“單位圓”引出新知：銳角三角函數同課異構

☉江蘇省無錫江陰實驗中學 孟協軍

近讀《中學數學》（下），發現連續兩期刊登初中“銳角三角函數”起始課的教學設計（見參考文獻［1］、［2］），兩位老師的教學設計都體現了“用教材教”（鐘啟泉語），重視了數學現實引入新課，“讓數學課講數學”（單語）等教學理念，對一線教學有著較好的示范引領作用.受到他們的啟發，筆者也基于個人研發課例的興趣，聯系高中階段對三角函數的學習理解，基于“單位圓”研發一節初中階段“銳角三角函數”起始課例，同課異構，供研討.

一、銳角三角函數起始課教學設計

教學環節（一） 數學現實，引出新知

創設情境：黑板上畫出一個平面直角坐標系，并以原點為圓心，單位1為半徑，作出一個圓（因為本課例中會反復提及，不妨稱這樣的圓為“單位圓”），設該圓與x軸的正半軸交于點A.引導學生把目光聚焦在第一象限，在圓上取一點B（x，y），連接OB，得到∠BOA，設∠BOA=α，安排學生分組研究當α取定一些特殊的銳角時，B點的坐標能隨之確定.

圖1

圖2

教學預設：學生會取α的一些特殊銳角如30°、45°、60°，進而研究出相應的點B的坐標.教師引導學生走向一般，預設如下追問：

追問1：當α取定任意銳角時，點B的坐標能否確定？（學生應該可以猜想出能被唯一確定）

追問2：回顧函數的概念，當α取定一個銳角時，相應的B點的橫、縱坐標都會隨之唯一確定，它們之間具有函數關系嗎？（學生應該可以確認y與α具有函數關系，x與α具有函數關系）

追問3：如圖2，在射線OA上任取一點D（x2，y2），繼續研究x2、y2與銳角α是否具有函數關系.（仍然具有函數關系，與之前問題是一樣的，只是“一般化”的過程，可以看成是單位圓的放大，如圖3，也可以引導學生從相似三角形的角度理解它們的一致性）

圖3

教師講授：由于這種函數關系不同于之前所學的一次函數、二次函數、反比例函數，這些函數能用一些代數式表示，所以歷史上數學家們給了它們一些專門的記號，讓我們把圖形簡化為直角三角形，給出定義（板書如下）：

圖4

說明：板書定義時，最后補出“銳角”兩字，并強調初中階段只研究銳角的情況，以后還會拓展研究范圍更大的角度的三角函數問題.

教學環節（二） 理解新知，初步運用

對照銳角三角函數定義，安排學生計算30°、45°、60°的三角函數值，列表梳理出來.由一個小組派學生代表到黑板上書寫，如下：

表1

進一步研究：既然是函數關系，需要研究函數的自變量與函數值的關系，如增減性，同角三角函數之間的關系等.學生先分組交流，然后大組匯報.

預設成果：在銳角范圍內，正弦函數sinα的值隨著自變量α的增大而增大；余弦函數cosα的值隨著自變量α的增大而減小；正切函數tanα的值隨著自變量α的增大而增大.還有互為余角的兩角的函數值之間的關系，如sin30°=cos60°，sin45°=cos45°.如果教學時間充分，還引導學生“走向一般”嘗試證明sinα=cos（90°-α）.

教學環節（三） 引導探究，走向一般

例1計算：sin230°+cos260°.

變式計算：sin245°+cos245°.

猜想驗證sin2α+cos2α的計算結果.

教學組織：學生容易計算出前兩問的值，但是“走向一般”的證明有一定的挑戰，需要“回到定義”，基于直角三角形、結合勾股定理演算證明.

學生證明之后，回到開課階段的問題情境，如圖5，基于“單位圓”的基本圖形，可以發現點B的坐標（x，y）也就對應著（cosα，sinα）.在圖5中，結合勾股定理容易看出sin2α+cos2α=12=1.

學生理解之后，還可進一步“一般化”，將圓的半徑“單位1”變式為參數r，引導學生驗證確認：sin2α+cos2α=r2.

圖5

圖6

教學環節（四） 課堂小結，反饋檢測

小結問題1：結合“單位圓”基本圖形說說你對本課所學的三種銳角三角函數的理解；

小結問題2：本課學習了哪幾個特殊銳角的三角函數值？你是怎樣理解或快速記憶那個特殊銳角三角函數值表格中的數值的？

小結問題3：銳角三角函數需要在直角三角形中進行分析與思考，與直角三角形的各邊大小有關系嗎？舉例說說.

反饋檢測題：

題1：在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（1，2），畫圖分析∠AOx的正弦函數值、余弦函數值、正切函數值.

題2：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°，利用銳角三角形函數的新知，求證：AB=2BC.

題3：在三角形ABC中，AB=10，BC=6，AC=8.分別求sinA、cosA、tanA的值.

題4：結合銳角三角函數定義證明：sin41°=cos49°.

二、教學立意的進一步闡釋

1.核心概念的起始課值得深入研討

我們知道數學中有很多核心概念，代數中如數的運算法則、運算通性，方程，函數等，都是核心概念，可以發現，核心概念常常是指那些具有寬廣發展前景的數學概念.本課例中關注的三角函數的概念就屬于這類核心概念，它有著十分寬廣的發展前景，只是在初中階段剛剛涉及很少的部分.就目前所見的版本的初中教材，多是從生活現實出發，為了解決某些直角三角形的生活應用問題，而引入正切函數，進一步引出正弦函數、余弦函數，這種基于生活現實引入新知的方式也是可以的，體現了數學來源于生活.但是對于三角函數這樣的核心概念，不只是在生活中有廣泛應用，它更是一個邏輯連貫、前后一致的知識模塊，也可以從后續（主要是高中階段）三角函數概念教學需要出發，基于數學現實（如本文關注的“單位圓”）引出新的概念，這樣學生到高中續學三角函數時，就可進一步放開角度的研究范圍，拓展開去，走向一般.在這個意義上說，作為核心概念的三角函數起始課值得反復研討、深入研討，而不是簡單停留在“教教材”層面上.

2.加強不同教學環節的“前呼后應”

在上文課例中，我們選定了“單位圓”作為數學現實引出新知后，在不同教學環節都圍繞著“單位圓”開展教學，將其作為一個重要的問題背景（或平臺），做到了互相關聯、前后呼應，當然這也是踐行所謂“問題驅動”式的教學設計與課例研究.這里不妨對“問題驅動”式教學設計做出進一步解讀，我們所指的問題是指少而精，富于生長，前景廣闊的問題情境，而不是那種“一題接一題”的習題式推進，讓一個主干問題能引發、生長、變式、拓展到很多問題串，而且問題串之間互相聯系、層層遞進，這樣就是品質較高的問題驅動，而不是“習題單式”的題海戰術.

3.重視教學追問與學情反饋的設計

在課例的框架或主干問題確定之后，需要預設各個主干問題之下的教學追問，而不是簡單的即興追問（踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里），精心預設的系列追問形成問題串，對所學新知起到有效鞏固、反復強化的教學功能.當前我們看到一些導學案之所以習題量偏大，淪落為習題單式的習題教學，原因就是對有些主干問題的認識不夠，沒有充分抓住核心習題、經典習題進行系列變式，預設問題串，又要顧及增加所謂課堂訓練容量，從而就大量選題，對不同習題之間的關聯度、一致性缺少深度構思，這是讓人遺憾的.就本課例最后提供的幾道原創學情反饋題，也可順便解讀一下設計意圖，作為新授課的必要學情反饋，需要關注學生對新概念的理解是否深刻，是否掌握了“回到概念去解題”的思維方法，都可以通過這幾道小題得到反饋.

三、寫在后面

經典課例的同課異構、反復研討能加深我們對核心概念的理解角度與深度.正是基于 以上認知，我們基于“單位圓”的數學現實，提供了銳角三角函數的起始課教學設計.因為該課例開放度大，對教師課堂駕馭要求高，也許對初任教師并不具有推廣性，期待有豐富的駕馭課堂經驗的教師上課實踐，并跟進打磨，不斷豐富該課例的教研資源.