多項式因式分解方法的再探討

張姝同 常健

摘 要：初中階段我們就已經學習過一種重要的恒等變形—因式分解，教材中主要介紹了公式法、提取公因式法、十字相乘法、求根法等一些基本方法。本文主要介紹雙十字相乘法；綜合除法；待定系數法；數列法等不常見且技巧性較強的因式分解方法，供廣大教育者和對因式分解有著濃厚興趣的中學生參考。

關鍵詞：因式分解；雙十字相乘法；綜合除法；待定系數法；數列法

一、 引言

在學習因式分解之前我們先學習了整式的乘法，因式分解與整式乘法這二者之間有著明顯關聯，比如（a+b）（a-b）=a2-b2就是我們平時說的整式乘法，而a2-b2=（a+b）（a-b）就是因式分解，前者是順向思維，它有具體方法，直接按照法則操作進行，而因式分解相對多項式乘法來說是逆向思維過程，所以難度較大。以下給出四種技巧性較強的方法，每種方法給出具體分解過程，希望對一些特殊多項式的因式分解提供新思路。

二、 雙十字相乘法

十字相乘法是中學時代使用較頻繁的因式分解方法，這里介紹一種進階的十字相乘法——雙十字相乘法。所謂雙十字相乘法，根據字面意思理解即有兩個十字相乘法組合而成的方法，具體而言就是對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f（其中x，y為未知數）的多項式，分解步驟是先分解其中的二次項得到前兩列，然后再將常數項分解寫到第三列，分解后第三列與第二列構成一個十字，使之對角相乘之和為ey，第三列與第一列組成的十字對角相乘之和等于dx。最后分解的結果就是將第一行寫成的多項式與第二行寫成的多項式相乘即可。下面以二次六項式為例說明雙十字相乘法的具體分解過程。

【例1】 因式分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。

解：第一步先分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3的二次項得到前兩列，然后再分解常數項寫到第三列，使其滿足與第一列十字相乘之和等于-5x，與第二列十字相乘之和等于35y。如圖1所示，所以：

圖1 雙十字相乘法示意圖

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=（2x-11y+1）（x+2y-3）

三、 利用綜合除法

對于一些次數較高的多項式，形如f（x）=a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an通常考慮用綜合除法來進行因式分解。先寫出最高次項系數和常數項的所有因子，然后寫出所有可能的根（常數項因子除以最高次項系數的因子），最后利用綜合除法來一一驗證。綜合除法是一種比帶余除法更簡潔的多項式除法設f（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an并且設f（x）=（x-c）q（x）+r其中q（x）=b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…bn-2x+bn-1，按照下表的算法可以很快求出商式的系數和余式。

c|a0a1a2…an-1an

+cb0cb1…cbn-2cbn-1

b0b1b2…bn-1|r

下面以四次多項式為例說明利用綜合除法分解因式的過程。

【例2】 分解因式f（x）=2x4+11x3+16x2+x-6。

解：觀察最高次項2x4的系數為2，因子有：±1，±2；常數項-6的因子有：±1，±2，±3；于是所有可能的根有：±1，±2，±3，±32，±12。其中f（1）=24，f-1=0，即-1是f（x）的根，然后用綜合除法一一試除，以2和-2為例：

2|211161-6

43092186

2154693|180

-2|211161-6

-4-14-46

272-3|0

由以上兩個綜合除法得知用-2除余式為0，即-2是原多項式的一個根。由綜合除法一一驗算得用-1，-2，-3，12除多項式系數所得余式為零，即-1，-2，-3，12是上述多項式的根，即：

原式=（x+1）（x+2）（x+3）（2x-1）。

四、 待定系數法

所謂待定系數法簡單來說，就是根據預先判斷的因式分解的形式，設出相應的因式，然后用比較系數法解出未知數。待定系數法一般用于四次及以下的多項式，對更高次的多項式進行因式分解使用此法，一是不容易判斷其因式分解的形式，二是次數越高計算量越大。下面以四次多項式為例說明如何利用待定系數法分解因式。

【例3】 因式分解x4-x3+2x2-2x+4。

解：可以觀察到x4-x3+2x2-2x+4是首項系數為1的四次多項式，分解的形式只有兩種情況，一種是一個三次因式和一次因式，另一種是兩個二次因式。由綜合除法對所有可能的一次因式一一試除，所得余式都不為零。可以知道上式不可能分解為一個一次因式和一個三次因式的乘積，因此可設：

原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd

由此可得：a+c=-1，ac+b+d=2，ad+bc=-2，bd=4

解得：a=1，b=2，c=-2，d=2。即原式=（x2+x+2）（x2-2x+2）

五、 數列法分解因式

數列法適用于一些特殊的多項式，在因式分解中對于一些可看作等差數列或者是等比數列前n項和的多項式，我們就可利用有關的前n項和公式進行運算。下面以等比數列為例說明數列法因式分解的具體運算過程。

【例4】 分解因式x12+x9+x6+x3+1。

解：x12+x9+x6+x3+1=（x3）4+（x3）3+（x3）2+（x3）+1=（x3）5-1x3-1=（x5-1）x-1×x10+x5+1x2+x+1=（x+1）2（x+4）2

以上介紹了幾種技巧性較強的因式分解方法，我們知道多項式的因式分解方法多變，很多題目并不局限于單一的解法，有些甚至可以一題多解，這就需要我們在平時的學習生活中多學多練，不斷鉆研探索出更加簡便而有趣的方法，使未來對多項式有更加深入的了解，對因式分解更加游刃有余。

參考文獻：

[1]石函早，郭秀清.初等數學研究[M].上海：同濟大學出版社，2015，8.

[2]畢嚴河.因式分解的方法技巧匯總[J].科技視界，2014（1）：277-279.

作者簡介：

張姝同，常健，陜西省延安市，延安大學數學與計算機科學學院。