培養初中生數學學科核心素養的教學實踐與思考
——以“反比例函數”教學設計為例

☉湖北省武漢市鋼花中學 姚 莉

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，人們越來越注意到中小學生綜合核心素養的培養和提升.2014年，教育部頒布了《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》；2016年，中國教育學會發布了《中國學生發展核心素養（征求意見稿）》.這些政策指導性文件，都強調了核心素養之于中小學生成長發展的重要性.作為初中數學一線教師，本人更多關心的是數學學科的“核心素養”有哪些，以及初中數學教學如何圍繞這些內容來培養學生的綜合能力等.《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確將數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識等視為數學的十大核心素養［1］.在此基礎上，進一步可提煉為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等.而其中，最重要、最本質的是抽象、推理、模型［2］.本人在多年的初中數學教學實踐中，對數學抽象和數學建模運用最多，也有一定的認識和思考.一般來說，數學抽象是指從具體數學對象或問題中，抽取具有共性的本質屬性而舍棄其他屬性的思維過程；數學建模則是根據實際需要，建立數學模型，用數學知識與方法解決問題的過程.下面以人教版九年級下冊第二十六章第1課時“反比例函數”的教學設計為例，談談在教學中如何培養學生以數學抽象和數學建模為主要內容的核心素養問題.

一、反比例函數的概念學習及分析

函數是描述現實世界中變化規律的數學模型.“反比例函數”是函數家族中的一個新成員，前面已經學習了一次函數和二次函數，后面還要學習三角函數，我們將利用函數描述某些變化規律，解決一些實際問題.

1.情景引入

問題1：2018年10月1日，“萬里長江公鐵第一隧”武漢長江公鐵隧道正式通車.這條公鐵隧道全長2600m，某汽車的平均速度v隨運行時間t的變化而變化.

（1）平均速度v、運行時間t存在什么數量關系？

（2）這兩個變量間有函數關系嗎？試說明理由.

（3）你能寫出v關于t的解析式嗎？

下列問題中，兩個變量之間具有函數關系嗎？如果有，其解析式分別是什么？它們的共同特點是什么？

問題2：某住宅小區要種植一塊面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長y隨寬x的變化而變化.

問題3：已知武昌區的總面積為82km2，人均占有面積s隨全區人口n的變化而變化.

設計分析：在函數的學習中，主要培養學生的數學建模和數學抽象思維.我們通過列舉身邊的實際問題，讓學生感受和理解數學與現實的關聯，將模型思想貫穿整個教學的全過程.在本節反比例函數教學中，利用武漢剛剛開通的長江公鐵隧道，激發學生的學習興趣與熱情，讓學生在情境創設中，感受函數就在于我們的現實生活中，以此來啟發學生建構函數模型，為后面給反比例函數下定義作鋪墊.

2.概括定義

由上面三個問題情境，通過分析所得到的解析式，發現它們的共同特征是都呈現為的形式，其中k是常數，k≠0.據此，我們可將反比例函數定義為形如y=（k是常數，k≠0）的函數，其中x是自變量，y是函數，自變量x的取值范圍為不等于0的一切實數.

設計分析：通過實際問題，讓學生抽象出數學問題，通過歸納三個解析式的共同特征，用數學語言函數的形式來解析實際問題.與此同時，讓學生從函數形式上觀察并認知反比例函數的右邊是分式，比例系數k≠0的要求和合理性.

讓學生在具體的實際問題中感受、體驗，建構出數學模型——函數，總結、歸納、概括出反比例函數所具有的特征，在此基礎上，給出反比例函數的基本定義.通過這樣一個過程，培養學生用數學的視角、數學的眼光感受世界、發現問題、解決問題，從而形成并夯實學生數學抽象的意識；用數學的語言和方式表達世界，進一步發展數學建模的思維.

3.加強認識

根據以上認識，請指出：下列函數中哪些是反比例函數？這些反比例函數相應的k值是多少？

⑥2y=x；⑦xy=-1.

設計分析：在數學抽象和數學建模的過程中，我們可以借助k=xy這個關系式，幫助學生直觀地建立反比例函數模型，理解常數k的實際意義，從而能夠更簡便、形象地理解反比例函數與現實問題間的關系.

4.鞏固深化

活動1：課堂上，每個同學寫出3至5個反比例函數關系式，請你的同桌指出其中的k值.

活動2：寫出下列問題中兩個變量間的函數關系式，并判斷它們是否是反比例函數.

（1）一個游泳池的容積為2000m3，游泳池注滿水所用時間t（單位：h）隨注水速度v（單位：m3/h）的變化而變化；

（2）某長方體的體積為1000cm3，長方體的高h（單位：cm）隨底面積S（單位cm2）的變化而變化；

（3）圓的周長l（單位：cm）隨半徑r（單位：cm）的變化而變化.

設計分析：當學生對數學抽象、數學建模有了初步的認識和理解后，我們通過一定的練習，就可以鞏固對反比例函數定義及有關知識的掌握.通過反比例函數表達式的適當變化，與前面的正比例函數、一次函數等知識進行區別.同時對反比例函數中常數的現實意義作進一步的認識，從而深化學生數學學科核心素養的培養.

活動3：你能賦予反比例函數一個實際背景嗎？引出例題：

已知y是x的反比例函數，當x=2時，y=6.

（1）寫出y與x的函數關系式；

（2）求當x=4時y的值.

跟蹤練習：已知y與x2成反比例，并且當x=3時，y=4.

（1）寫出y關于x的函數解析式；

（2）當x=1.5時，求y的值；

（3）當y=6時，求x的值.

設計分析：通過以上實例，我們發現：給出的反比例函數模型可以被賦予多個不同的實際背景，也就是說，同一個函數模型可以有十分豐富的實際背景.通過這種逆向思維的訓練，可以對學生數學思維的培養提出更高要求，也能進一步讓學生體會和感受到數學抽象和數學建模思想在實際情境中的價值.從學生賦予的實際背景中，抽象出數學問題，用數學符號建立函數來表示問題中的數量關系和變化規律.讓學生在經歷運用有關知識解決實際問題的過程中，逐步培養和提升學生的數學推理能力和語言表達能力.由例題（y是x的反比例函數）抽象出跟蹤練習（y與x2成反比例），是將一個數學問題抽象成另一個數學問題，這其中包含了數學遷移的思想.

5.課堂小結

在本課中，我們對反比例函數的概念和特征應該有哪些基本的認識？從中，你能感受到哪些數學學科核心素養？除此之外，還有哪些數學學科核心素養需要我們注意？

設計分析：通過課堂總結，讓學生簡單回顧梳理一下學到了什么新內容，關聯到了哪些舊知識，體悟到了怎樣的數學抽象和數學建模思想，以及在今后的學習中如何作更進一步的提升等.盡量將數學學科核心素養的培養貫穿課堂教學的始終.

二、關于數學抽象和數學建模素養的思考

本節“反比例函數”課堂教學設計中，主要探索的是如何培養初中生的數學抽象和數學建模思想.在我看來，數學抽象思想是數學諸多核心素養中最本質、最重要的一種.通過數學抽象，將現實生活中的實際問題數學化；通過建立數學模型，使原問題獲得理想的解決.從而建構起純粹的數學王國與外部現實世界的密切聯系，全面提升用數學思想解決實際問題的能力.

本節課教學設計第1、2部分，從學生比較感興趣的三個情景問題出發，啟發學生抽象出函數模型，從而提出反比例函數的概念，將情景問題抽象成數學問題解決，發展學生的數學抽象思維.在第3部分中，歸納情景問題的特征，總結出結論：定量=變量1×變量2，從而抽象出反比例函數另一個關系式k=xy.在第4部分中，更是由例題y是x的反比例函數抽象出跟蹤練習y與x2成反比例，是將一個數學問題抽象成另一個數學問題.數學抽象思想貫穿本節課始終.

此外，數學建模思想也貫穿在本節反比例函數教學設計中.以前，我們可能局限地認為，數學建模就是把實際問題抽象成數學問題，建立數學模型加以解決.數學建模思想其實有兩個方面的表現.一方面表現為學生面對實際問題，運用數學思維、利用數學工具尋找解題路徑的過程.比如，在學習相似三角形一章時，我提出一個實際問題：如何省時、省力地測出我們教學樓的高度？學生的興奮點被燃起，課堂氣氛非常活躍，有的說用尺量，可惜沒有那么長的尺；有的說用繩子量，啟用直升機將繩子從高空垂直放下，這個費用有點高；其中有一個學生說給我一只小木棍，我就可以測出教學樓的高度，原來他就是利用相似三角形的比例關系，通過測量小木棍和它影子的長度，再測出教學樓影子的長度，從而得到教學樓的實際高度……提出學生喜聞樂見的情景問題，啟發學生抽象出數學模型，并建立模型解決問題.數學建模并不僅僅局限于這一種形式.另一方面，在應試思路下，命題者的命題往往源于假設的、被抽象過的問題，往往是不太實際的“現實問題”，如何思考并獲得正確答案呢？這就需要學生在參加各類考試時，掌握和熟練運用數學建模思想.因為在很多時候，我們所學的數學知識并不能全部應用到實際生活中去.因而，在當前的應試思維下，培養學生以數學抽象和數學建模思想等為核心的數學素養就顯得十分有必要.