異曲同工，萬(wàn)變歸宗
——基于初中數(shù)學(xué)折疊問(wèn)題的教學(xué)思考

☉江蘇省昆山市正儀中學(xué) 金潔霞

折疊問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這類問(wèn)題能夠較好地考查學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形性質(zhì)與規(guī)律的學(xué)習(xí)水平，這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的觀察、動(dòng)手和綜合應(yīng)用方面的能力要求高.正因如此，折疊問(wèn)題一直得到命題專家的青睞，成為各類初中數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)問(wèn)題.本文以一道典型折疊問(wèn)題及其變式為探究載體，重點(diǎn)剖析其內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，探究其思維路徑，體現(xiàn)“異曲同工，萬(wàn)變歸宗”的數(shù)學(xué)哲學(xué)之美，旨在拋磚引玉，以期引起教育同仁的進(jìn)一步思考與探究.

一、折疊問(wèn)題的案例及變式呈現(xiàn)

案例：如圖1所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E、F分別是AD和BC上任意兩點(diǎn)，線段EF將矩形分成左右兩部分，先將右部分沿著EF折疊，恰好使得C點(diǎn)落至AB邊上的C′點(diǎn)處，且AC′=BC′，D點(diǎn)變?yōu)镈′，連接C′D′交AE于M點(diǎn)，試求AM的長(zhǎng)度.

思維路徑：Rt△MAC′中只有AC′=3可直接得出，而直接在Rt△MAC′中利用勾股定理或三角關(guān)系求解AM的長(zhǎng)度所需條件不夠，需考慮構(gòu)建與其他三角形的關(guān)系求解. 據(jù)折疊原理和幾何圖形關(guān)系得：FC′⊥MC′，F(xiàn)C′=FC，則Rt△FBC′Rt△C′AM，即在Rt△FBC′中，運(yùn)用勾股定理可求出BF=4，則

圖1

圖2

變式1——改變折疊背景

題目：如圖2所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E、F分別是AD和BC上任意兩點(diǎn)，線段EF將矩形分成左右兩部分，先將右部分沿著EF折疊，恰好使得D點(diǎn)落至AB邊上的D′點(diǎn)處，且AD′=BD′，C點(diǎn)變?yōu)镃′，連接C′D′交BF于M點(diǎn)，試求Rt△D′BM的周長(zhǎng).

思維路徑：變式1用正方形代替原矩形作為折疊背景，求周長(zhǎng)代替求邊長(zhǎng).但從數(shù)學(xué)對(duì)象的基本關(guān)系的本質(zhì)看沒(méi)有新的變化，因此仍然由勾股定理求AE和ED′，再用Rt△D′BM Rt△EAD′求D′M和BM，最終可求Rt△D′BM的周長(zhǎng).

變式2——改變折疊對(duì)應(yīng)點(diǎn)

題目：如圖3所示，矩形ABCD中，AD=12，CD=18，E、F分別是AB和CD上兩點(diǎn)，將矩形沿著EF折疊，C點(diǎn)落于A點(diǎn)，B點(diǎn)落至B′點(diǎn)，試求S△AEF的值.

思維路徑：據(jù)題意可知只需求出AE的長(zhǎng)度即可得這一面積.據(jù)折疊原理可知AF=CF，AB′=BC=12，由幾何關(guān)系可知△ADF AB′E，即AE=AF.在Rt△ADF中，運(yùn)用勾股定理得AF=13，則12=78.

圖3

圖4

變式3——改變折疊對(duì)應(yīng)邊

題目：如圖4所示，矩形ABCD中，AB=2，E、F分別為矩形ABCD中AD和CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿著折痕BE進(jìn)行折疊，點(diǎn)A恰好落至BF上的A′點(diǎn)，試求AD的長(zhǎng)度.

思維路徑：根據(jù)矩形性質(zhì)，AD=BC.根據(jù)折疊性質(zhì)，可得A′B=AB=2，△EDF △EA′F，即則BF=A′B+A′F=3.在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理，可得

案例及變式的“歸宗”分析：在以上案例及變式中，其形式可以是千變?nèi)f化的，但是其命題立意與問(wèn)題解決的源流可以歸宗為折疊變化的基本關(guān)系——全等關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系；而折疊背景則提供了具體的數(shù)量計(jì)算路徑.因此，這類折疊問(wèn)題為同源同宗的衍生問(wèn)題.

二、折疊問(wèn)題的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程思考

1.立足基本數(shù)學(xué)關(guān)系，奠定折疊問(wèn)題解決的基礎(chǔ)

（1）重視幾何關(guān)系作為解決折疊問(wèn)題的直接工具作用.首先，要重視幾何關(guān)系的梳理與教學(xué)：幾何圖形的折疊屬于軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)于折痕對(duì)稱的兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度相等、對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角度相等，初中數(shù)學(xué)折疊問(wèn)題往往建立在“平行四邊形、矩形和正方形”等背景之上，在處理此類折疊問(wèn)題時(shí)應(yīng)該弄清折疊的背景，解題過(guò)程中靈活運(yùn)用其對(duì)應(yīng)的性質(zhì).

折疊問(wèn)題中求解線段長(zhǎng)度、角度大小、幾何圖形的周長(zhǎng)等問(wèn)題，往往涉及三角形相關(guān)知識(shí)：直角三角形中的勾股定理、直角三角形中兩個(gè)銳角互余，等腰、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)、中位線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、垂線定義等.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)存在一定的內(nèi)在規(guī)律：對(duì)于直角三角形中的長(zhǎng)度求解，可以利用勾股定理，對(duì)于一般三角形中的邊長(zhǎng)，可以利用全等或相似的手段進(jìn)行求解.

（2）以數(shù)學(xué)思想的教學(xué)提升折疊問(wèn)題教學(xué)的價(jià)值.折疊問(wèn)題在平面、空間、直線上的數(shù)量關(guān)系，往往涉及較豐富的代數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想，可以借助折疊問(wèn)題背景進(jìn)行滲透式教學(xué)，從而可設(shè)計(jì)歸宗于折疊但不拘泥于折疊的教學(xué)處理，提升折疊問(wèn)題教學(xué)的數(shù)學(xué)教育價(jià)值.如上述典型案例中的化歸思想體現(xiàn)在：AM長(zhǎng)度的求解，借助Rt△FBC′Rt△C′AM進(jìn)行間接求解；方程思想體現(xiàn)在：案例分析過(guò)程中BF長(zhǎng)度的求解，將BF作為未知量，運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程進(jìn)行求解.

數(shù)學(xué)解題離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的理論指導(dǎo)，數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，有助于學(xué)生迅速探尋數(shù)學(xué)解題的思路，有助于學(xué)生獲得有效解題方法的靈感.對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師而言，在解題教學(xué)實(shí)踐中，擺脫“就題論題、機(jī)械講解方法”等傳統(tǒng)教學(xué)方式的束縛.實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“內(nèi)功”支撐點(diǎn)，離開(kāi)數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，必定是“膚淺、表面”的數(shù)學(xué)教學(xué)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提升，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

2.構(gòu)造折疊問(wèn)題實(shí)例，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

眾所周知，恰當(dāng)?shù)膶?shí)例可以為學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程的嘗試與素養(yǎng)形成提供練手.因此，教師需要發(fā)揮教學(xué)智慧構(gòu)造實(shí)例，充分展示處理折疊問(wèn)題的具體思想與方法.

實(shí)例：如圖5所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E為CD邊上任意一點(diǎn)，若以BE為折痕，將△BCE進(jìn)行折疊，C點(diǎn)落至AD上的F點(diǎn)，試求線段CE的長(zhǎng)度.

圖5

解析：根據(jù)折疊性質(zhì)可知BF=BC=5，EF=CE，在Rt△ABE中假設(shè)CE=EF=x，則DE=3-x.DF=AD-AF=5-4=1.在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理，可得即即

點(diǎn)評(píng)：本題是以矩形為背景的折疊問(wèn)題，解題中主要體現(xiàn)折疊性質(zhì)、勾股定理、轉(zhuǎn)化思想、方程思想的靈活運(yùn)用，解題過(guò)程清晰、簡(jiǎn)練.

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的形式千變?nèi)f化，而對(duì)其進(jìn)行溯源，往往不同形式出于一宗.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)有必要深度挖掘教學(xué)素材的數(shù)學(xué)源流，力求教學(xué)過(guò)程貫通規(guī)律探究與思維形成訓(xùn)練.初中數(shù)學(xué)折疊問(wèn)題中，不管問(wèn)題形式如何變化多端，只需要準(zhǔn)確抓住折疊問(wèn)題的“宗”——折疊的本質(zhì)（軸對(duì)稱的性質(zhì)），引導(dǎo)學(xué)生有機(jī)融合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，使其達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果，對(duì)難題能有自己的數(shù)學(xué)思想與解決方法，進(jìn)而促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升.