微積分在運動學中的應用模型

鄭亞芹

摘要：發展微積分的原始靈感之一來自于試圖去理解運動物體的速度、距離和時間的關系，因此運動學在微積分的應用價值中無可替代。首先介紹了運動學中的基本組成元素，并且微積分滲透于此基本理論。論述了兩個基本的運動模型，分別是在一維空間和二維空間中的應用舉例。

關鍵詞：微積分;運動學;直線運動;平面曲線運動

一、運動學的基本組成1援路程和位移路程和位移之間有著重要的區別。首先，路程總是非負的，而位移可以是負的。一般規定物體向右或向上運動是正的位移。位移是負的表示物體終止于它的起始點的左側或下方。其次，位移= （終點位置）-（初始位置），所以位移僅涉及終點和初始位置，與物體在運動過程中的情況是無關的。例如開車去1 千米以外的商店，里程計顯示3千米表示總路程是3千米，但位移只有1千米。若物體只向同一方向運動，則路程就是位移的絕對值。2援平均速度和平均速率速率是路程關于時間的改變率，速度是位移關于時間的改變量。

一方面，速度有符號。一般向右或向上運動為正速度，相反是負速度。另一方面，速率非負，它反映了運動的快慢大小。若汽車在長直的公路上行駛，一定時間內的平均速度為負的，則它終止于起始點的左側。若一定時間段內的平均速度是0，則汽車終止于起始位置，但或許此時有很高的平均速率。而如果汽車沿著一個方向行駛，則平均速率就是平均速度的絕對值。3援瞬時速度和速率設物體沿直線運動的方程是s=f（t），其中是從原點開始到時間t 的位移，f 是物體的位置函數。此時間段：平均速度=位移時間越f（a+h）-f（a）h 。定義v（a）是t=a的速度（瞬時速度）。令h 趨向于0，則時間段[a，a+h]變得越來越短，于是平均速度的極限lhi寅m0 f（a+h）-f（a）h =f'（a）=v（a）[1]，而速率是速度的絕對值f'（a）。4.速度和速率的最值關系若物體沿直線運動的最大和最小的速度是5 和-7。速度-7 意味著速率是7，這是物體的最大速率。最小的速率是零，發生在物體轉頭的點。對于連續的速度函數而言，當最大的和最小的速度有相反符號或其中之一為零時，最小的速率是零;當最大的和最小的速度都是正或都是負時，最小速率是最大或最小的速度絕對值的較小者。所有情況中，最大速率是最大或最小的速度的絕對值中的最大者。5.速度、速率和加速度物體運動的位置函數是s=f（t）。則物體的加速度是瞬時比率，是速度關于時間的改變率，是位置的二階導，即a（t）=v'（t）=s"（t）[2]。

如果物體向下越來越快的運動，速率在增加，但加速度在減小，因為其速度變成了更大的負值。注意加速度不是速率的改變率。而物體向下運動且變慢時，速率在減小，而速度變大—因為速度變成了更小的負值—它有一個正的加速度。因此速率增加，當速度是正的且在增加（v 和a都是正的）或當速度是負的且在減少（v 和a都是負的），即當速度和加速度有相同符號時物體加速（物體被推向其所運動的同一方向）。

二、直線和平面運動物體的運動遵循：（1）若v躍0，則物體向右運動且s 增大;若v約0，則物體向左運動且s 減小;（2）若a躍0，則v 增大;若a約0，則v 減小;（3）若a 和v 同為正或負，則速率增大或物體加速;若a 和v 符號相反，則速率減小或物體減速;（4）若s 是t的連續函數，則當v 是0 且a 不是0 時物體轉向;注意v 是0 不代表物體轉向。若物體在[a，b]的有限時間段（分區）的速度是常數，位移便是以豎直軸表示速度、水平軸表示時間及t=a和t=b 所圍成的有向面積[3（] 圖1）。

路程是圖2 中速率v 對時間t圖像中所示陰影部分面積。若速度是任意曲線函數v（t），則從t=a到t=b 的位移是從a到b 的速度曲線下方的有向面積，圖3 的陰影面積便是豎直軸上的速度乘水平軸上時間的結果。2援平面曲線運動（二維空間中的運動）物體在平面或空間中運動的位置函數可表示成參數、極方程或向量函數。位置函數的一階導是速度向量，二階導是加速度向量。計算向量函數的導數的方法是輪流對各分量求微分。若不止求一階導，則重復上述過程到需要的數階導數。同樣也可對向量函數逐項求積分。物體在時間a的平面曲線上的位置是R軑（a）=（x（a），y（a））。

物體在點t=a的速度是數值向量R軑'（a）=（x'（a），y'（a）），指出了物體在曲線上的運動方向。圖像上可表示為與曲線在點（x（a），y（a））相切的有向線段（向量）。x'（a）和y'（a）的比率是曲線在t=a的切線斜率，因曲線的速度向量就在曲線的切線上。所以曲線的斜率

參考文獻：

[1]James Stewart. Single Variable Calculus Early Transcen原dentals. Brooks/Cole Cengage learning，2012：104-110.

[2]Shirley O. Hockett，David Bock. Barrons AP Calculus. 世界圖書出版社，2017：181.

[3]David S. Kahn. The Princeton Review Cracking the AP Calculus AB & BC Exams. Random House，Inc. New York，2009：159-166.

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