把握知識脈絡，滲透數學思想
——“圖形的相似”一課的教學設計與評析

☉湖北省通山縣教育局教研室 袁觀六

☉湖北省通山縣實驗中學 劉 林

最近，在湖北省2018年國培項目縣省級專家巡回講學活動中，我縣實驗中學劉林老師的一節展示課“圖形的相似”，獲得了聽課教師與講學專家的一致好評.筆者有幸經歷了該課的設計指導，現將其教學設計及評析呈現出來，不當之處，敬請批評指正.

一、教學設計

（一）教學背景分析

本節課是人教版教材九年級下冊第二十七章“相似”第1課時的內容，是全等圖形的拓展和延伸.

“圖形的相似”是在八年級對全等研究的基礎上，借鑒全等形研究的基本套路進行研究的.它主要研究圖形形狀之間的關系，它與全等是一般與特殊的關系.相似在生活中隨處可見，相似圖形的性質在實際中有著廣泛的應用.教材從現實世界中形狀相同的物體談起，然后把形狀相同的圖形定義為相似圖形，舉例說明了放大和縮小這兩種操作與相似圖形之間的關系，接著給出了特殊的相似圖形——相似多邊形的定義，由相似多邊形的定義直接推出相似多邊形的性質，為后續學習相似三角形奠定了堅實的基礎.

“圖形的相似”這節概念課蘊含了豐富的數學思想.從全等到相似，體現了從特殊到一般的數學思想；從相似圖形到相似多邊形，體現了從一般到特殊的數學思想；從相似圖形的定義到相似多邊形的定義，體現了數形結合的數學思想；相似圖形定義的得出，體現了從具體到抽象的數學思想.準確把握本節課的教學脈絡，適時滲透這些數學思想，無疑把數學學科核心素養落到了實處.

學情分析：九年級學生已具備了一定的抽象概括能力，從具體實例中得出相似圖形的定義不難，理解放大和縮小這兩種操作與相似圖形之間的關系也不難，但對于教材為什么要直接給出相似多邊形的定義會感到突然，對“對應邊成比例”的理解需要教師的引導，其中蘊含的豐富的數學思想，更需要教師適時滲透、點撥.

（二）教學目標及重、難點

1.教學目標

（1）通過具體的實例認識圖形的相似；

（2）了解相似多邊形和相似比的含義，從中得出相似多邊形的性質和判定方法，并能進行簡單的運用；

（3）在探索相似圖形和相似多邊形的過程中，感受探索的樂趣，滲透從特殊到一般、從一般到特殊及數形結合的數學思想.

2.教學重點

相似圖形與相似多邊形的概念.

3.教學難點

相似多邊形的性質及應用.

（三）教學過程

引言：在八年級，我們學習了圖形的全等，這節課，我們一起研究圖形的相似.

板書課題：27.1圖形的相似.

1.觀察與思考

問題1：下面每組圖形有什么共同點？

圖1

師生活動：學生交流想法，第（1）組和第（2）組圖形形狀、大小相同，第（3）組和你（4）組圖形形狀相同，教師適時揭示相似圖形的概念.

設計意圖：讓學生在觀察中感受全等圖形與相似圖形的特征，從而得出相似圖形的定義.

問題2：你能舉出一些相似圖形的例子嗎？

師生活動：學生列舉生活中相似圖形的例子，教師適時小結，生活中相似圖形隨處可見，如汽車和它的模型，大小不同的足球，不同尺寸的照片，不同字號的相同文字等.

設計意圖：讓學生感受生活中相似圖形的例子隨處可見，加深對相似圖形概念的理解.

追問：全等圖形與相似圖形有什么關系？

師生活動：學生指出，全等圖形是特殊的相似圖形.教師適時小結，從全等圖形到相似圖形，體現了從特殊到一般的數學思想.

設計意圖：讓學生明確全等圖形與相似圖形的關系，滲透從特殊到一般的數學思想.

2.思考與探索

問題3：怎樣得到一個圖形的相似圖形？

圖2

師生活動：學生小組討論，得出把一個圖形放大或縮小可以得到它的相似圖形.如果學生不能得出正確的結論，教師可啟發學生思考怎樣得到不同尺寸的照片.在學生得出結論的基礎上，教師用課件進行放大或縮小的動態演示，加深學生的理解.

設計意圖：讓學生在獨立思考的基礎上進行小組討論，明確兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到，讓學生體會到兩個相似圖形存在一定的比例關系.

問題4：圖3是一個女孩從平面鏡及哈哈鏡里看到的自己的形象，這些鏡子中的形象相似嗎？

圖3

師生活動：學生獨立完成.

設計意圖：鞏固相似圖形的概念，讓學生牢牢抓住相似圖形形狀相同的本質特征.

3.新知鞏固

（1）如圖4，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？

（2）如圖5，圖形（1）至（6）中，哪些與圖6或圖7相似？

圖4

圖5

圖6

圖7

師生活動：學生獨立完成.

4.觀察與思考

問題5：如圖8，四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD相似嗎？

圖8

師生活動：大多數學生可能通過觀察得到這兩個四邊形形狀相同，因此這兩個四邊形相似.此時，教師用課件動態演示進行驗證，把四邊形ABCD按一定比例放大后，發現不能與四邊形A′B′C′D′完全重合，從而得出這兩個四邊形不相似的結論.

設計意圖：利用兩個四邊形看似相似實則不相似的視覺與實際結果的反差，讓學生體會到從形的角度來判斷兩個多邊形是否相似，眼睛有時會欺騙自己，判斷起來并不方便，從而引起學生的思考，試圖從其他的角度判定兩個多邊形的相似，為自然引出相似多邊形的定義作鋪墊.

5.明晰多邊形的定義

在問題5討論的基礎上，教師適時給出相似多邊形的定義：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫作相似多邊形.

問題6：多邊形的定義中有哪幾個關鍵詞？

師生活動：學生找出關鍵詞“邊數相同”“角分別相等”“邊成比例”.

追問1：邊成比例是什么意思？

師生活動：學生先獨立思考，然后小組討論，最后全班交流.讓學生明確邊成比例是指兩個多邊形相應的邊的比相等.教師適時指出，對應邊的比叫作相似多邊形的相似比.

設計意圖：通過找出關鍵詞，讓學生抓住相似多邊形的本質特征，加深對相似多邊形定義的理解.

追問2：相似圖形的定義是從形的角度來定義的，那么相似多邊形的定義是從什么角度來定義的？

師生活動：學生獨立思考.

設計意圖：通過追問，讓學生明確相似多邊形的定義是從數的角度來定義的，滲透數形結合的數學思想.

問題7：根據相似多邊形的定義，怎樣判定兩個多邊形相似？

師生活動：學生思考得出，如果兩個多邊形的邊數相同，角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形相似.

追問：以四邊形為例，怎樣將文字語言轉換為符合語言？

師生活動：學生獨立將文字語言轉換為符合語言，對于不規范的地方，教師引導學生糾正.

設計意圖：通過思考、追問，讓學生明確相似多邊形的判定方法，進一步掌握把文字語言轉換為符合語言的方法，培養學生的邏輯推理能力.

6.判斷與辨析

問題8：兩個大小不同的正方形相似嗎？為什么？兩個大小不同的菱形、矩形呢？

師生活動：學生分組討論，全班交流.

設計意圖：鞏固相似多邊形的判定方法，培養學生的思辨能力.

7.明確相似多邊形的性質

問題9：由相似多邊形的定義，你能得出相似多邊形的性質嗎？

師生活動：學生得出相似多邊形的性質.

8.鞏固應用

例如圖9，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的長度x.

圖9

師生活動：學生獨立完成，教師指明板演，集體訂正.

設計意圖：鞏固相似多邊形的性質，培養學生正確、規范的解題格式.

練習：

題1：如圖10所示的兩個三角形相似嗎？為什么？

圖10

題2：如圖11所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度.

圖11

設計意圖：鞏固相似多邊形的判定方法和相似多邊形的性質，培養學生解決實際問題的能力.

9.課堂小結

（1）什么叫相似圖形？什么叫相似多邊形？相似多邊形有什么性質？

（2）本節課學習了哪些數學思想？

（3）類比“全等三角形”一章研究的主要內容，本章接下來要研究什么內容？

設計意圖：整體構建圖形的相似的知識結構，從探究過程和思想方法的角度提升對本節課的認識.類比“全等三角形”一章研究的主要內容，理清本章研究的知識脈絡，加強知識間的聯系.

10.布置作業

教材習題27.1第1，3，5題.

附全課的板書設計：

二、設計評析

本節課的教學設計，目標明確，條理清楚，過程流暢，邏輯性強.教者從學生已有的知識和經驗出發，以問題為導向，牢牢把握知識脈絡，適時滲透數學思想，較好地促進了學生數學直觀、數學抽象、邏輯推理等素養的提升，取得了良好的教學效果.

1.注重知識的自然生成

讓知識自然生成可以有效地促進學生的知識和思維相互促進、同步發展.本節課從觀察每組圖形的共同特點來展開教學，讓學生在觀察中感悟全等圖形和相似圖形的聯系與區別，順理成章地得出相似圖形的概念，并通過列舉生活中相似圖形的實例，感受相似圖形在日常生活中普遍存在，加深對相似圖形概念的進一步理解.在此基礎上，適時提出：怎樣得到一個圖形的相似圖形呢？借助學生已有的生活經驗，如：看電影，照不同尺寸的照片等，很容易得出把一個圖形放大或縮小就可以得到它的相似圖形.相似圖形既包含立體圖形，又包含平面圖形，但在初中數學中，我們只研究特殊的相似圖形——相似多邊形.通過教師的語言描述，很自然地指出了相似圖形研究的主要內容，進而引出相似多邊形的概念和性質.整個教學環節，環環相扣，自然延伸.通過對話、溝通和合作活動，產生交互影響，以動態生成的方式推進教學活動的進程，符合學生的認知規律和知識的內在邏輯性，牢牢把握了知識的脈絡.

2.注重數學思想的適時滲透

數學課程目標從“雙基”發展到“四基”，體現了數學育人的新要求.而數學思想的領悟是學生學習數學的精髓、靈魂，是落實數學學科核心素養的具體體現.本節課的教學，教者善于挖掘教材中隱含的數學思想，適時滲透在學生學習的過程中，并通過精心設計的板書凸顯出來，起到了潤物細無聲的效果.從全等到相似，讓學生領悟到了從特殊到一般的數學思想；從相似圖形到相似多邊形，讓學生領悟到了從一般到特殊的數學思想；從相似圖形的定義到相似多邊形的定義，讓學生體會到了數形結合的思想.本節課中，學生經歷了從具體到抽象、從一般到特殊、從形到數的思維過程，學生的思維品質得到了鍛煉，數學學科核心素養得到了提升.

3.注重教學手段的有機結合

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“合理地應用現代信息技術，注重信息技術與課程內容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益.”同時指出：“現代信息技術的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現原有的教學手段難以達到甚至達不到的效果.在應用現代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計.”本節課中，教者實現了現代信息技術與傳統教學手段的完美結合.比如，教者用課件動態演示把一個圖形放大或縮小得到它的相似圖形的過程，非常直觀.全課提綱挈領的適時板書，有利于學生對知識及其形成過程的進一步理解和掌握.兩種教學手段相互補充，相得益彰.

這節課還有值得商榷之處，對于相似多邊形的定義，教材和教者都是直接給出的，由于學生沒有一定的感知，難免會產生這樣的疑問：這樣定義能保證這兩個多邊形的形狀相同嗎？教學時，在相似圖形定義的大背景下，讓學生根據相似圖形的定義，聯系把一個圖形放大或縮小可以得到它的相似圖形這一基本事實，利用幾何畫板的特定功能，引導學生猜測并探索出相似多邊形的性質，再由性質給出相似多邊形的定義，這樣處理是否更符合學生的認知水平呢？