幾何入門階段習(xí)題講評(píng)的教學(xué)思考與建議
——從一道七上模考幾何填空題講評(píng)說起

☉江蘇省清江中學(xué) 張紹俊

最近在七年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)階段，一份模考卷上的一道幾何填空題得分率很低，筆者本來準(zhǔn)備讓幾個(gè)做出答案的學(xué)生上臺(tái)示范一下他們的解法，沒有想到連續(xù)幾個(gè)學(xué)生雖然獲得解答，但是解法都顯現(xiàn)出不夠優(yōu)化的情況，這讓筆者即時(shí)調(diào)整了教學(xué)進(jìn)度，把這節(jié)課多數(shù)時(shí)間花在該題的解題教學(xué)進(jìn)程上.本文給出這道習(xí)題的講評(píng)手記，并跟進(jìn)幾何習(xí)題講評(píng)的相關(guān)思考與教學(xué)建議，供研討.

一、一道幾何習(xí)題的講評(píng)手記

考題：以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)引射線OP，使∠AOP∶∠BOP=3∶2，若∠AOB=17°，則∠AOP的度數(shù)為______.

閱卷記錄：這道填空題全班只有20%的學(xué)生填出正確答案（10.2°，51°）.

講評(píng)預(yù)設(shè)：考慮到正確率很低，需要多花一些時(shí)間進(jìn)行講評(píng).為了追求更好的講評(píng)效果，決定先安排一位填出正確解答的學(xué)生上臺(tái)講解他的思路，然后讓學(xué)生互相學(xué)習(xí)、交流.

講評(píng)記錄：先讓獲得正確解答的幾個(gè)學(xué)生站起來，讓其他學(xué)生學(xué)習(xí)，站起來的幾個(gè)學(xué)生都很有自信，然后安排學(xué)生小Y上臺(tái)講解他的思路，他寫出兩個(gè)算式，如下：

教師追問下面的學(xué)生是否看懂了，那幾個(gè)正確的學(xué)生表示都能理解，但其余的學(xué)生仍然表示不太理解.于是教師示意其他學(xué)生上臺(tái)來構(gòu)造圖形，更直觀形象地解釋這兩個(gè)度數(shù)，于是學(xué)生小J上臺(tái)后在黑板上經(jīng)過調(diào)整得到如下兩個(gè)圖形（如圖1、圖2）：

圖1

圖2

在兩個(gè)圖形的啟發(fā)之下，有一半左右的學(xué)生表示能理解.接下來是教師跟進(jìn)講評(píng).

教師講評(píng)：學(xué)生小Y的兩個(gè)算式是典型的“小學(xué)解法”，而學(xué)生小J的圖形分析更加直觀形象，但是仍然有不足，主要缺陷是圖形不精準(zhǔn)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)會(huì)構(gòu)造更加精確的圖形，我們應(yīng)該先畫出相對(duì)精準(zhǔn)的∠AOB=17°，然后分析射線OP的可能位置，教師接下來示范相對(duì)精準(zhǔn)的構(gòu)圖（如圖3、圖4）.

圖3

圖4

有了相對(duì)精準(zhǔn)的圖形分析之后，接下來可以引入方程工具，在圖3中，分別設(shè)∠AOP=3x，∠BOP=2x，可得2x+3x=17°，解得x=3.4°，于是∠AOP=3x=10.2°；

在圖4中，分別設(shè)∠AOP=3y，∠BOP=2y，可得3y-2y=17°，解得y=17°，于是∠AOP=3y=51°.

綜上，∠AOP=10.2°或51°.

經(jīng)過上述分析，多數(shù)學(xué)生都能理解并整理出詳細(xì)過程，但是我們的講評(píng)仍然在繼續(xù).

解后回顧：同學(xué)們雖然覺得這道題較難，但它有一個(gè)類似的或者說相同結(jié)構(gòu)的線段習(xí)題.

同類習(xí)題：已知線段AB=17cm，在直線AB上有一點(diǎn)P，且滿足AP∶BP=3∶2，求AP的長.

學(xué)生很快得出如下解法，先畫出圖形，然后分析兩個(gè)可能的點(diǎn)P的位置（如圖5），并且分類討論得出AP的長為10.2cm或51cm.

圖5

回到考題：受到線段圖形“兩圖合一”的影響，我們也可將圖3、圖4“合二為一”，得出圖6.

圖6

講評(píng)效果：講到這兒，再了解學(xué)生對(duì)該題的理解與掌握時(shí)，大家都表示已經(jīng)徹底想通了，于是教師再讓學(xué)生分小組對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行改編，自主提出問題并解決，通過學(xué)情反饋（變式再練了一道同類題，這里限于篇幅，略去），學(xué)生解這類問題的正確率達(dá)到82%.

二、幾何入門階段習(xí)題教學(xué)的思考與建議

1.習(xí)題講評(píng)要從答案核對(duì)走向解法探究

在習(xí)題量很大的課堂中，常常是答案核對(duì)式的講評(píng)為主，這類講評(píng)的效果非常低下，往往是會(huì)的學(xué)生會(huì)，不會(huì)的學(xué)生只是滿足于記錄答案，但并沒有機(jī)會(huì)深入思考、究錯(cuò)與理解.只有當(dāng)一節(jié)課中待講評(píng)的習(xí)題真正降下來、減下來，才可能有時(shí)間從答案核對(duì)式的講評(píng)走向解法探究式的講評(píng).探究解法需要時(shí)間，需要學(xué)生先有獨(dú)立思考，然后經(jīng)歷小組議論、全班展示、教師評(píng)析等全過程，有時(shí)對(duì)學(xué)生并不完整、有漏洞的思路或過程，教師還要引導(dǎo)學(xué)生參與優(yōu)化，直到解題思路完全貫通.

2.幾何入門階段需要訓(xùn)練精準(zhǔn)作圖能力

平面幾何是很多學(xué)生進(jìn)入初中階段學(xué)習(xí)成績(jī)的一個(gè)重要分水嶺，有些代數(shù)適應(yīng)性好的優(yōu)秀學(xué)生往往也會(huì)對(duì)平面幾何問題敬而遠(yuǎn)之.以筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，不少平面幾何適應(yīng)性不好的學(xué)生，對(duì)于精準(zhǔn)圖形的構(gòu)造常常掌握得不好.比如，上文中學(xué)生小J對(duì)于17°的大小偏差太大，原因是學(xué)生大腦中對(duì)于一些特殊角度的適應(yīng)不好，比如90°、60°、45°、30°，這些特殊角度要通過必要的練習(xí)能徒手畫出它們的大致大小，這樣在遇到類似17°這樣的角度時(shí)，就可利用45°與30°的差來近似構(gòu)造出17°角，從而為后續(xù)研究提供一個(gè)相對(duì)精準(zhǔn)的平臺(tái).試想，如果像小J構(gòu)造的圖4一樣，則求出一個(gè)角度為51°后會(huì)發(fā)現(xiàn)與圖4中∠AOP為鈍角是矛盾的，會(huì)對(duì)解題方向造成偏差，不利于快速解題.特別是，作為入門階段的幾何教學(xué)，需要特別重視精準(zhǔn)作圖能力的訓(xùn)練，當(dāng)學(xué)生能對(duì)圖形有相對(duì)精準(zhǔn)的理解之后，對(duì)于后續(xù)幾何學(xué)習(xí)十分有利，比如，等腰三角形的形狀、全等三角形的變換研究、不同形狀的直角三角形，等等，都需要精準(zhǔn)作圖的基本功.

3.習(xí)題講評(píng)要重視“讓學(xué)”與“究錯(cuò)”

精心準(zhǔn)備習(xí)題講評(píng)素材之后，需要認(rèn)真預(yù)設(shè)講評(píng)的組織過程，特別是重視“讓學(xué)”與“究錯(cuò)”環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì).這里的“讓學(xué)”最主要的方式就是讓學(xué)生上臺(tái)講解，暴露他們的思路與過程，這樣就可引導(dǎo)其他學(xué)生參與分析，學(xué)習(xí)其中的合理成分，并糾正其中的不足與錯(cuò)漏.這樣不僅講題的學(xué)生能有收益，其他學(xué)生也能在這個(gè)互動(dòng)、對(duì)話、究錯(cuò)過程中學(xué)習(xí)提升.我們見到的很多課堂，常常是教師自己講，一講到底，不給學(xué)生上臺(tái)講解的機(jī)會(huì)，當(dāng)然也看不到學(xué)生的錯(cuò)誤，但這種“掩而盜鈴”式教師一講到底，學(xué)生的錯(cuò)誤也就多出現(xiàn)在限時(shí)獨(dú)立考試過程中，教師在學(xué)生考試之后感嘆：“我講了多少遍，你們?cè)趺催€不會(huì)？”只有我們平時(shí)上課講題時(shí)充分放手，讓學(xué)生上臺(tái)講題、展示，讓一些錯(cuò)漏、稚嫩、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ㄅc思路多多顯現(xiàn)出來，教師跟進(jìn)評(píng)析、示范與優(yōu)化，這樣的教學(xué)是精準(zhǔn)指導(dǎo)，一定可以促進(jìn)學(xué)生切實(shí)提高解題能力.

4.講評(píng)后要有“多解歸一”的結(jié)構(gòu)揭示

波利亞在名著《怎樣解題》中對(duì)解題之后的回顧反思提出了深刻的指導(dǎo)意見，羅增儒教授對(duì)波利亞的解題教學(xué)理論做出了“中國解讀”與教學(xué)推廣，在很多一線教師中產(chǎn)生廣泛的影響.比如，習(xí)題講評(píng)之后需要有解后反思的教學(xué)階段，具體來說，像上文教學(xué)片段中，最后鏈接講評(píng)了線段問題，并將兩種可能的圖形“合二為一”，實(shí)現(xiàn)了“多解歸一”的結(jié)構(gòu)揭示.事實(shí)上，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，很多老師重視的往往是一題多解，對(duì)于解法的不斷探究也是一些教學(xué)研討QQ群的熱鬧話題，這類研究風(fēng)氣作為教師的個(gè)人興趣無可厚非，但是如果過分偏重于一題多解并積極向?qū)W生宣傳自己研究到的一題多解，而缺少必要的優(yōu)化、簡(jiǎn)化，則是不恰當(dāng)?shù)模驗(yàn)樽非蟆案醯鹊慕夥ā被蛘摺盎氐蕉x去解題”這種解題觀點(diǎn)應(yīng)該通過我們的教學(xué)向?qū)W生傳遞與滲透，往往站得更高，就能看得更全面、更深入，也就能理解多種解法的“殊途何以同歸”，從而引導(dǎo)學(xué)生通過做一題、會(huì)一類達(dá)到通一片.

三、寫在后面

教學(xué)即研究.不只是公開課教學(xué)、示范課學(xué)習(xí)、教研組評(píng)課等教研活動(dòng)才需要或值得開展研究，日常教學(xué)活動(dòng)中，我們每天都走進(jìn)課堂，這是教研活動(dòng)的“第一現(xiàn)場(chǎng)”，像華東師大李政濤教授所指出的，要十分重視“第一現(xiàn)場(chǎng)”中我們的“現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)力”的提升.上面提供的教學(xué)手記是近期課堂的一次真實(shí)場(chǎng)景，筆者的記錄還不是很完整，表達(dá)也不夠形象生動(dòng)，觀點(diǎn)闡釋也以個(gè)性化表達(dá)居多，期待同行的批評(píng)與指正.