求解參數范圍與最值問題的題型與方法

高貴卓

參數的范圍問題，是解析幾何中的一類常見問題，解決這類問題的關鍵是構造含參數的不等式，通過解不等式求出參數的范圍，根與系數的關系、曲線與方程的關系等在構造不等式中起著重要作用.

參數范圍與最值問題解題策略一般有以下幾種：

（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質構造含參數的不等式，通過解不等式解出參數的范圍和最值.

（2）代數法：在利用代數法解決范圍與最值問題時常從以下五個方面考慮：

①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍;

②利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的關鍵是建立兩個參數之間的等量關系;

③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍;

④利用基本不等式求出參數的取值范圍;

⑤利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍.

一、參數范圍問題

例1?如圖，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（1）若橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程;

（2）設過點F且不垂直x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，若直線l繞點F任意轉動，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，求a的取值范圍.

解：（1）由圖可得：M（0，13b）由正三角形性質可得：∠MFO=π6，kMF=-33，

∴kMF=13b-00-1=-33，∴b=3，

∴a2=b2+c2=4，

∴橢圓方程為：x24+y23=1.

（2）設l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

∵|OA|2+|OB|2<|AB|2，

∴cos∠AOB=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA||OB|<0，

∴∠AOB為鈍角，∴OA·OB=x1x2+y1y2<0，

聯立直線與橢圓方程：y=k（x-1）b2x2+a2y2=a2b2b2x2+a2k2（x-1）2=a2b2，整理可得：

（a2k2+b2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0，

∴x1+x2=2a2k2a2k2+b2，x1x2=a2k2-a2b2a2k2+b2，

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）

=k2x1x2-k2（x1+x2）+k2

=k2·a2k2-a2b2a2k2+b2-k2·2a2k2a2k2+b2+k2

=k2b2-a2b2k2a2k2+b2，

∴x1x2+y1y2=a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2a2k2+b2<0，

a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2<0恒成立，即k2（a2+b2-a2b2）

當k=0時，不等式恒成立，

當k≠0時，a2+b2-a2b2a2b2<1k2恒成立.

而1k2>0，∴a2+b2-a2b2a2b2<0，

∴a2+b2-a2b2<0，∵b2=a2-1，

a2<（a2-1）b2=b4，

又∵a>0，b>0，∴a1+52.

∴a的取值范圍是（1+52，+∞）.

二、方程中參數范圍問題

例2?（2016高考江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px（p>0）.

（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程;

（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.

①求證：線段PQ的中點坐標為（2-p，-p）;

②求p的取值范圍.

解析：（1）拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為（p2，0），

由點（p2，0）在直線l：x-y-2=0上，得p2-0-2=0，即p=4.

所以拋物線C的方程為y2=8x.

（2）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點M（x0，y0），

因為點P和Q關于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，

于是直線PQ的斜率為-1，則可設其方程為y=-x+b.

①由y2=2pxy=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0 （*）.

因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1≠y2，

從而Δ=（2p）2-4（-2pb）>0，化簡得p+2b>0.

方程（*）的兩根為y1，2=-p±p2+2pb，從而y0=y1+y22=-p.

因為M（x0，y0）在直線l上，所以x0=2-p.

因此，線段PQ的中點坐標為（2-p，-p）.

②因為M（2-p，-p）在直線y=-x+b上，

所以-p=-（2-p）+b，即b=2-2p.

由①知p+2b>0，于是p+2（2-2p）>0，所以p<43.

因此p的取值范圍為（0，43）.

三、求線段問題的范圍

例3?（2016年高考浙江文數）設雙曲線x2-y23=1的左、右焦點分別為F1，F2.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是????.

解析：由已知a=1，b=3，c=2，則e=ca=2，

設P（x，y）是雙曲線上任一點，由對稱性不妨設P在右支上，因為∠PF2F1為銳角，則1

因為∠F1PF2為銳角，則|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2，

即（2x+1）2+（2x-1）2>42，解得x>72，所以72

故|ΡF1|+|ΡF2|=4x∈（27，8）.

點評：先由對稱性可設點Ρ在右支上，進而可得|ΡF1|和|ΡF2|，再由△F1ΡF2為銳角三角形可得|ΡF1|2+|ΡF2|2>|F1F2|2，進而可得x的不等式，解不等式可得|ΡF1|+|ΡF2|的取值范圍.

四、斜率范圍問題

例4?（2016年高考全國Ⅱ卷理數）已知橢圓E：x2t+y23=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（1）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積;

（2）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

分析：（1）先求直線AM的方程，再求點M的縱坐標，最后求△AMN的面積;（2）設M（x1，y1），將直線AM的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示x1，從而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2|AM|=|AN|求k.

解：設M（x1，y1），則由題意知y1>0.

（1）當t=4時，E的方程為x24+y23=1，A（-2，0）.

由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為π4.

因此直線AM的方程為y=x+2.

將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127，所以y1=127.

因此△AMN的面積

S△AMN=2×12×127×127=14449.

（2）由題意t>3，k>0，A（-t，0）.

將直線AM的方程y=k（x+t）代入x2t+y23=1得（3+tk2）x2+2t·tk2x+t2k2-3t=0.

由x1·（-t）=t2k2-3t3+tk2，得x1=t（3-tk2）3+tk2，

故|AM|=|x1+t|1+k2=6t（1+k2）3+tk2.

由題設，直線AN的方程為y=-1k（x+t），

故同理可得|AN|=6kt（1+k2）t+3k2.

由2|AM|=|AN|，得23+tk2=k3k2+t，

即（k3-2）t=3k（2k-1）.

當k=32時上式不成立，因此t=3k（2k-1）k3-2.

t>3等價于

k3-2k2+k-2k3-2=（k-2）（k2+1）k3-2<0，

即k-2k3-2<0.因此得k-2>0k3-2<0或k-2<0k3-2>0，解得32

故k的取值范圍是（32，2）.

點評：在求解第（2）問時，同學們一般能將直線方程和橢圓方程聯立轉化為關于x的一元二次方程，由此寫出判別式和根與系數的關系，便可得到基本分數.若同學們稍加思考，由于直線和橢圓的一交點為（-t，0），從而可求出另一交點坐標，若要求出k的范圍，仍存在一定難度，不等式t>3的落實非常關鍵.這就需要我們學會使用一定的技巧答題，能答多少答多少.

五、離心率的范圍問題

例5?（2017年高考課標Ⅱ，文5）若a>1，則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是????.

解析：由題意e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2，因為a>1，所以1<1+1a2<2，則1

點評：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，而建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.

例6?已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F1，F2.這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則e1·e2的取值范圍是????.

解析：設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由橢圓的定義可得m+n=2a1，由雙曲線定義可得m-n=2a2，即a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c>10，可得c>52，即5213，則e1·e2的取值范圍是（13，+∞）.

點評：求解本題的關鍵是利用三角形的兩邊之和大于第三邊建立不等式求出c的范圍.

六、面積最值問題

例7?已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率與雙曲線x24-y212=1的離心率互為倒數，且過點P（1，32）.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過P作兩條直線l1，l2與圓（x-1）2+y2=r2（0

①求證：直線MN的斜率為定值;

②求△MON面積的最大值（其中O為坐標原點）.

解析：（1）可得橢圓C的離心率e=12，設橢圓的半焦距為c，所以a=2c，

因為橢圓C過點P（1，32），所以1a2+94b2=1，又c2+b2=a2，解得a=2，b=3，

所以橢圓方程為x24+y23=1.

（2）①顯然兩直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），

由于直線l1，l2與圓（x-1）2+y2=r2（0

直線l1的方程為y-32=k1（x-1），聯立方程組y=k1x-k1+32，x24+y23=1，

消去y，得x2（4k21+3）+k1（12-8k1）x+（3-2k1）2-12=0，

因為P，M為直線與橢圓的交點，

所以x1+1=k1（8k1-12）4k21+3，

同理，當l2與橢圓相交時，x2+1=k1（8k1+12）4k21+3，所以x1-x2=-24k14k21+3，而y1-y2=k1（x1+x2）-2k1=-12k14k21+3，所以直線MN的斜率k=y1-y2x1-x2=12.

②設直線MN的方程為y=12x+m，聯立方程組y=12x+m，x24+y23=1，消去y得x2+mx+m2-3=0，

所以|MN|=1+（12）2·m2-4（m2-3）=1524-m2，原點O到直線MN的距離d=|2m|5，

△OMN面積為S=12·1524-m2·|2m|5=32m2（4-m2）≤32m2+4-m22=3，

當且僅當m2=2時取得等號.經檢驗，存在r（0

七、求其他最值問題

例8?已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=33，左、右焦點分別為F1，F2，且F2與拋物線y2=4x的焦點重合.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）若過F1的直線交橢圓于B，D兩點，過F2的直線交橢圓于A，C兩點，且AC⊥BD，求|AC|+|BD|的最小值.

解析：（1）拋物線y2=4x的焦點為（1，0），所以c=1，又因為e=ca=1a=33，所以a=3，

所以b2=2，所以橢圓的標準方程為x23+y22=1.

（2）（i）當直線BD的斜率k存在且k≠0時，設直線BD的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程x23+y22=1，并化簡得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0.

設B（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=-6k23k2+2，x1x2=3k2-63k2+2，

|BD|=1+k2·|x1-x2|

=（1+k2）·[（x1+x2）2-4x1x2]

=43（k2+1）3k2+2.?（*）

易知AC的斜率為-1k，將（*）式中的k用-1k替換，

所以|AC|=43（1k2+1）3×1k2+2=43（k2+1）2k2+3.

|AC|+|BD|=43（k2+1）（13k2+2+12k2+3）

=203（k2+1）2（3k2+2）（2k2+3）≥203（k2+1）2[（3k2+2）+（2k2+3）2]2

=203（k2+1）225（k2+1）24=1635.

當k2=1，即k=±1時，上式取等號，故|AC|+|BD|的最小值為1635.

（ii）當直線BD的斜率不存在或等于零時，

易得|AC|+|BD|=1033>1635.

綜上，|AC|+|BD|的最小值為1635.

點評：本題要熟悉橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關系問題，在求解目標式的最值問題時務必先用變量表示目標式，再結合不等式即可得出結論，同時直線與橢圓的弦長公式也要非常熟悉.