淺談圓錐曲線題的幾個易錯點

摘要：我們的學生在利用常規解法求解圓錐曲線題時經常會出現錯誤，在此談談學生求解圓錐曲線題的易錯點，以引起大家的注意。

關鍵詞：易錯點；圓錐曲線

縱觀近幾年全國各地的數學高考試題，我們可以發現：為考查圓錐曲線而設計的題目，雖然在立意上逐步創新，但總體上還是突出一些常規解法的考查。然而我們的學生在利用常規解法求解圓錐曲線題時經常會出現錯誤，下面筆者通過對學生幾道錯解的題深入剖析，總結求解圓錐曲線題的易錯點，以引起大家的注意。

易錯點一：忽視圓錐曲線定義中的限制條件而導致的錯誤

例1：已知F1（-2，0）、F2（2，0），則在平面直角坐標系內滿足|PF1|-|PF2|=4的動點P的軌跡是（?搖?搖 ）。

A.雙曲線

B.雙曲線的左支

C.雙曲線的右支

D.射線F2X

錯解1：由|PF1|-|PF2|=4可得點P到兩定點的距離之差為常數，符合雙曲線的定義，故選A。

錯解2：同上，但注意到|PF1|>|PF2|，故為雙曲線右支，選C。撥迷：此題條件中|PF1|-|PF2|=4與雙曲線定義|PF1|-|PF2|=2a差異較大：①少了“外層絕對符號”，故不可能是一條完整的雙曲線（最多只有一支）；②少了“2a<2c”的說明，此處2a=4，2c=4。即2a=2c即a=c，不符合雙曲線定義。

正解：選D，由|PF1|-|PF2|=4=|F1F2|知P點的軌跡不可能是雙曲線，也不可能為雙曲線一支，故排除ABC，選D。

評注：運用圓錐曲線第一定義解題時，特別要注意2a與2c的關系。如果2a=2c，則動點軌跡肯定不是圓錐曲線。

易錯點二：忽視圓錐曲線標準方程所要求的特殊位置而導致的錯誤

例2：動點P到直線x=5的距離與它到點F（1，0）的距離之比為■，求動點P的軌跡方程。

錯解：由定義知P的軌跡是橢圓∵e=■，c=1■=5，∴a2=5，b2=a2-c2=4

故所求方程為■+■=1 評注：錯解原因在于誤認為橢圓的中心在原點。

正解：設P（x，y），據題意得：■=■

化簡整理得■+■=1

評注：從上面的解法的分析中，我們會發現錯解1有兩處錯誤：①是遺漏直線斜率不存在的情況，僅考慮存在斜率的直線。②方程組消元后的方程k2x2+2（k-1）x+1=0被認定為二次方程，因而由直線與拋物線只有一個公共點得出?駐=0。事實上，方程的二次項系數為含字母的參數k2，方程不一定為二次方程。當k=0時，方程是一次方程，此時方程組只有一解。錯解2注意了直線斜率不存在的情況，但與錯解1一樣，沒有注意到方程k2x2+2（k-1）x+1=0中當k=0時方程為一次方程。

評注：用代數法解決直線與圓錐曲線相交問題時，勿忽視消元后一元二次方程的二次項系。

數是否為零的討論；設直線方程時，勿漏掉直線斜率不存在的情況，利用數形結合思想解題時，勿漏掉特殊情況的討論。

總之，要解決好圓錐曲線題，關鍵在于熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、方程、圖形與幾何性質，同時特別關注一些易錯點，通過反思易錯題，吸取教訓，提高學習成績。