開展數(shù)學(xué)寫作研究，促進(jìn)錯題深度訂正*

☉江蘇省南京市蓮花實驗學(xué)校 吉明華

利用數(shù)學(xué)寫作促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究得到很多一線教師的喜歡，不少數(shù)學(xué)期刊也經(jīng)常有類似的研究心得的文獻(xiàn)，研究者們關(guān)注的往往是數(shù)學(xué)寫作的類型（如數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)日記、數(shù)學(xué)周記、數(shù)學(xué)作文、數(shù)學(xué)反思小文章等），而對數(shù)學(xué)寫作的功能特點的探討泛泛而談偏多，缺少更為細(xì)化、更有針對性的功能特點的研究.本文先分享近期收集到的七年級學(xué)生數(shù)學(xué)寫作案例，并主題關(guān)注數(shù)學(xué)寫作如何促進(jìn)錯題深度訂正.

一、學(xué)生圍繞聽課筆記梳理而成的數(shù)學(xué)寫作案例與評析

案例1：《知其然，知其所以然》，七年級學(xué)生Z.

今天上課老師主要講評了單元測驗試卷，題目多數(shù)是老師以前就講過的，沒考好的原因主要集中在粗心上.

雖然下面這道題練過、講過多次，我還是錯了.反復(fù)思考，我覺得這道考題很有意思.

已知，a、b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡|a|-|a-b|＋2|a＋b|.

圖1

看著這一個個絕對值符號，我仿佛看到了不可跨越的長城.不過試卷上的長城，只要掌握技巧，便可輕松躍過，經(jīng)常在這種題目上跌倒的我立刻敲響警鐘，努力回憶老師講的解法步驟.

第一，“明敵軍主力”，判斷絕對值符號內(nèi)結(jié)果的正負(fù).

由圖可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，所以a＜0，a-b＜0，a＋b＜0.

第二，“哭長城”，去絕對值號.我們要拿出孟姜女的精神，讓長城不再那么堅固，同時我們要使用“留白藝術(shù)”，每個絕對值內(nèi)都是負(fù)數(shù)，那么先把絕對值改為小括號，再在前面添加負(fù)號，此時絕對值外所有部分都還未添加，“留白”是為了給它們空出位置，現(xiàn)在要將它們補(bǔ)上去了，再適當(dāng)添加中括號.

第三，“清理廢墟”，最后就剩下化簡了，運用去括號的規(guī)律，再合并同類項，便可得到答案

“長城之戰(zhàn)”，考生獲得勝利！

老師評析：Z同學(xué)這篇生動形象的“攻破長城”主要關(guān)注的是絕對值符號化簡問題，這是一類高頻問題、必考題型，不但有效考查絕對值的概念，又對添括號、去括號、合并同類項等技能有“綜合”要求.可以說，一份七上期中試卷往往因為這種題型的出現(xiàn)，就能“阻擋”相當(dāng)一部分學(xué)生向高目標(biāo)分挑戰(zhàn).

Z同學(xué)用“三部曲”化解難點，形象生動，這就是“明敵軍主力”：判斷絕對值符號內(nèi)字母或式的正負(fù)；“哭倒長城”：化去絕對值；“清理廢墟”：化簡結(jié)果.

只要能嚴(yán)格執(zhí)行她提出的這個“三部曲”，這類問題一般都能順利求解.我們看到的很多錯例中，在“三部曲”的每一步都有學(xué)生出錯，從而導(dǎo)致解題失敗，是值得學(xué)習(xí)者認(rèn)真體會的.

特別欣賞的是，關(guān)于去絕對值符號這一步驟的講解，小作者使用了不同顏色進(jìn)行書寫表達(dá)，并提醒“留白”漸次生成，這些不正是很多數(shù)學(xué)教育家們所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”嗎？

從數(shù)學(xué)求真的角度看絕對值符號如何向小括號轉(zhuǎn)化這一步驟，需要“回到概念”，認(rèn)真想清絕對值的定義、幾何意義，就知道化去絕對值符號后要成為“非負(fù)數(shù)”，這需要對絕對值符號內(nèi)的數(shù)、字母或式子的正負(fù)有精準(zhǔn)辨析，據(jù)此就溝通了第一步與第二步，“三部曲”也就渾然一體，不可分割.理解這點，就從簡單的“三部曲”能做對習(xí)題“知其然”層次，走上了深刻理解的“知其所以然”的境界了！

案例2：《學(xué)好數(shù)學(xué)要有“序”》，七年級學(xué)生T.

數(shù)學(xué)是一門奇妙的學(xué)科，說它容易卻有點兒難，說它難卻又很簡單、好懂.它有各式各樣的表達(dá)形式，只要我們學(xué)懂了概念，掌握了方法，就會覺得很輕松，很多問題其實是換湯不換藥.學(xué)好數(shù)學(xué)不能只掌握方法，還要有敏銳的洞察力、縝密的思維和細(xì)心的計算，例如，最近學(xué)習(xí)的整式的加減，我還是有一些化簡方面的錯誤，究其原因，主要是讀題太快，跳步太多，所以我要在這篇數(shù)學(xué)寫作中對一些化簡上的錯誤做一些反思.比如，認(rèn)真讀題后，不能無目的化簡，要做到“有序”思考，當(dāng)然還可以做上不同的記號，以便幫助我們正確進(jìn)行整式的化簡運算.

比如：a＋b＋c-b＋c.

如果直接合并，容易看漏、看錯，可以先做上標(biāo)記，如下：

=a＋（b-b）＋（c＋c）

=a＋2c.

有些時候，除了計算的“序”，還要注意數(shù)字或字母書寫上的規(guī)范，比如，有人容易把數(shù)字5寫成3，或者x與z的書寫字體不當(dāng)，還有些同學(xué)把字母b寫成數(shù)字6之類的.

當(dāng)然，還有一些策略，如數(shù)字與符號之間適當(dāng)空一點距離，不要寫得過分“密集”或者“密不透氣”.

1905年Schulthess依據(jù)脊柱X線冠狀面上側(cè)彎的部位及數(shù)目首先將特發(fā)性脊柱側(cè)凸分為5型：頸部和胸部彎、胸部彎、胸部和腰部彎、腰部彎和雙主彎[5]，隨后Lonstein等[6]和Winter等[7]將其分為7型：單胸彎、單胸腰彎、單腰彎、雙胸彎、胸彎和腰彎、胸彎和胸腰彎、3個或以上的多彎，以上的分型是根據(jù)側(cè)凸的在X線上直觀的形態(tài)，并未與臨床治療及手術(shù)融合進(jìn)行結(jié)合。

老師評析：T同學(xué)在《學(xué)好數(shù)學(xué)要有“序”》中，結(jié)合簡單的合并同類項講解了計算有“序”的步驟分解，值得一些喜好“跳步驟”的學(xué)生傾聽.此外，他還小結(jié)了很多非智力因素中的運算錯漏，如數(shù)字5的書寫不規(guī)范；對字母b與數(shù)字6辨識不清；字母x與z的書寫字體不當(dāng)出錯；對a＋b-c書寫字符間距的提醒，等等.以上都是課堂板演或老師講解時提到的一些究錯細(xì)節(jié)，足以說明T同學(xué)課堂捕捉力之細(xì)致，非常難得！

案例3：《解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)與全面》，學(xué)生L.

一眨眼，單元測試又到了，對于這次考試的錯題，我也有分析，做錯的題目為“對于任意有理數(shù)x，比較多項式4x2-5x＋2與3x2-5x-2的值的大小”.

讀完題目，我便知道，如果運用“作差法”便會輕易地求出結(jié)果.于是，便有了如下的過程：

解：（4x2-5x＋2）-（3x2-5x-2）

=4x2-5x＋2-3x2＋5x＋2

=x2＋4.

因為x2＋4＞0，所以4x2-5x＋2＞3x2-5x-2.

自認(rèn)為萬無一失的我卻在批改后的試卷上看到了扣掉的分?jǐn)?shù).于是滿心疑惑，便認(rèn)真地對照了老師的解答過程：

解：設(shè)4x2-5x＋2=A，3x2-5x-2=B.

A-B=（4x2-5x＋2）-（3x2-5x-2）

=4x2-5x＋2-3x2＋5x＋2

=x2＋4.

因為x2≥0，所以x2＋4＞0，所以4x2-5x＋2＞3x2-5x-2.

所以A＞B.

相比較后，我發(fā)現(xiàn)與老師的不同點只有2處，一是開頭的“設(shè)4x2-5x＋2=A，3x2-5x-2=B”，二是末尾“因為x2≥0，所以x2＋4＞0”，短短兩行，到底有多大的奧秘呢？

我思考起來.開頭的“設(shè)4x2-5x＋2=A，3x2-5x-2=B”,不僅可以使下面的“作差法”來得簡潔、工整，還可以直接明了地讓人理解過程的用意.而末尾的“因為x2≥0，所以x2＋4＞0”更能解釋為什么“x2＋4＞0”.這樣的過程相對來說更全面，更嚴(yán)謹(jǐn)，也更值得我們學(xué)習(xí).

因此，下一次我在做題時，不僅要講究思路和方法，還要寫好解題過程，盡可能做好我的“嚴(yán)謹(jǐn)與全面”.

老師評析：L同學(xué)的數(shù)學(xué)成績在班級中名列前茅，所以在批閱作業(yè)時對她的過程表達(dá)提出了很高的要求.從她這篇數(shù)學(xué)寫作來看，她對比老師的過程表示，“看”出了不同，“看”出了優(yōu)化的必要，非常有意義.事實上，對于平時的測評、反饋、閱卷來說，扣分并不是目的，而是通過評價促進(jìn)學(xué)生修補(bǔ)錯漏、改進(jìn)方法.教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，有相當(dāng)一部分學(xué)生并不能如L同學(xué)那樣仔細(xì)對比自己的解法與老師解法的不同，特別是辨別一些細(xì)微、細(xì)節(jié)上的表達(dá)差異，他們往往認(rèn)為“差不多”，結(jié)果好像都一樣，過程少一兩步就不寫了.這種“差不多”的認(rèn)識是要不得的，也是這類學(xué)生與優(yōu)秀學(xué)生不斷拉開距離的一些重要原因.

二、讓數(shù)學(xué)寫作促進(jìn)學(xué)生對錯題的深度訂正

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，整理錯題是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，但是如何整理錯題是一個大的難題，怎樣整理錯題才是有效的呢？我們的實踐表明：數(shù)學(xué)寫作是促進(jìn)學(xué)生深度訂正、整理錯題的一個有效途徑.

1.用數(shù)學(xué)寫作開展錯題訂正促進(jìn)學(xué)生深度究錯

究錯，不僅僅是糾錯，更要探究錯誤，從過程到結(jié)果，每一步都像是在下棋，一步出錯，滿盤皆輸.所以找到錯誤的原因才能實現(xiàn)“病從根本治”.通過數(shù)學(xué)寫作方式，引導(dǎo)學(xué)生找出錯誤，并跟進(jìn)思考當(dāng)時為什么錯，是哪一步想錯了，是概念不清楚，還是計算跳步驟，是否還有不同的解法……把這些逐項分析，就會得到更深刻的理解.有時還可以讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)寫作記錄對比老師的解題過程，把初始錯誤或不夠優(yōu)化的解題步驟也寫在旁邊，通過對比發(fā)現(xiàn)自己解題的欠缺，學(xué)會提煉其中精華，防止下次遇到類似問題時再出差錯.

2.批閱數(shù)學(xué)寫作可反饋學(xué)生對錯題的理解深度.

教師批閱學(xué)生數(shù)學(xué)寫作時，可以反饋學(xué)生對錯題的理解深度，也常常能看出學(xué)生分析錯題進(jìn)程中“火熱的思考”，有利于進(jìn)一步精準(zhǔn)診評學(xué)生對錯題是否真正弄懂、達(dá)到深刻理解的程度.華東師大終身教授鐘啟泉先生倡導(dǎo)“對話教學(xué)”，不僅是課堂上的對話（“課上對話”）與互動，筆者認(rèn)為，開展數(shù)學(xué)寫作研究也是對話教學(xué)的一種“課下對話”.具體地說，以上文提供的學(xué)生數(shù)學(xué)寫作為例，我們在批閱之后都及時給出了評析（有時也是賞析），這就是一種積極的師生對話方式，既肯定學(xué)生對錯題的理解角度與深度，又對其進(jìn)行激勵、表揚，達(dá)到了鞏固知識、訓(xùn)練技能、提振學(xué)習(xí)信心和激發(fā)興趣的多重功能.

三、寫在后面

最近幾年來，筆者一直開展學(xué)生數(shù)學(xué)寫作實踐研究，拍照、掃描收集存檔了大量學(xué)生數(shù)學(xué)寫作，多數(shù)常態(tài)化的學(xué)生數(shù)學(xué)寫作作品雖然達(dá)不到直接發(fā)表的標(biāo)準(zhǔn)，但是常常查閱會為學(xué)生數(shù)學(xué)寫作中偶爾有一兩句精彩的觀點而高興，并且會在后續(xù)教學(xué)中向?qū)W生推廣這些精彩的反思觀點或深刻的解題經(jīng)驗，每每此時，那些被提及（引用）的學(xué)生就會非常興奮，覺得自己在數(shù)學(xué)寫作中某些觀點被老師引用，坐姿更加端正，聽課更加專注，課后有時又能提交一篇“文以載道”的優(yōu)秀寫作.這事實上也激勵著我們持續(xù)開展這項“非功利”（看似與應(yīng)試提分無直接聯(lián)系）的實踐研究，也期待有更多同行能充分利用數(shù)學(xué)寫作這種學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).