讓“思想”推動“思維”

錢 洋

在“平行四邊形”這一章節的學習中，涉及的數學思想方法很多，其中“轉化思想”“分類討論思想”“方程思想”“一般到特殊思想”等用得較多。為了讓同學們能輕松解決平行四邊形中的問題，下面老師將通過對同學們易錯的三個典型例題的剖析，讓同學們體會數學思想方法推動數學思維的功效。

一、“轉化思想”在平行四邊形中的運用

例1 如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6。AD是BC上的中線，則AD的取值范圍是（ ）。

A.6＜AD＜8 B.6≤AD≤8

C.1＜AD＜7 D.1≤AD≤7

圖1

圖2

許多同學選A，原因是膚淺地認為AD是介于AC長和AB長之間的一條線段。在涉及有關線段的取值范圍問題時，常常要聯想到三角形的三邊關系。由AD是中線，聯想到“倍長中線法”，如圖2，得到平行四邊形，轉化線段AB，將AB、AD、AC轉化到同一個三角形中求解。延長AD到E，使DE=AD，連接BE、CE，∵AD是BC上的中線，∴BD=DC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴EC=AB=8，∴8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7。

二、“分類討論思想”在平行四邊形中的運用

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C的坐標分別為A（0，4），B（-2，0），C（8，0），點E是BC的中點，點P為線段AD上的動點。若△BEP是以BE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為______________。

圖3

三、“方程思想”在平行四邊形中的運用

例3如圖5，?ABCD的周長是28，兩組對邊的距離分別為DE=3，DF=4，求這個平行四邊形的面積。

圖5

圖4

不少同學受已知圖形的影響，只考慮BP=BE的情形，原因是對等腰三角形問題缺少分類討論的意識。BE是等腰△BEP的腰，B、E兩點都可以作為等腰△BEP的頂角頂點。若B為等腰△BEP的頂角頂點，則BP=BE；若E為等腰△BEP的頂角頂點，則EP=EB。分兩種情況討論作答。如圖4，作EH⊥AD于H。由題意BE=5，OA=4，OE=3，當BP=BE=5時，P（1，4）；當EP=EB=5時，可得P2（0，4），P1（6，4），（HA=HP1=3）。綜上，滿足條件的點P坐標為（1，4）或（0，4）或（6，4）。

有同學對本題的解法找不到思路，無從下手，這是因為缺少分析問題的能力，不能充分挖掘題目中的條件。要求平行四邊形的面積，根據面積公式，兩條邊上的高都有了，只要求出平行四邊形的任一條邊即可。而條件中的周長28隱含了兩條鄰邊的和為14，只要設AB=x，則BC=14-x，利用“面積法”就可以建立方程。

由題意易得AB+BC=14，設AB=x，則BC=14-x。由平行四邊形的面積可得3AB=4BC。

∴3x=4（14-x），解得x=8。

∴S?ABCD=3×8=24。

【總結】數學的學習是以學習數學知識為載體，體會感受數學思想方法的過程，要將學習并運用數學方法解決問題貫穿數學學習的始終。同學們在平時的學習中要多體會、多思考，只有這樣，才能提高自己的思維能力。