靈活應用換元法解決數學問題

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 畢平思

學習了二元一次方程組的解法后，我們知道解二元一次方程組有兩種基本方法：代入法和加減法.下面讓我們看看如何解方程組根據方程組的特點，常規解法是采用加減法.比較兩個未知數的系數，我們發現消去x比較簡單，解法如下.①×7，得14x+21y=84③，②×2，得14x-34y=194 ④.③-④，得55y=-110.則y=-2.把y=-2代入①，得2x+3×（-2）=12.則x=9.則原方程組的解為上述解法其實是一種常規解法.本題其實可以應用均值換元法巧解.若實數m、n滿足m+n=p，則可設我們稱這種換元方法為均值換元法.觀察方程①，根據系數特點，可設2x=6+6t，3y=6-6t，即x=3+3t，y=2-2t.代入方程②，得7（3+3t）-17（2-2t）=97.則t=2.則x=3+3×2=9，y=2-2×2=-2.不難發現，采用均值換元法解原方程組，大大減少了運算量，提高了解題效率.實際上，換元法也是一種重要的數學解題方法.在解決數學問題時，有時可以把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，叫作換元法.換元法的種類比較多，均值換元法只是其中的一種.應用換元法可以起到化難為易、化繁為簡之效，從而提高解題效率.

一、用于計算

分析：由于括號內加數太多，此題若直接計算，無論是先對括號內通分，還是應用乘法分配律，都不現實.注意到括號內有許多相同的項，如可以先將這些相同的項看成一個整體并用字母表示，再計算就方便多了.

解：令則原式

評注：本解法實際上是雙參數換元，即在換元時引入兩個字母（或參數）.通過換元可以發現，換元之后原式變得非常簡捷，而且在計算時相同項可以相互“抵消”.

快樂體驗：已知且都是正數，試比較M、N的大小，并說明理由.

二、用于解方程組

分析：本題若按常規解法，需要先對方程組進行化簡，比較麻煩，且易出錯．若能注意觀察到兩個方程中都含有可分別視為一個整體，然后運用整體換元的方法求解．

快樂體驗：解方程組

例3已知關于x、y的二元一次方程組的解是則關于x、y的二元一次方程組的解是______.

評注：本題若按常規方法，需要將代入方程組①求出再把代入方程組②，得到另一個方程組再解這個方程組，得這樣解步驟甚多、運算繁雜，容易產生錯誤.仔細觀察方程組①和②，對比兩個方程組的結構.若設x+y=u，x-y=v，則方程組②可變形為方程組③對比方程組①和③，我們發現這兩個方程組除了未知數的表達形式不一樣，未知數的系數和常數項部分都相同，因此它們的解相同，則即解這個方程組，得顯然這樣求解非常簡捷.

快樂體驗：已知方程組的解是則方程組的解是（ ）.

三、用于求二元二次方程的實數解

例4方程x2-xy+y2-x-y+1=0的實數解是_____.

評注：本題若按常規方法，可以先將原方程整理成關于x的一元二次方程，得x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由方程有實數根的條件，得一元二次方程的判別式即（y-1）2≤0.而（y-1）2≥0，于是（y-1）2=0，則y=1.

將y=1代入原方程，得（x-1）2=0，則x=1.

則原方程的實數解為x=1，y=1.

其實本題若用二元代換求解，非常簡捷.由于對于任意實數，恒有令則x=a+b，y=a-b，這種代換就叫作二元代換.二元代換是一種非常重要的換元方法，利用二元代換解決數學問題同樣可以起到化繁為簡、化難為易之功效.下面利用二元代換解答本題：

則a=1，b=0.則x=1，y=1.

則原方程的實數解為x=1，y=1.

快樂體驗：方程x2+xy+y2+x-y+1=0的實數解是_____.

以上僅通過三例說明了換元法在解決數學問題時的作用.換元法的應用還有很多，如我們可以利用換元法解分式方程，如解方程利用換元法解無理方程，如解方程利用換元法解分式方程組，如方程組的解是______（可先對方程組中的每個方程兩邊分別取倒數，將原方程組變形為的形式，然后再采用換元法）；利用換元法化簡分式，如已知：x+y+z=3a（a≠0，且x、y、z不全相等），求的值.希望大家在今后的學習中認真總結，看看哪些數學問題適合應用換元法，并盡可能掌握這種方法，從而提高解決數學問題的效率.W