離心率的值或范圍的求解策略

李琳

一、方法綜述

離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：

①根據題意求出a，b，c的值，再由離心率的定義直接求解;

②由題意列出含有a，b，c的方程（或不等式），消去b，構造a，c的齊次式，求出e;

③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;

④根據圓錐曲線的統一定義求解.

解題時要注意圓椎曲線本身所含的一些范圍的應用，如橢圓上的點的橫坐標-a≤x0≤a等.

二、解題策略

1.直接求出a，c或求出a與b的比值，以求解e

例1?已知橢圓C：x2a2+y24=1的一個焦點為（2，0），則C的離心率為????.

解析：根據題意，c=2，因為b2=4，所以a2=b2+c2=8，即a=22，

所以橢圓C的離心率為e=222=22.

點評：該題考查的是有關橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學會從題的條件中判斷與之相關的量，結合橢圓中a，b，c的關系求得結果.

2.構造a，c的齊次式，解出e

例2?已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c（c>0），拋物線y2=2cx的準線交雙曲線左支于A，B兩點，且∠AOB=120°（O為坐標原點），則該雙曲線的離心率為???.

解析：由題意，當拋物線的準線方程為x=-c2，與雙曲線方程聯立方程組得，

A（-c2，（c2-4a2）b24a2），

B（-c2，-（c2-4a2）b24a2），

又因為∠AOB=120°，

則（c2-4a2）b24a2c2=tanπ3=3c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0，

∴e4-8e2+4=0e2=4±23（4-23<1，舍去）e2=4+23e=3+1.

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用拋物線和雙曲線的定義，以及聯立方程求交點的方法，考查化簡整理的運算能力，其中對c4-8a2c2+4a4=0c4a4-8c2a2+4=0的齊次式處理很關鍵，對待此類型的方程常見的方法就是方程左右兩邊同除一個參數的最高次項即可轉化成一個一元方程，化簡整理的運算能力是解決此題的關鍵.

3.尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形

例3?已知F1，F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為????.

解析：先根據條件得PF2=2c，再利用正弦定理得a，c關系，即得離心率.

因為△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c，

由AP斜率為36得，tan∠PAF2=36，

∴sin∠PAF2=113，cos∠PAF2=1213，

由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2，所以2ca+c=113sin（π3-∠PAF2）=11332×1213-12×113=25，

∴a=4c，e=14.

另解：由題意可知：A（-a，0），F1（-c，0），F2（c，0），

直線AP的方程為：

y=36（x+a），

由∠F1F2P=120°，2c=|F1F2|=|PF2|，

則P（2c，3c），

代入直線AP：3c=36（2c+a），整理得：4c=a，∴離心率e=ca=14.

點評：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，而建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用圓錐曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

例4?已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F1，F2.這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則e1·e2的取值范圍是????.

解析：設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a1，由雙曲線定義可得m-n=2a2，即a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c>10，可得c>52，既有5213，則e1·e2的取值范圍是（13，+∞）.

點評：求解本題的關鍵是利用三角形的兩邊之和大于第三邊建立不等式求出c的范圍.

4.利用圓錐曲線性質

例5?若a>1，則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是????.

解析：由題意e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2，因為a>1，所以1<1+1a2<2，則1

點評：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，而建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

5.利用平面幾何性質

例6?已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為????.

解析：設|PF2|=m，則根據平面幾何知識可求|F1F2|，|PF1|，再結合橢圓定義可求離心率.

在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，

設|PF2|=m，則2c=|F1F2|=2m，|PF1|=3m，

又由橢圓定義可知

2a=|PF1|+|PF2|=（3+1）m，

則離心率e=ca=2c2a=2m（3+1）m=3-1.

點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的距離之和是否為定值，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等;“焦點三角形”是橢圓問題中的?？贾R點，在解決這類問題時經常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.

6.利用數形結合

例7?設F1，F2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|F1P|=6|OP|，則C的離心率為????.

解析：如圖，過F2作PF2⊥l，延長F2P，作F1Q⊥PF2相交于點Q，

則|F1Q|=2|OP|=2a，|QP|=|F2P|=b，從而|F1P|=6a，

在△F1PQ中有6a2=4a2+b2，即2a2=b2，

可得e=ca=a2+b2a=3aa=3.

點評：由條件PF2⊥l，構造直角△F1QF2，運用勾股定理建立方程，找到2a2=b2，從而求出e.巧妙構圖，多思少算.