傾聽養育生成之花

摘 要：心理學家黃月霞認為：“傾聽是有效溝通所必備的元素，它是一種接納的語言。”很多美麗的生成之花是在老師和學生的傾聽中綻放的。在轟轟烈烈的數學課堂要豎起耳朵傾聽來自學生的聲音，營造出親密的學習情境，給學生以積極的情感體驗。學生深刻的體驗能被大家分享，學生的能力才能獲得更好的發展，生成之花就會越開越絢麗。

關鍵詞：邏輯；三角函數；思維

案例1：必修5P31第4數列的前5項分別是以下各數，寫出各數列的一個通項公式：

（3）1，22，12，24，14

在高二（5）班因快下課了，時間急促，我就匆匆講了教材給的方法，沒注意學生有什么不同的聲音。一分鐘不到解決問題。而在高二（4）班上課時，講到此題，因時間比較充裕，講到這題時，我停頓了片刻，問學生怎么找？班上不同的聲音傳來。

我請同學們說自己的解法：

學生1：22，22，222，24，242

所以他得出an=2（2）n

學生2：11，12，1（2）2，1（2）3，1（2）4

所以得出an=1（2）n-1

學生3：220，221，222，223，224

所以得出an=22n-1

真是意外的驚喜，如果按教參的答案是學生3的解法，雖然解法三看上去最簡潔，但并不是學生最新想到的。讓學生自己去展示，我們才能了解學生的最近發展區是什么。同時引導學生了解給了數列的前幾項要求寫通項公式很多時候表達不唯一，學生很愉快地接受了這一說法。當然就這三個同學，雖表示不同，但化簡后發現其實結果是一樣的。學習的方法很多，條條道路通羅馬。我們只有多讓學生去展現，意外的生成才會開花結果。

案例2：在△ABC中，角A，B，C所多對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0。

（1）求角B的大小。

（2）若a+c=1，求b的取值范圍。

這題來自優化設計，大部分學生想法都是想到余弦定理，解法如下

解：（1）B=π3。

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB。

因為a+c=1，cosB=12，所以b2=3a-122+14。

又0

而有一女學生特意向我提出另外一種解法：由正弦定理知asinA=bsinB=csinC，

所以bsinB=a+csinA+sinC

所以bsinπ3=1sinA+sinC，

b=32sinA+sin2π3-A=12sinA+π6

因為0

所以π6

12

所以12≤12sinA+π6<1

所以12≤b<1。

我感嘆學生的反應能力，她能把我前面剛講的等比性質用上。而且這章是解三角形，應該和三角函數圖象性質密切相關。學生這種解法非常貼切教學主題。這讓我情不自禁和學生一起歸納了求有關范圍的三種解法：①利用二次函數求最值；②利用三角函數有界求最值；③利用基本不等式求最值（上節講評作業剛好有涉及）。這真是個意外的收獲。

案例3：已知a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），則|a-2b|的取值范圍是 。

任課教師是一名五十多歲的老教師，在學生心目中威信比較高，但有時這變成課堂教學生成的一擋板石。板書特別工整，一堂課下來剛好寫滿一黑板。這一直以來是他的優點之一。下面呈現上課片段。

師：這題這樣來解

解法一：因為a-2b=（3-2cosθ，-4-2sinθ）

|a-2b|=（3-2cosθ）2+（-4-2sinθ）2

=29-12cosθ+16sinθ

=29+2045sinθ-35cosθ

=29+20sin（θ-φ）

其中sinφ=35，cosφ=45

這時有學生大聲提出可以直接用模去做，可老師只是停頓了下，說有更簡單嗎？我看未必。然后就引進第二種解法，真是可惜，失去了由此生成機會，而且嚴重打擊學生的學習熱情。應停頓下來，請那位學生講講他的解法。

解法二：數形結合法

a=（3，-4），b=（cosθ，sinθ），所以知b在單位圓上，然后畫圖。

到此老師很自豪地說簡單嗎？比你的解法快吧。真是可惜，這種解法學生應該很難想到，不是學生最接近的思路。

后面老師們評課時提到，可用向量的三角不等式來解，這是此位老師在一開始復習了的。這就是一個很好的例子。

||a|-2|b||≤|a-2b|≤|a|+2|b|答案馬上出來[3，7]

這里為什么用這方法好呢，因為這里a和b的模都知道。如果其中一個模不知道，那還是要用通法。

解法四：（a-2b）2=a2-4a·b+4b2=29+20sin（θ-φ）（同解法一類似）

課堂是學生生活與學習的場景，教室是有限的空間，而課堂可以不局限于教室，他可以是學生在廣闊的時空中。我們可以在課堂也可以在課外傾聽學生不同的聲音，讓學生的生成之花一路綻放。

作者簡介：

鐘桂芳，福建省龍巖市，龍巖市高級中學。