對一道三角函數求值題的思考與探索

楊亞軍

【摘 要】一題多解確實能啟迪學生思維，但有些解法的局限性學生不一定能注意到。還有，刷題在當下也被絕大多數學生奉為提高數學成績的不二法寶。筆者從對一道高考三角題多種解法的學習研究中，有了自己的困惑，進而做了一點粗淺的探索，認為這對于培養學生的質疑精神和數學推理能力，引導學生走出通過刷題學習數學的誤區。

【關鍵詞】解法探究;學法指導

【中圖分類號】G634 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）09-0286-01

（2013年高考浙江卷理科6）已知α∈R，sinα+2cosα=〖SX（〗〖KF（〗10〖KF）〗〖〗2〖SX）〗，則tan2α（ ）

A.〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗 ?B.〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗 ?C.-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗 ?D.-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗

此題答案為C，有許多種解法，體現了三角求值中變形的技巧或方程思想的運用.[1]但大多數方法都是先求得tanα=3或tan2α=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗，進而求出.

還有構造幾何圖形，猜想賦特殊值等方法.[2]

作為這道選擇題，這些做法各有特點，給人啟發.但筆者有一個困惑，這類題目中，tan2α的取值一定是唯一的嗎？還是由于該題目中數據的特殊性，導致了此處的tan2α取值唯一呢？或者說，tan2α在什么種情況下，tan2α的取值唯一？在什么情況下，的取值不唯一？

為解決此問題，我們不妨設tan2α=a（a≠0），則a=〖SX（〗2tanα〖〗1-tan2α〖SX）〗

可化為：a tan2α+2tanα-a=0.設t=tan α，則at2+2t-a=0.

∵a≠0，且△=4（1+a2）>4>0

∴關于t的方程at2+2t-a=0一定有兩個相異的實根t1，t2，且t1·t2=-1.

至此，我心中的困惑解決了.當題目中的已知條件滿足：兩個tanα的取值之積為-1時，tan2α的取值唯一，否則必不唯一.

進而還可以得到這個結論：若tanα·tanβ=-1，則tan2α=tan2β.

當年浙江省的這道高考題中，tanα=3或-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗，滿足3×（-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗）=-1，所以tan2α的取值唯一，是-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗.

再比如：已知sinα+3cosα=〖KF（〗5〖KF）〗，求tan2α的值.可求得tanα=2或tanα=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，所以tan2α=-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗.（這里2×（-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）=-1，所以tan2α的取值唯一.）

但對下面這道題目：已知sinα+3cosα=3，求tan2α的值.

解：由已知得3cosα=3-sinα，兩邊平方，整理得5sin2α-3sinα=0.

∴sinα=0，或sinα=〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗.

∴〖JB（{〗sinα=0cosα=1〖JB）〗或〖JB（{〗sinα=〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗cosα=〖SX（〗4〖〗5〖SX）〗〖JB）〗

∴tanα=0或tanα=〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗

∴tan2α=0或〖SX（〗24〖〗7〖SX）〗.（這里0×〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗=0≠-1，所以tan2α的取值不唯一.）

由此注意到，一些特殊解法，像構造圖形、猜想賦特殊值等方法，對四選一的選擇題確實很快捷，但這些解法往往掩蓋了問題的實質，還可能形成隱患，導致學生在完成填空題或解答題時考慮不周全，因思維的不嚴謹而造成漏解等錯誤.

另一方面，也提醒我們在平時的解題中，可注重發掘和利用題目中數據的特殊性，以此簡化分析及求解過程，快捷求解.

更重要的是，要培養質疑精神，在學習中多問幾個為什么.尤其是面對題目或題目的解法時，要學會利用自己所學知識去研究題目.這樣做，肯定費時間，但它一定能達到事半功倍的效果，一定比盲目的刷題更有效，也更能培養數學能力，提高數學學習成績.

參考文獻

[1]常國強，儲瑞年主編.《中高考年鑒·數學卷2013年》，內蒙古少年為兒童出版社，2013.8：381-382.

[2]蔡小雄主編.《更高更妙的高中數學一題多解與一題多變》，浙江大學出版社，2016.3（2018.1重?。?2-24.