表明SCA的局部搜索能力較強。

圖2 算例1收斂曲線

圖3 算例2收斂曲線

圖4 算例3收斂曲線

算例1和3考慮了發電機閥點效應，解空間具有很多極值點，對求解方法的要求更高，特別是算例3，其維度更多，解空間更加復雜，不僅要求求解方法能實現局部精細搜索，而且還需要有足夠的擺脫局部極值點吸附的全局搜索能力。由表1和表3可知，SCA的優化結果均優于GA和PSO的優化結果，且在40機系統上的優勢更大，說明SCA可以有效跳出局部極值點，朝著更優的方向繼續搜索。

此外，與部分文獻的仿真結果比較，SCA也表現出了很強的競爭力。

(2) 快速性比較。雖然ED問題的首要目標是提高系統經濟性，節能降耗，但對求解方法的求解速度也有一定要求。由表1～3可知，SCA在3個算例上的求解耗時分別為6.39、20.12、56.61 s，求解速度最快，能滿足ED問題的求解需求，這也正是SCA遵循簡單、快速的設計原則的結果。

(3) 收斂性比較。由圖2～4可知，GA的收斂速度最慢；PSO雖然在前期的收斂速度較快，但后期明顯呈現停滯現象，特別是對于13機系統和40機系統，表明算法在進化后期陷入了局部搜索，產生早熟； SCA自始至終均保持較快的收斂速度，從另一個角度表明該算法能有效跨過局部極值點，具有較強的全局搜索能力。

(4) 魯棒性比較。標準差可以用于評價一個算法的魯棒性。由表1～3可知，SCA在3個算例上50次仿真結果的標準差分別為20.53、2.29、46.37，均小于其他方法，表明該算法的穩定性較好，即具有較強的魯棒性。

5 結 語

本文將SCA算法應用于求解ED問題，通過3個算例從經濟性、快速性、收斂性、魯棒性4個角度驗證了該方法的求解性能。仿真結果表明，與其他算法相比，SCA算法能有效兼顧局部搜索和全局搜索，表現出了較強的競爭力，可作為ED問題求解的一種有效方法。