等差數(shù)列中等比數(shù)列子數(shù)列的探究

熊如佐

一、問題提出

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考說明中的兩個(gè)C級(jí)考點(diǎn)，其難度水平不言而喻.通過對(duì)數(shù)列考題的梳理，發(fā)現(xiàn)在等差數(shù)列中探究等比子數(shù)列是常考問題之一.本文力求給出解決該類問題的一般思路和方法，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

二、問題解決

例1?記從數(shù)列{an}中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列{an}的一個(gè)子數(shù)列.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=3n-2，n∈N*，數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)（按原來的順序）成等比數(shù)列？數(shù)列{an}中是否存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列？

解題分析：寫出數(shù)列的一些項(xiàng)：1，4，7，10，13，16，19，……，觀察可以發(fā)現(xiàn)，其中1，4，16成等比數(shù)列，即a1，a2，a6成等比數(shù)列，且公比為4.是否存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列，只要判斷在上面的等比數(shù)列，即首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都是等差數(shù)列的項(xiàng).

解法：由an=3n-2得a1=1，a2=4，a6=16，所以存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4.下證等比數(shù)列的第4項(xiàng)也是等差數(shù)列中的項(xiàng)，記an1是數(shù)列的第四項(xiàng)，則an1a6=a6a2=4，而an1a6=a6a2=an1-a6a6-a2=（n1-6）×3（6-2）×3=4，所以n1=6+4×（6-2），同理，可以算得等比數(shù)列的第五項(xiàng)an2，其中n2=n1+4×（n1-6），……，依次可以得到下一項(xiàng)，從而一定存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列.

反思：1.探究數(shù)列問題常常從寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察開始;

2.說明等差數(shù)列中存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列是通過構(gòu)造等比數(shù)列的后一項(xiàng)，來說明該項(xiàng)一定在等差數(shù)列中，其中用到比例的性質(zhì)，也可以從等比數(shù)列的通項(xiàng)入手，說明等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)都在等差數(shù)列中，即由等比數(shù)列的第n項(xiàng)是等差數(shù)列的第m項(xiàng)列出等式，說明用n表示出的m一定是正整數(shù)，說明過程中需要用二項(xiàng)式定理;

3.從構(gòu)造等比數(shù)列的過程可以發(fā)現(xiàn)，只要等差數(shù)列中存在兩項(xiàng)，其后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為整數(shù)，則一定存在等比數(shù)列子數(shù)列.

結(jié)論：一個(gè)公差非零的無窮等差數(shù)列{an}中，如果存在兩項(xiàng)an1，an2（n1

例2?等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=3n-2，n∈N*，試確定等比數(shù)列子數(shù)列公比的最小值.

解題分析：數(shù)列{an}的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，且是遞增數(shù)列，所以先確定其等比數(shù)列子數(shù)列的公比一定是不小于2的整數(shù)，再運(yùn)用子數(shù)列中項(xiàng)的雙重性建立等量關(guān)系，確定公比的最小值.

解法：由an=3n-2，n∈N*知，an∈N*，an+1>an，記其等比數(shù)列子數(shù)列{akn}的公比為q，首項(xiàng)為ak1，則q≥2且q∈N*，否則，一定存在n∈N*使ak1qn-1Z.

由akn是等差數(shù)列的第kn項(xiàng)，同時(shí)又是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，得

akn=ak1+（kn-k1）×3，akn=ak1qn-1，

所以ak1+（kn-k1）×3=ak1qn-1，

kn-k1=ak13（qn-1-1）∈N*，

由于ak1不是3的倍數(shù)，所以當(dāng)n∈N*時(shí)qn-1-1必是3的倍數(shù).

當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，qn-1-1=（q-1）（qn-2+qn-3+…+q+1），其中qn-2+qn-3+…+q+1的公約數(shù)為1，從而q-1必是3的倍數(shù)，

所以公比q的最小值為4.

反思：1.等差數(shù)列中的等比數(shù)列子數(shù)列問題，特別要關(guān)注子數(shù)列的項(xiàng)在不同數(shù)列中的表示;

2.在解決問題的過程中，用到了等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)，還涉及整除、因式分解等數(shù)論相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，本題中等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，易得等比數(shù)列子數(shù)列的公比為正整數(shù)，實(shí)際上，一般等差數(shù)列若存在等比數(shù)列子數(shù)列，其公比也是正整數(shù).

結(jié)論：等差數(shù)列的公差非零，如果存在等比數(shù)列子數(shù)列，則其公比是大于1的整數(shù).

例3?在等差數(shù)列{a+bn}（ab≠0）中是否存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列？

解題分析：先從數(shù)列中存在等比數(shù)列子數(shù)列入手，探究a，b應(yīng)該滿足的條件，再考慮所得條件是否充分，從而確定等差數(shù)列{a+bn}（ab≠0）中存在無窮等比數(shù)列子數(shù)列條件.

解法：設(shè){a+bn}中存在一個(gè)等比數(shù)列子數(shù)列：a+bn1，a+bn2，a+bn3，…，其中n1

反過來，如果ab∈Q，不妨設(shè)a，b∈Z且b>0，取自然數(shù)n1，使c1=a+bn1>0?①，

設(shè)a+bn2=c1q?②，a+bn3=c1q2?③，

由②-①知：b（n2-n1）=c1（q-1），取q-1=b，則q=b+1，n2=n1+c1，

由③-②知：b（n3-n2）=c1q（q-1）=c1bq，n3=n2+c1q.

由歸納法知a+bnk=c1qk-1，其中q=b+1，nk+1=nk+c1qk-1.

所以子數(shù)列{a+bnk}成等比數(shù)列.

反思：探究存在性問題，一般先從存在入手，尋找結(jié)論的必要性，特別是從前三項(xiàng)去確定條件是一種自然的思路，但必須確定條件的充分性.本題中，充分性的確定也是采用的構(gòu)造法，實(shí)際上是從同號(hào)的項(xiàng)開始，確定兩項(xiàng)，使得兩項(xiàng)之比為整數(shù).

結(jié)論：1.等差數(shù)列{a+bn}（ab≠0）中存在一個(gè)無窮等比數(shù)列子數(shù)列的充要條件是ab∈Q.

2.公差為d（d≠0）非零等差數(shù)列{an}中a1dQ，則其一定不存在等比數(shù)列子數(shù)列.

三、嘗試解決

1.已知數(shù)列{an}滿足an=3n-1，將數(shù)列{an}中的部分項(xiàng)按原來順序構(gòu)成數(shù)列{bn}，且b1=a2.證明：存在無數(shù)個(gè)滿足條件的無窮等比數(shù)列{bn}.

答案：可以先列舉出數(shù)列{an}中的前面的一些項(xiàng)，如2，5，8，11，14，17，20，23等，首先能與5形成倍數(shù)關(guān)系的是20，可以考慮滿足要求的一個(gè)等比數(shù)列公比為4.

證明如下：bn=5×4n-1為數(shù)列{an}中的項(xiàng).

因?yàn)閍n=3n-1，令5×4n-1=3m-1，

則m=5×4n-1+13.

即證：m=5×4n-1+13為正整數(shù).顯然當(dāng)n=1或2時(shí)，滿足要求.

因?yàn)閙=5×4n-1+13=5×（4n-1-1）+63

=5×（4n-1-1）4-1+2=5×（1+4+…+4n-2）+2，

所以當(dāng)n≥3時(shí)，m為正整數(shù)，故數(shù)列{bn}其中bn=5×4n-1滿足題意.

所以當(dāng)首項(xiàng)取5，公比取42，43，…時(shí)均滿足題意，這樣的等比數(shù)列{bn}有無數(shù)個(gè).

2.（江蘇高考題）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列.

證明：假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x

由b1d≠0知，y2-xz與x+z-2y同時(shí)為0或同時(shí)不為0.

當(dāng)y2-xz與x+z-2y同時(shí)為0時(shí)，有x=y=z與題設(shè)矛盾.

故y2-xz與x+z-2y同時(shí)不為0，所以由（*）得b1d=y2-xzx+z-2y.

因?yàn)?≤x

于是，對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥4），只要b1d為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列.

例如n項(xiàng)數(shù)列1，1+2，1+22，…，1+（n-1）2滿足要求.