非奇異終端滑模控制仿真實驗設計

趙海濱， 陸志國， 劉 沖， 于清文， 顏世玉

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

0 引 言

在普通的滑模變結構控制中[1-2]，選擇的線性滑模面使得系統(tǒng)軌跡在到達滑動模態(tài)后的運動是漸進穩(wěn)定的，狀態(tài)跟蹤誤差不能在有限時間內(nèi)收斂到零。為了獲得更好的控制性能，近年來一些學者提出了終端滑模(Terminal Sliding Mode, TSM)控制方法[3-4]，在滑動超平面中采用非線性函數(shù)，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂到零。終端滑模控制對模型誤差和外部干擾信號具有較好的魯棒性，能夠在有限時間內(nèi)收斂[5-6]，且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，廣泛用于高速、高精度控制系統(tǒng)。由于在系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡狀態(tài)時，終端滑模控制存在奇異問題，有些學者提出了非奇異終端滑模(Nonsingular Terminal Sliding Mode, NTSM)控制方法，并用于永磁同步電動機[7-8]和機器人[9-11]等的控制。

本文以二階非線性系統(tǒng)為研究對象，采用非奇異終端滑模控制器進行控制。在非奇異終端滑模控制器中，對普通指數(shù)趨近律進行改進，提出一種變速指數(shù)趨近律。為了抑制抖振現(xiàn)象，在控制器中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。采用Matlab/Simulink軟件建立了非奇異終端滑模控制仿真實驗系統(tǒng)，對提出的方法進行了驗證。該仿真實驗系統(tǒng)將理論和編程實現(xiàn)相結合，不僅有助于學生對基本理論的理解，而且讓學生了解滑模控制的實際應用。通過仿真過程，提高學生的編程能力和創(chuàng)新意識，并激發(fā)學生的學習興趣。

1 二階非線性不確定系統(tǒng)

對于二階不確定非線性系統(tǒng)

(1)

式中：x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(x)和g(x)為已知連續(xù)非線性函數(shù)，g(x)≠0；d(t)為外部干擾，且|d(t)|≤μ，μ>0；u為控制輸入。

傳統(tǒng)終端滑模的滑模面為：

(2)

式中：β>0；p和q為正奇數(shù)，p>q。采用以下指數(shù)趨近律：

(3)

傳統(tǒng)終端滑模控制器設計為：

(4)

式中，由于q/p-1<0，在x1=0，x2≠0時會有奇異問題。

2 非奇異終端滑模控制

為了克服傳統(tǒng)終端滑模控制存在的奇異問題，很多學者提出了非奇異終端滑模方法，能夠很好地解決奇異問題。非奇異終端滑模控制方法的滑模面為：

(5)

式中：β>0；p和q為正奇數(shù)，p>q且1

(6)

在式(3)的指數(shù)趨近律中，其中的參數(shù)k和ε為固定值，不具有自動調(diào)整功能。本文提出如下的變速指數(shù)趨近律：

(7)

采用變速指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器設計為：

(8)

為了削弱抖振，在控制器中采用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s)，飽和函數(shù)的表達式為：

(10)

式中：δ>0稱為邊界層。在邊界層之外采用切換控制，在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制。用飽和函數(shù)sat(s)代替sgn(s)后，采用普通指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器為：

(11)

用飽和函數(shù)sat(s)代替sgn(s)后，采用變速指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器為：

(12)

3 Matlab仿真實驗

Matlab/Simulink軟件具有強大的數(shù)學運算能力，并且對問題的描述和求解符合人們的思維習慣和數(shù)學表達習慣，已經(jīng)廣泛應用于動態(tài)系統(tǒng)仿真[12-14]。對于使用普通Simulink模塊不易搭建的復雜控制系統(tǒng)，可以利用Matlab語言編寫M-Function或S-Function文件，通過User-Defined Functions模塊嵌入到Simulink仿真環(huán)境中[15]。M-Function文件采用Matlab語言編寫，程序代碼比較短，且容易實現(xiàn)。因此本文采用M-Function實現(xiàn)非奇異終端滑模控制系統(tǒng)。

本文采用的二階非線性系統(tǒng)[16]為：

(13)

式中：f(x)=-16x2；g(x)=125；x=[x1,x2]T，外部干擾信號為d(t)=0.1sin(20t)。

在仿真過程中，采用變步長的ode45算法，最大步長為1 ms，仿真時間為12 s。利用Matlab/Simulink軟件建立的仿真實驗系統(tǒng)，如圖1所示。圖中，非線性系統(tǒng)1和2完全相同，都是根據(jù)式(13)建立的二階非線性系統(tǒng)模型。在圖1中，NTSM1模塊為采用普通的指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模控制器，NTSM2模塊為采用變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模控制器。積分模塊Integrator的初始值通過外部輸入確定。通過手動開關，對狀態(tài)變量的初始值進行選擇，x(0)=[0.1,0.1]T或x(0)=[30,30]T。仿真結果可以通過Scope模塊直接顯示，同時利用To Workspace模塊保存到工作空間中。

圖1 非奇異終端滑模控制仿真實驗系統(tǒng)

在所有的控制器中，參數(shù)選擇為：μ=0.1，β=1，p=5，q=3，k=1，ε=0.1。利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)時，邊界層通常取非常小的數(shù)，本文取δ=0.005。采用變指數(shù)趨近律時，非奇異終端滑模控制器中的參數(shù)c根據(jù)狀態(tài)變量的初始值進行選取。當狀態(tài)變量的初始值比較小時，選擇比較大的參數(shù)c；反之，選擇比較小的參數(shù)c。

3.1 實驗1

選取狀態(tài)變量的位置距離平衡點比較近。狀態(tài)變量的初始值為x(0)=[0.1,0.1]T。在圖1中，NTSM1模塊為采用普通的指數(shù)趨近律，采用式(11)對二階非線性系統(tǒng)進行控制。在圖1中，NTSM1模塊內(nèi)的程序如下：

function u1 = fcn(x2, x1)

fx=-16*x2; gx=125;

beta=1; p=5; q=3; mu=0.1; epsilon=0.1; k=1;

s=x1+1/beta*(abs(x2))^(p/q)*sign(x2);

t=beta*q/p*abs(x2)^(2-p/q)*sign(x2);

delta=0.005; d=abs(s/delta);

if d<=1

sat=s/delta;

else

sat=sign(s/delta);

end

u1=-(fx+t+(mu+epsilon)*sat+k*s)/gx;

在圖1中，NTSM2模塊為采用變速指數(shù)趨近律，采用式(12)對二階非線性系統(tǒng)進行控制。狀態(tài)變量的初始值比較小，因此參數(shù)c選擇比較大的值，本文取c=60。在圖1中，NTSM2模塊內(nèi)的程序如下：

function u2 = fcn(x2, x1)

fx=-16*x2; gx=125;

beta=1; p=5; q=3; mu=0.1; epsilon=0.1; k=1;

s=x1+1/beta*(abs(x2))^(p/q)*sign(x2);

t=beta*q/p*abs(x2)^(2-p/q)*sign(x2);

delta=0.005; d=abs(s/delta);

if d<=1

sat=s/delta;

else

sat=sign(s/delta);

end

c=60; m=c*(abs(x1)+abs(x2));

n=fx+t+mu*sat;

u2=-(n+epsilon*sat/(1+m)+(k+m)*s)/gx;

圖2 狀態(tài)初始值較小時x1的響應

圖3 狀態(tài)初始值較小時x2的響應

采用變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模控制器的收斂速度更快。

圖4 狀態(tài)初始值較小時的控制輸入

3.2 實驗2

非奇異終端滑模控制器能夠?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)變量的有限時間收斂，并能夠有效的避免奇異現(xiàn)象。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，使得控制輸入沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，并且比較平滑。

圖5 狀態(tài)初始值較大時x1的響應

圖6 狀態(tài)初始值較大時x2的響應

圖7 狀態(tài)初始值較大時的控制輸入

4 結 語

本實驗以二階非線性系統(tǒng)為研究對象，分別采用普通指數(shù)趨近律和變速指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模控制器進行控制。非奇異終端滑模控制器能夠有效的避免奇異現(xiàn)象，能夠?qū)崿F(xiàn)有限時間內(nèi)狀態(tài)變量的收斂。對普通的指數(shù)趨近律進行改進，采用變速指數(shù)趨近律時具有更快的收斂速度。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，能夠有效的抑制抖振現(xiàn)象。采用Matlab/Simulink軟件進行了控制系統(tǒng)仿真實驗，并對實驗結果進行了分析和討論。通過該仿真實驗有助于學生對非奇異終端滑模控制理論和應用的理解，讓學生了解滑模控制的編程實現(xiàn)。以該仿真實驗系統(tǒng)為平臺，學生還可以自己編寫程序進行仿真實驗，對控制方法進行驗證，從而激發(fā)學生的學習興趣，提高編程能力和創(chuàng)新意識。

學校要求教師在他的本職工作上成為一種藝術家。

——愛因斯坦