概念圖在初中數學復習教學中的應用*
——以蘇科版“第7章 平面圖形的認識（二）”為例

☉江蘇省運河中學 袁 健

由約瑟夫·D·諾瓦克于20世紀70年代，在康奈爾大學發展出概念圖繪制技巧.當時，諾瓦克將這種技巧應用在科學教學上，作為一種增進理解的教學技術.“概念圖”是一種知識及知識之間關系的網絡圖形化表征，也是思維可視化的表征.

現代認知心理學認為，長時記憶中的信息不能提取或提取失敗的原因是失去了有助于回憶的編碼線索，或者在儲存時沒有適當編碼.使用概念圖組織教學能幫助學生建構相關知識，并對知識進行編碼工作，提高學生對知識進行有效提取和應用知識的能力.本文主要以蘇科版“第7章 平面圖形的認識（二）”為例，從全章知識、基本圖形、數學思想三個方面表述概念圖在初中數學復習教學中的應用.

一、構建全章知識的概念圖

圖1

將制作好的全章知識概念圖（如圖1），分發給每個學習小組.要求每組學生將方框內小寫字母代表的內容填充.學習小組經過討論后，由小組代表交流結果.如果有疑問，再通過小組之間的討論及教師總結，得出最終的正確答案.（a：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，b：三角形的中線、角平分線、高線，c：180度，d：360度，e：（n-2）·180°，f：360°）

數學家康托爾曾經說過：“在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.”上述學習過程中，學生只是對平面圖形的認識（二）有一個框架性的理解.為了讓學生進一步掌握與平行線相關的知識、定理，需要提出以下問題討論：①你能識別同位角、內錯角、同旁內角嗎？能畫出圖形進一步說明它們分別是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的嗎？②平行線的性質定理有哪些？平行線的判定定理有哪些？它們是什么關系？學生通過回答這兩個問題回顧同位角、內錯角、同旁內角產生的前提，同時理解只有兩截線平行時，同位角、內錯角才相等，同旁內角才互補.理解平行線的判定定理與性質定理的互逆關系.③圖形平移的定義是什么？它的基本性質是什么？利用平移的性質進行作圖的步驟是什么？④三角形的三邊關系式還可以理解為什么內容？引導學生通過不等式的變形感受三角形的任意兩邊之差小于第三邊.⑤三角形的角平分線、中位、高線有哪些功能？你認為針對這三種線能出什么樣的題目？從而引導學生看到角平分線的條件想到角度計算與證明角相等問題，看到中線的條件想到計算線段長度、三角形面積等問題，看到高線想到三角形的面積計算及角度計算問題.⑥三角形的內角和為180°、外角和為360°是怎樣證明的？⑦多邊形的內角和為（n-2）·180°、外角和為360°是怎樣證明的？學生可以由合情推理到演繹推理證明三角形和多邊形的內角和與外角和，進而重點引導學生回顧演繹推理的證明過程.（答案略）學生把所學的知識通過概念圖“學進去”了，然后小組交流階段又“講出來”了，整體上把握了全章的知識模塊和結構.

二、構建基本圖形的概念圖

史寧中教授指出，幾何教學應注重原型啟發.為了能讓學生在形上更深刻地理解圖形，筆者引導學生從本章的基本圖形入手建構概念圖.將制作好的卡片（圖2）分發給每個學習小組.要求先標出三條線的名稱，再說出∠1與∠2在每個圖形中是哪兩條直線被哪條直線所截形成的什么角.從識別同位角、內錯角、同旁內角引出F、Z（或N）、C（或U）型基本圖形及變式圖形.為了一圖多解，用該圖還可以引出平行線的性質定理與判定定理的符號表達，小組內可以討論交流，接著由小組代表展示交流.

類似地，從應用平行線的性質和判定引出M型等基本圖形，求出一些角的關系.下發卡片，如圖3第1題，請你求出∠ABC、∠BCD、∠CDE這三個角之間的等量關系式，并寫出理由；如圖3第2題，從學習三角形的角平分線引出兩內角（一內角、一外角或兩外角）角平分線相交的角與第三個角的關系的基本圖形，請你求出∠A與∠BDC之間的等量關系式，并說明理由.從借助三角形內角和為180度引出“8型”基本圖形，并求出相關角存在的等量關系式；等等.活動安排，均為先小組討論，再小組代表發言，教師給予指導.

圖2

幾何部分有三種語言：文字語言、符號語言、圖形語言.筆者鼓勵學生在交流基本圖形時，讓學生充分感受圖形及其變式圖形之間的關系，結合圖形語言用符號語言把一些線段、角的數量關系等表示出來，更容易形象記憶，這也符合初一學生以形象思維為主的認知規律.利用概念圖形象地回顧基本圖形、題型及變式圖形、題型來，讓學生更自信地面對解題，提升學習能力，可謂事半功倍.

三、構建數學思想的概念圖

圖4

在復習時，筆者引導學生在知識生成過程中感悟數學思想，讓思維可視化，形成數學思想概念圖.初一階段常使用的數學思想有：數形結合思想、轉化思想、類比思想、歸納思想、推理、分類討論思想等.如本章知識十分注重合情推理、演繹推理相結合，進而體現了數學的嚴謹性.如圖4，以推理思想為例，筆者引導學生構建平行線判定定理和性質定理的推理思想概念圖（文字語言方面）.通過操作活動合情推理得到一個基本事實“同位角相等，兩直線平行”，然后通過演繹推理證明得到“內錯角相等，兩直線平行”“同旁內角互補，兩直線平行”.接著證明它們的逆定理成立.貫穿這幾節課，讓學生感悟平行線判定定理的生成過程，同時感受合情推理和演繹推理的密切關系.由角的數量關系說明直線的位置關系或由直線的位置關系說明角的數量關系，滲透了數形結合和轉化的數學思想.數學家高斯認為，數學中一些美麗定理有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明隱藏得極深.筆者在教學中要求能力較強的學生將上述5個定理用圖形和符號語言推理證明.與先前構建的概念圖不同的是，由于不同的小組、不同的學生對知識的理解、領悟能力各不相同，再加上提出了符號推理證明的要求，此處概念圖的完成速度差異比較大.有些小組構建的不完整，有些小組的概念圖不僅能整理出它們的內在關系，還能把每個定理的證明過程用符號推理表達出來、講出來.因此，此處的概念圖可以采用先組內合作再組間合作的學習方式.交流一段時間后，小組派代表進行班級匯報交流，教師點撥、評價.小組合作學習可以平衡不同學生之間的基礎差異，培養學生的合作意識、表達能力.

圖3

在學習多邊形內角和定理的推導過程時，筆者在理解教材的基礎上引導學生用轉化的思想將一個四邊形、五邊形、六邊形、…、n邊形分割成三角形，進而歸納出n邊形的內角和公式為（n-2）·180°，在這個過程中，學生還充分感受了由特殊到一般的歸納的數學思想.通過這章內容的學習，讓學生充分感受從數學思想的角度總結知識，提升學生的思維深度，進而為今后更好地學習數學打下基礎.

新授課之后，一些概念在學生的頭腦中是零散的、不系統的，概念之間的聯系也相對貧乏，整合不夠.因此在復習教學時要充分應用概念圖，將知識、圖形、思想、思維可視化的同時，對所學知識進行梳理、拓展、提升.在學習過程中，獨立學習與小組合作學習相結合，構建、分析和修改概念圖，使學生的學習主體地位得到落實，思維能力、認知能力、學習能力得到提高，啟發引導學生學會學習，培養學生的核心素養.F