處理模長問題常見策略

胡磊

平面向量集數與形為一體，溝通代數、幾何與三角函數，作為高考的重要考點，經常出現在填空題的壓軸題中，尤其是模長問題，為了幫助大家學習，整理歸納出了處理平面向量模長問題的常見策略.

策略一：直角坐標系法

直角坐標系法是處理平面向量模長的常用方法，通過已知條件建立合適的坐標系，把點的坐標表示出來，則向量的坐標就可以求出來，從而平面向量的模長可利用數量積的運算求得.

例1?等邊△ABC的邊長為4，點P是△ABC內（包括邊界）的一動點，且AP=34AB+14λAC（λ∈R），則|AP|的最大值為????.

分析：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，設P（x，y），根據向量的坐標運算求得y=3（x-3），當該直線與直線BC相交時，|AP|取得最大值.

解析：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標系：∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，∴A（0，0），B（4，0），C（2，23），

設點P為（x，y），0≤x≤4，0≤y≤23，∵AP=34AB+14λAC（λ∈R），

∴（x，y）=34（4，0）+14λ（2，23）=（3+λ2，32λ），

∴x=3+λ2y=3λ2，∴y=3（x-3）?①，

而直線BC的方程是：y=-3（x-4）?②，

由①②解得：x=72y=32，則點P的軌跡方程為

y=3（x-3），3≤x≤72.

而|AP|2=x2+y2=x2+3（x-3）2

=4x2-18x+27=4（x-94）2+274.

∴當x=72時，|AP|2取到最大值.

∴（|AP|2）max=13，即|AP|的最大值為13.

點評：本題考查了向量在幾何中的應用問題，建立直角坐標系是解題的關鍵，求出點P的軌跡方程，利用其幾何意義確定模長最大值.

策略二：向量基底法

如果題目不能建立坐標系求解，可以嘗試向量的基底法，它是處理平面向量模長問題的主要方法，就是根據平面向量的基本定理，選擇向量的基底，把相關向量利用基底表示出來，最后求模長.

例2?如圖，在邊長為1的正△ABC中，點G為邊BC上的中點，線段AB，AC上的動點D，E分別滿足DB=λAB，EC=（2-3λ）AC（λ為實數），設DE的中點為F，則線段FG長度的取值范圍為????.

分析：根據向量的基本定理，先確定基底，表示出FG，再用二次函數求取值范圍.

解析：∵DB=λAB，∴AD=（1-λ）AB，

∵EC=（2-3λ）AC，∴AE=（3λ-1）AC，

由1-λ∈[0，1]3λ-1∈[0，1]得13≤λ≤23，

|FG|=FG·FG=（AG-AF）2

=（12AB+12AC-12AD-12AE）2

=（λ2AB+2-3λ2AC）2=7λ2-10λ+44，

∵對稱軸為λ=57>23，

∴二次函數7λ2-10λ+4在[13，23]上遞減，∴λ=23時，|FG|取得最小值13;λ=13時，|FG|取得最大值136，故線段FG的長度的取值范圍是[13，136]

點評：本題考查了向量數乘和線性運算，根據向量的基本定理，表示出FG，再用二次函數求取值范圍.

策略三：平方法

如果題目出現夾角和模長時，一般通過平方法，再結合向量數量積公式，可得所要求的向量的模長的關系式.

例3?平面向量a，b，c兩兩所成角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|為????.

分析：由平面向量a，b，c兩兩所成角相等，可得兩兩所成角為0°或120°.再利用數量積運算性質即可得出.

解析：∵平面向量a，b，c兩兩所成角相等，∴兩兩所成角為0°或120°.

∵|a|=1，|b|=2，|c|=3，當所成角為120°時，

∴a·b=1×2×cos120°=-1，a·c=-32，b·c=-3，

則|a+b+c|=a2+b2+c2+2（a·b+a·c+b·c）=12+22+32+2（-1-32-3）=3.

同理可得：當所成角為0°時，則|a+b+c|=1+2+3=6.故答案為：3或6.

點評：本題考查了數量積運算性質、向量夾角，考查了推理能力與計算能力，因為兩兩所成角相等，所以兩兩所成角為0°或120°，容易出現漏解的錯誤.

策略四：三角換元法

當題目有圓的幾何特征，那么我們可以根據圓的參數方程，利用三角換元法解決平面向量的模長問題.

例4?已知點A（0，-1），B（2，0），O為坐標原點，點P在圓C：x2+y2=45上.若OP=λOA+μOB，則λ+μ的最小值為????.

分析：設P（25cosα，25sinα），用α表示出λ，μ，根據三角恒等變換得出λ+μ的函數解析式，從而得出答案.

解析：設P（25cosα，25sinα），則25cosα=2μ25sinα=-λ，

∴λ=-25sinα，μ=15cosα，

∴λ+μ=-25sinα+15cosα=sin（φ-α），其中sinφ=15，cosφ=25，

∴λ+μ的最小值為-1.

點評：本題考查了平面向量的基本定理，通過三角換元，把問題轉化為利用三角函數有界性求最值問題.

策略五：構造幾何模型法

向量具有幾何特征和代數特征，挖掘題目幾何特征，構造幾何模型，對問題解決具有快捷的效果.

例5?已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是????.

分析：把已知b2-4e·b+3=0變形，可得b的終點在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，再由已知得到a的終點在不含端點O的兩條射線y=±3x（x>0）上，畫出圖形，數形結合得答案.

解析：由b2-4e·b+3=0得（b-e）·（b-3e）=0，∴（b-e）⊥（b-3e），如圖，不妨設e=（1，0），則b的終點在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，

又非零向量a與e的夾角為π3，則a的終點在不含端點O的兩條射線y=±3x（x>0）上.不妨以y=3x為例，則|a-b|的最小值是點（2，0）到直線3x-y=0的距離減1.

即|23|3+1-1=3-1.

點評：本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，根據已知構造幾何圖形是解決問題的關鍵.