失效相關下齒輪傳動系統的可靠性穩健優化設計

何永慧 劉 淵 劉國花 褚洪森 譚曉星 許航鋒

(中國船舶重工集團公司第七一一研究所，上海 201108)

0 引言

齒輪傳動系統失效通常存在多種潛在的失效模式，由于系統隨機變量(如外載荷、幾何參數和材料特性等)的同源性，失效模式間將存在不同程度的相關性[2,13]，即一種失效可能會加速(或減緩)另一種失效的發生。實際上，在可靠性設計過程中是否考慮失效模式間的相關性，對系統可靠性的估計有很大影響。失效模式獨立假設通常會影響齒輪機構設計及其傳動精度，而當失效模式間高度相關時，基于獨立假設的可靠性設計往往會給出過于保守甚至不可接受的結果。因此，有必要在整個設計過程中引入概率相關性建模，以便為失效相關下的齒輪傳動系統設計提供更加準確的可靠性評估和優化結果。

作為目前最廣泛使用的方法，Pearson相關系數[15]只是對實際情況的一種線性近似，當極限狀態函數呈現非線性且隨機變量概率屬性未知時，Pearson線性相關系數無法反映變量間真實的相關結構。因此，有必要提出一種更合理有效的建模方法，以實現不完全概率信息下齒輪傳動系統失效模式的相關性建模。當前，Copula理論在構造多維變量的聯合概率分布方面得到了廣泛的應用[9,14,16]。Copula函數是一種將多變量聯合分布函數與一維邊緣分布函數連接起來的函數[18]。這種構造原理將概率分布的聯合建模劃分為兩個方面，一個是對變量一維邊緣分布的近似，另一個是邊緣分布與特定Copula函數的連接。Copula方法已被證明是一種有效的數學建模工具，能夠大大降低聯合概率建模的難度。現有文獻中已提供了多種常用的copula函數，如Gaussian、T、Clayton、Gumbel、Frank和Farlie-Gumbel-Morgensterm (FGM) copula等[23]。這些Copula函數依據其自身的結構形式，可以構造不同類型的相關結構。

許多文獻從統計學[24]、水文學[25]、工程[12]等多變量建模的角度對Copula函數進行了研究，然而，Copula函數在機械設計領域還沒有得到足夠的重視，尤其是涉及具有相關失效模式的機械產品設計。齒輪傳動系統作為一種重要的傳動裝置，其失效模式多種多樣。雖然在設計優化和可靠性方面已有文獻報道[3,19,21]，但仍然需要對齒輪傳動系統的聯合失效建模進行更深入的研究。

本文旨在研究在不完全概率信息和失效相關下，copula函數的選擇對齒輪傳動系統可靠性估計的影響，并開展可靠性評估及優化設計。鑒于不同失效模式間的相關結構可能是正相關或負相關等不同屬性，為有效描述這些潛在的相關結構，需要通過對各種copula函數進行比較分析，進而提出一種相關失效下齒輪傳動系統的可靠性設計方法。本文采用基于三階矩的鞍點逼近技術計算了各失效模式的邊緣失效概率[10]，基于不同copula函數的相關模型，運用可靠性界限理論對齒輪傳動系統的系統可靠性進行了估計。

1 齒輪傳動系統可靠性建模

由機械原理可知，齒輪傳動系統失效時存在多種失效模式。為了研究齒輪傳動系統各失效模式的可靠性和考慮失效相關的系統可靠性，首先建立了齒輪傳動系統不同失效模式下的可靠性模型。

1.1 基于齒面接觸強度的可靠性模型

齒輪的接觸應力可用式(1)計算

σHZM-BZHZEZLSZβZK×

(1)

齒輪的接觸疲勞強度可由式(2)計算

(2)

由此，齒面接觸強度的極限狀態函數可表示為

(3)

其中X1表示基本隨機變量向量，且有

X1=[ZM-B,ZH,ZE,ZLS,Zβ,ZK,Fmt,dv1,lbm,KA,KV,KHβ,KHα,σHlim,ZNT,ZX,ZL,ZR,ZV,ZW]T

1.2 基于齒根彎曲疲勞強度的可靠性模型

齒輪的彎曲應力可由式(4)計算

(4)

齒輪的彎曲疲勞強度可由式(5)計算

(5)

小齒輪的極限狀態函數可表示為

(6)

其中X2=[YFa1,Ysa1,Ye,YK,YLS,Fmt,b,mmn,KA,KV,KFβ,KFα,σF1lim,YST,YNT,YδrelT1,YRrelT1,YX1]T。

類似地，大齒輪的極限狀態函數也可以表示為

(7)

其中X3=[YFa2,Ysa2,Ye,YK,YLS,Fmt,b,mmn,KA,KV,KFβ,KFα,σF2lim,YST,YNT,YδrelT2,YRrelT2,YX2]T。

如上所述，這里定義了齒輪傳動系統的三種失效模式。從隨機變量向量X1,X2和X3所包含的變量中可以看出，這些向量中包含有相同的隨機變量，使得各失效模式間存在不同程度的相關性。因此，有必要建立各失效模式之間的聯合概率分布，以準確描述失效模式間的相關屬性。

2 齒輪傳動系統可靠性估計

Abe Sklar首次在數學或統計意義上使用了“copula”一詞[18]，用于描述將一維分布函數形成多變量分布的函數。這種建模方式意味著當邊緣概率分布已知時，可采用copula函數來構建多個變量的聯合概率分布函數。本文采用隨機變量的統計矩信息，利用鞍點技術對邊緣概率分布進行近似計算，進而采用copula函數對齒輪傳動系統的相關結構進行描述，最終實現對系統的可靠性評估。

2.1 邊緣失效概率估計

如上所述，齒輪傳動系統中存在多種潛在失效模式，需要考慮不同失效模式間的相關性，并將其納入可靠性分析過程中。根據Copula理論，一個聯合概率分布函數可以分解為k個邊緣分布函數和一個Copula函數，相應的Copula函數可以描述各個變量間的相關性。因此，首先必須確定每種失效模式的邊緣概率分布。

本文采用基于矩的鞍點技術來逼近各失效模式性能函數的邊緣概率分布。具有極限狀態函數Y=g(X)的失效模式的失效概率可以表示為

Pf=P(Y≤0)=P(Ys≤-β2)=

(8)

式中，

Ys=(Y-μG)/σG

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

基于矩的鞍點逼近給出了一種有效而準確的邊緣失效概率計算方法。該方法僅使用失效模式性能函數的前三階矩，十分適于概率信息不完全的工程領域。

2.2 可靠性靈敏度分析

基于鞍點逼近方法，推導了隨機變量分布參數的可靠性靈敏度。對式(8)進行偏導數求解，可得到分布參數均值的可靠性靈敏度，如下所示，

(15)

其中，

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

2.3 基于Copula函數的系統可靠性估計

Copula函數被廣泛應用于描述隨機向量之間的相關性，基于copula的技術可以作為多元分析問題的有效數學工具[17,20]。Copula函數是(0,1)中具有均勻邊緣分布的隨機向量的多元分布函數，它將邊緣概率分布函數和聯合概率分布函數進行解耦。下文將使用copula函數為不同的失效模式間建立二維相關性模型。

令Fi(Gi(X))和Fj(Gj(X))分別代表失效模式Gi(X)和Gj(X)的邊緣分布函數，根據Sklar定理，兩種失效模式的聯合分布函數可以由式(25)表示

Fij(Gi,Gj)=C[Fi(Gi(x)),Fj(Gj(x))]

(25)

其中，C(u,v)表示二元Copula函數。

根據Copula理論，任意聯合分布函數或密度函數均可通過一個含有待定參數的Copula函數進行建模。然而，不同失效模式間的相關屬性差別較大，因此，有必要對比不同copula函數所代表的相關性特征，從而為每對失效模式確定一個最佳copula函數。本文在廣泛使用的Copula函數簇中選擇了部分常用的Copula函數，包括Gaussian、Clayton、Gumbel以及Frank Copula等，具體形式如表1所示。Gaussian Copula屬于橢圓分布族，是多元正態分布與其邊緣分布的連接函數。Gaussian Copula與多元正態分布的區別在于前者允許非正態分布和不同的邊緣分布，而后者則不允許。表1中所列的Copula函數既能描述正相關特性，又能描述負相關特性，且待定系數限制在[-1,1]范圍內。

表1 本文所采用的二元Copula函數

*u,v表示隨機變量的邊緣分布，θ表示copula的待定參數。

對于每個失效模式對，二維聯合失效概率可由式(26)表示，

Pfpair=Pf[G1(x)≤0∪G2(x)≤0]=

Pf[G1(x)≤0]+Pf[G1(x)≤0]-

Pf[G1(x)≤0∩G2(x)≤0]=

Pf1+Pf2-C(Pf1,Pf2)

(26)

其中，C(Pf1,Pf2)表示采用Copula函數計算的聯合失效概率。

系統可靠性界限理論是進行系統可靠性分析的常用方法，主要包括Cornell界限[4]和Ditlevsen界限[6]等。Ditlevsen界限也被稱為窄界限，可通過評估每對失效模式的聯合失效概率，得出系統失效概率的窄界限估計。對于具有m個失效模式的串聯系統，系統可靠性估計的窄界限由下式給出：

(27)

其中Pfi表示第i個失效模式的失效概率，Pfij表示用Copula函數得到每對失效模式的聯合失效概率。

本文采用Ditlevsen界限的上界來近似系統失效概率，即

(28)

本文采用表1所示的二元Copula函數，并將計算結果進行對比分析。由于失效模式間的相關性結構和關聯度均未知，因此需采用統計方法估計每個Copula函數中的待定系數θ。在不同copula函數下進行系統可靠性計算流程主要包括三個步驟：

(1)對先前定義的齒輪系統的基本隨機變量向量X1、X2和X3隨機抽取n個樣本，并獲得各失效模式下響應(u)的樣本。用MATLAB命令corr(ui,uj,'type','kendall')計算失效模式間的秩相關系數，繼而估計Copula函數的待定參數；

(2)用攝動法對性能函數狀態變量的高階矩進行估計，繼而采用基于矩的鞍點逼近方法估計各失效模式的邊緣失效概率。需要注意的是，鞍點逼近的精度取決于統計矩的計算精度；

(3)根據所得到的邊緣失效概率Pfi和聯合失效概率Pfij，采用窄界限公式(28)計算系統失效概率，并對不同copula函數下所得的系統失效概率進行對比分析。

3 可靠性穩健優化設計

為了保證齒輪傳動系統的穩健設計，將設計變量的可靠性靈敏度信息引入優化設計模型，建立了基于可靠性靈敏度的穩健優化設計模型?？煽啃造`敏度反映了隨機變量對系統可靠性的影響，通過限制可靠性靈敏度可以保證系統可靠性的穩健性，從而使得齒輪傳動系統的可靠性在隨機變量波動的情況下是穩定的。

根據可靠性穩健優化設計的定義，建立了齒輪傳動系統的可靠性穩健設計優化模型，具體如下：

dL≤d≤dU,d∈Rndv

(29)

ωk=[f1(X*k)-f1(X*1)]/{[f1(X*k)-

f1(X*1)]+[f2(X*(k-1))-f2(X*2)]+

將平均粒徑18 μm重質碳酸鈣分別在900、1 000、1 100、1 200 ℃下煅燒4 h，后采用冶金石灰物理檢驗方法對石灰活性進行測試，結果如圖1所示。

…+[fk(X*1)-fk(X*k)]}

(30)

同時，加權系數應滿足以下條件

(31)

在可靠性分析的基礎上，根據齒輪傳動系統的可靠性穩健優化模型，可實現齒輪傳動系統結構參數的優化設計。

4 數值算例

在本節中，針對具有隨機結構參數的齒輪傳動系統進行可靠性分析與穩健優化設計。齒輪傳動系統隨機變量的概率屬性見表2，變量均服從正態分布。

表2 齒輪傳動系統的隨機變量

4.1 系統失效概率估計

根據前文所述方法，首先采用式(1)和式(4)分別計算了齒輪的接觸應力和彎曲應力，然后，基于式(3)、式(6)和式(7)可分別建立齒輪傳動系統的三種失效模式?？紤]到系統的隨機結構和設計參數，采用鞍點逼近和Copula函數分別估計各失效模式的邊緣失效概率和失效相關下的系統失效概率。表3中列出了采用不同Copula函數以及獨立假設下獲得的系統失效概率，并結合Monte Carlo方法進行了相對誤差分析。

由表3可見，在不同的Copula函數下，系統的失效概率差異很大?；贕aussian Copula函數產生的相對誤差為0.84%，說明在不確定失效模式間實際相關結構的情況下，最常用的Gaussian Copula函數適用于齒輪副的可靠性設計。通過對比可知，基于Clayton copula所得的系統可靠性相對誤差最小。圖1對比了Clayton Copula函數的散點圖和失效模式g2、g3的隨機樣本散點圖?？梢?，采用Clayton Copula能夠較好地描述失效模式g2、g3之間的下尾相關性，即g2可靠性的降低將引起g3的可靠性亦隨之降低。

表3 不同copula函數下的系統失效概率

圖1 隨機樣本和Clayton copula下g2和g3的散點圖

Fig.1 The scatter plots forg2andg3under random samples and Clayton copula

4.2 齒輪傳動系統的可靠性穩健優化設計

在采用Clayton Copula進行齒輪傳動系統可靠性評估的基礎上，進一步對隨機變量的可靠性靈敏度進行分析。結合公式(15)-(24)，可得齒輪傳動系統輸入變量均值的可靠性靈敏度為：

?R/?X1=[0.0013,0.0007,0.0067,0.0088,

-0.4395,-0.1758,-0.4395,0.0791,

-0.3976,-0.3976,-0.3976,-0.3976,

-0.3976,-0.3976]

?R/?X2=[0.000012,0.00012,0.00018,0.0018,

0.0019,0.0053,7.0224,22.82,-3.476,

-2.317,-0.463,-2.155,0.0029,0.1865,

-4.6637,-3.8494,-4.4923,-4.0418]

?R/?X3=[0.0628,0.3138,0.0285,-0.0029,

-0.00062,0.00029,6.3398,21.13,-2.929,

-3.617,-0.493,-1.5932,0.9068,0.2257,

-4.4391,-3.2627,-4.4405,-4.4391]

從可靠性靈敏度的結果可知，隨機變量dv1、lbm、b和mmn的可靠性靈敏度值相對較大，說明這些隨機變量對系統的失效影響較大，其隨機波動可能引起失效概率的顯著變化。為了獲得更可靠的系統可靠性結果，以下建立了包含可靠性靈敏度的可靠性穩健設計模型，

minf(d)=ω1f1(d)+ω2f2(h)

(32)

mmnL/Lm-1.5≥0;

8-mmnL/Lm≥0

z1-17≥0

36-z1≥0

b-0.2L≥0

0.35L-b≥0

其中，子目標函數f1(d)表示齒輪的體積，設計變量向量為d=[mmn,z1,b]T。子目標函數f2(h)將向量h1=[dv1,lbm,]T和h2= [b,mmn]T的可靠性靈敏度最小化。初始值設為d0=[2.6, 18, 30]T。表4列出了可靠性穩健優化的結果，可見，在滿足預期可靠度的前提下，向量h1和h2中變量的可靠性靈敏度隨之降低，齒輪傳動系統的總體積也大大減小。此外，優化后的系統可靠性得到提高，且隨著系統可靠性的提高，齒輪傳動系統對隨機變量波動的靈敏度隨之降低，體現了較好的穩健性。

表4 基于Clayton copula的優化結果

5 總結

本文提出了一種相關失效模式齒輪傳動系統的可靠性穩健設計方法。通過比較分析，確定了有效描述失效模式間相關結構的最佳Copula函數，并通過統計方法確定了Copula函數的待定系數。采用基于矩的鞍點法和窄界限理論，獲得了系統的失效概率和可靠性指標。根據所得結果，可以得出以下結論：

(1)在描述不同失效模式間的相關結構時，不同的Copula函數將得到不同的失效概率估計結果。從實例中可以看出，使用Gumbel和Frank Copula低估了系統可靠性，而使用Gaussian和Clayton Copula得到的結果與仿真結果接近。

(2)通過比較不同Copula函數下的可靠度指標可知，采用Clayton Copula計算所得的可靠度指標結果最準確。Clayton Copula能夠較好地描述隨機變量間的尾部相關性，即當一種失效模式的可靠性降低時，與其相關的另一失效模式可靠性降低的可能性更大。

(3)在對齒輪傳動系統三種失效模式的系統失效概率進行估計時，本文假定不同失效模式之間的相關結構均相同。然而，當失效模式數量增大時，不同狀態變量間的相關結構將更加復雜。因此，如何合理確定多變量聯合建模中的Copula函數，將是未來的主要研究內容。