一道解三角形典型題的剖析與反思

吳衛東

到高考復習后期，同學們已經做了大量的習題，但這遠遠不夠，還必須經過系統的梳理與反思的過程，才能使得自己的解題能力有質的提升.下面老師通過對一道解三角形典型題的深入剖析來談談如何進行總結與歸納所學知識和方法.

例：如圖，在△ABC中，cos∠BAC=13，AC=2，點D在線段BC上，且CD=2DB，AD=433，求AB的長.

一道習題在手，若能打開思維的窗扉，從各種角度去考慮，尋求不同的解題策略，對提高我們的解題能力大有幫助.解題后認真總結，摸索規律，舉一反三，其收益更為明顯.

分析1：將已知的元素納入△ABC，△ABD，△ADC中，由∠ADB=π-∠ADC，cos∠ADB=-cos∠ADC，在△ABC，△ABD，△ADC中分別使用余弦定理，利用方程思想解決問題.

方法1：

解：設BD=x，AB=y，則CD=2x，BC=3x，在△ABC中，

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即（3x）2=4+y2-43y?①

在△ABD，△ACD中，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD

=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

即x2+（433）2-y2x=-（433）2+4x2-42x，

化簡得3x2-y2=-6?②

由①式與②式解得x=1，y=3.所以AB=3.

反思：一般地，由cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

得AD2=AB2·DCBC+AC2·DBBC-DB·DC，即幾何中比較著名的斯特瓦爾特定理.

還有如下推論：

在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連接AD.

（1）若AB=AC，則AD2=AB2-BD·DC;

（2）若AD為BC中線，則AD2=AB2+AC22-BC24（即中線長公式）;

（3）若AD為∠BAC內角平分線，則AD2=AB·AC-BD·DC（即角平分線長公式）;

（4）若AD為∠BAC外角平分線，則AD2=-AB·AC+BD·DC;

（5）若BDBC=λ，則AD2=λ·（λ-1）·BC2+（1-λ）·AB2+λ·AC2.

變式1：（2015年安徽卷理16）在△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32，點D在BC邊上，AD=BD，求AD的長.

解析：在△ABC中，由余弦定理得BC=310.在△ABD與△ACD中，利用cos∠ADC+cos∠ADB=0求解.

設AD=BD=x，∠ADB=θ，則∠ADC=π-θ，

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ，即

36=2x2-2x2cosθ?①

在△ACD中，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos（π-θ），即

18=x2+（310-x）2+2x（310-x）cosθ?②

由式①，②式得x=10，即AD=10.

分析2：已知∠BAC，AC邊長，要求的是AB邊長，

自然可聯想到數量積公式

AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC，

又已知了AD邊的長，只需將向量AB與AC作為基底來表示向量AD即可，這樣就得到了如下的向量法.

方法2：解：∵CD=2DB，∴CD=2DB，

則AD-AC=2（AB-AD），即AD=AC+2AB3，

∴（AD）2=（AC+2AB3）2

=AC2+4AB2+4AC·AB9

=4+4AB2+4×2×|AB|×cos∠BAC9

=4+4AB2+4×2×|AB|×139=163，

化簡整理得3AB2+2|AB|-33=0，解得|AB|=3或|AB|=-113（舍），

所以|AB|=3.

反思：

（1）一般地，在△ABC中，若BD=λDC（λ≠0，-1），則AD=AB+λAC1+λ;

（2）涉及邊長與角度的問題時，向量作為工具性方法切不可忘記.

變式2：如圖，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分線，且AD=kAC.求k的取值范圍.

解析：由角平分線定理，BDDC=ABAC=2，

則AD=AB+2AC3，

（AD）2=（AB+2AC3）2

=AB2+4AC2+4AB·AC9，

k2AC2=4AC2+4AC2+8AC2cos∠BAC9，

k2=8+8cos∠BAC9∈（0，169），∴k∈（0，43）.

分析3：點D是邊BC上的三等分點，過點B作邊AC的平行線，與AD的延長線相交于點E，進而可得△ACD與△BDE相似，這樣可將邊角元素集中到△ABE中去研究.

方法3：解：△ACD與△BDE相似得BEAC=DEAD=BDDC=12，則BE=1，DE=233，AE=23，在△ABE中，cos∠ABE=-cos∠BAC=-13，由余弦定理得，AE2=BE2+AB2-2BE·AB·cos∠ABE，

即（23）2=12+AB2-2·AB·（-13），化簡整理得3AB2+2AB-33=0，解得AB=3或AB=-113（舍），

所以AB=3.

反思：三角形作為最基本最重要的平面圖形，在解決問題的過程中，若能適時地使用平面幾何性質，將起到事半功倍的作用.

變式3：（2018年江蘇高考第13題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，求4a+c的最小值.

解析：點D是邊AC上的分點，過點C作邊AB的平行線，與BD的延長線相交于點E，進而可得△ABD與△CDE相似，ADDC=ABCE=BDDE，由內角平分線定理知，ADDC=ABBC=ca，BE=BD+DE=1+ac，在△CBE中，∠BCE=60°，∠EBC=60°，△CBE是正三角形，BE=BC=BD+DE=1+ac=a，即1a+1c=1.4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9，當且僅當c=2a=3時取到最小值9.

分析4：題設條件中出現定角cos∠BAC=13，定長AC=2，可將平面圖形置入平面直角坐標系中求解.

方法4：解：以點A為坐標原點，AB邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.設AB=m，

則C（23，423），B（m，0），又由CD=2DB

得D（2m3+29，429），由AD=433，得（2m3+29）2+（429）2=（433）2，化簡得3m2+2m-33=0，解得m=3或m=-113（舍）.所以AB=3.

反思：建立了平面直角坐標系后，解決幾何問題便多了一種方便、快捷的方法——坐標法.很多試題，當你無法找到突破口時，使用坐標法會給你一種新的啟迪和數學美感.

變式4：在等腰△ABC中，AB=AC，M為BC中點，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=12DB，AE=3EC，若∠DME=90°，求cosA的值.

解析：以點M為坐標原點，邊BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

設C（a，0），A（0，b），則D（-a3，2b3），E（3a4，b4），

∴MD=（-a3，2b3），ME=（3a4，b4），

∵∠DME=90°，∴MD·ME=0，

∴（-a3，2b3）·（3a4，b4）=0，

化簡得，a=63b，

∵AD=（-a3，-b3），AE=（3a4，-3b4），

∴cosA=AD·AE|AD||AE|=15.

一題多解固然可以開闊思路、發散思維，學會多角度分析和解決問題.但需要注意的是一題多解并非炫技，也不能刻意去追求偏、怪的奇異解法，因為我們最終的目的是多題一解，也就是說，一定要注意對知識、方法等的整合，尋找規律，加深對數學原理、通用通法的認識，從而能夠解決其它相似問題.一題多解與多題一解相互結合，一放一收，相得益彰.在變式中尋求通法，在探究中升華能力，實現從量變到質變的飛躍.